对称性在各种积分中的定理

1、对称性在积分计算中的应用定理2.1.1 设函数f (x, y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于 x轴对称.如果函数f(x, y)是关于y的奇函数，即f (x,_y) =-f(x,y) ,(x,y)D， 则 JJf(x, y)db =0 ;如果 f(x,y)是关于 y 的偶函数，即 f(x,y) = f (x, y)，DD1其中D1是D在X轴上方的平面区域.(X, y)迂 D，贝U JJ f (x, y)db =2JJf(X, y)dcr .D同理可写出积分区域关于y轴对称的情形.则由定理 2.1.1 知 JJy'sin2xdb=0.D由定理2.1.1可得如下推论.推论2设函数

2、f (x, y)在xoy平面上的有界区域D上连续，若积分区域D既 关于x轴对称，又关于y轴对称，则 若函数f (X, y)关于变量X, y均为偶函数，则f(X, y)db =4 f(X, y)dcr .DD1其中D1是区域D在第一象限的部分，D1 =(x,y严D|x>0,yX0. 若函数f (x, y)关于变量x或变量y为奇函数，贝U JH(x,y)db=0.D当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.定理2.1.2 H设函数f(x, y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于原点对称.如果 f(X, y) =f(X, y)， (x, D，贝 U JJ f(x, y)d=0;

3、如果 Df(-x,-y) = f (x, y)， (x,y)亡 D，贝U JJ f(x,y)db =2口 f (x, y) =2jj f (x, y)db， DD1D2其中 D1 =(x,y)-D|x>0，D2 =(x,y)-D|y>0.为了叙述的方便，我们给出区域关于 x,y的轮换对称性的定义.定义2.1.1设D为一有界可度量平面区域(或光滑平面曲线段)，如果对 于任意(X, y)-D，存在(y,x)-D，则称区域D (或光滑平面曲线段)关于x,y具 有轮换对称性.关于区域的轮换对称性，有如下定理.定理2.1.3 5设函数f (X, y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于

4、X, y 具有轮换对称性，则 JJ f(X, y)db = JJf (y,x)dcr .D定理2.2.1 6设函数f (x,y,z)是定义在空间有界区域O上的连续函数，且0关于坐标平面x=0对称，则(1) 若f (x, y,z)是关于变量x的奇函数，贝U川f(X, y, z)dV =0 ；Q(2) 若f(x,y,z)是关于变量X的偶函数，贝U川 f(X, y, z)dV = 2 川 f(x, y,z)dV .QQ其中Q是O的前半部分，01眾(x,y,z)% |xk0.同理可写出0关于坐标平面y=0 (或z = 0)对称时的情形.与二重积分类似，我们也可得到如下结论.定理2.2.2 设函数f(x

5、,y,z)是定义在空间有界区域0上的连续函数，且O 关于原点对称，则(1) 若 f(x,y,z) =_f(x,y,z)，(x,y,z)fi，贝U 川 f(x,y,z)dV=0 ;Q(2) 若 f (X,y,z) = f(x, y,z)，(x,y,z)0，贝U川 f (x,y,z)dV =2 川 f (X, y,z)dV =2 川 f (x, y,z)dV = 2 川 f (x,y,z)dV .QQQQ其中 0=(x, y,z)IX 3。, Q2 = (X, y, z)忘0 I y -0，3 = (x, y,z)0 |z 二 o为了方便叙述，我们先给出一个空间几何体关于x,y,z的轮换对称性定义

6、.定义2.2.1 7设0是一有界可度量的集几何体(0可为空间区域、空间曲线或曲面块)，且它的边界光滑，若对任意的(X, y,z)O，都存在(y z,x)W，存在(Z, X, y)O，则称0关于X, y,z具有轮换对称性.关于空间区域的轮换对称性，我们有如下的定理定理2.2.3 设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域。上的连续函数，且0 关于 X, y,z 具有轮换对称性，贝 U JJJ f (x,y,z)dV = JJJ f (y, z, x)dV =川 f( z, x, y)dV .QQQ3.1对称性在第一型曲线积分计算中的应用本文只讨论平面曲线，对于空间曲线有类似的结论定理3.1.1

7、9设平面分段光滑曲线L关于y轴(或X轴)对称，且f(x,y)在L上有定义、可积，则(1)若f (x,y)为关于X (或y )的奇函数，贝U JLf(x, y)ds=0 ; 若f (X, y)为关于X (或y )的偶函数，贝U J f(x, y)ds=2J f (x,y)ds. L" L1其中 J = (X, y)忘 L IX > 0(或y > 0).由定理3.1.1可得如下推论.推论3设平面分段光滑曲线L关于X轴对称且关于y轴对称，且f(X, y)在L上有定义、可积，则 若 f (x, y)关于 X, y 均为偶函数，则 J f(x, y)ds = 4j f(x,y)ds

8、，L"Li其中 Li =(x,y)亡 L|x>0,y >0.(2)若f(x, y)关于X或y为奇函数，即f (x,-y) = - f (x, y)或f (x, y) = -f (X, y)，(x,y) L，贝U JL f (x, y)ds = 0 .当曲线L关于原点对称时，我们可以得到如下的定理定理3.1.2设平面分段光滑曲线L关于原点对称，且f(x, y)在L上有定义、 可积，则(1)若 f(X,y) =f(x, y)，(x,y)亡 L，贝U JLf(x,y)ds = 0 ; 若 f(X,y) = f(X, y)，(x,y严 L，则 jf(x,y)ds = 2j f(x

9、, y)ds.LL1其中L1为L的上半平面或右半平面.关于曲线的轮换对称性，我们有如下结论.定理3.1.3设平面分段光滑曲线L关于x,y具有轮换对称性，且f(x,y)在L上有定义、可积，则(f(x,y)ds = ( f(y,x)ds.定理3.2.1设L为平面上分段光滑的定向曲线，P(X, y),Q(x, y)为定义在L上的连续函数;当L关于X轴对称时:若P(x,y)是关于y的偶函数，则L P(x,y)dx = 0 ；若P(x, y)是关于y的奇函数，则JLP(x,y)dx=2L P(x, y)dx，若Q(x,y)是关于y的奇函数，则Q(x,y)dy =0 ；若Q(x,y)是关于y的偶函数，则l

10、LQ(x,y)dy = 2 JLQ(x,y)dy ；其中L1是L位于x轴上方的部分.当L关于y轴对称时:若P(x, y)是关于x的奇函数，则P(x, y)dx =0 ；若P(x, y)是关于x的偶函数，则r P(x,y)dx=2f P(x,y)dx ；L若Q(x, y)是关于x的偶函数，则JLQ(x, y)dy = 0 ；若Q(x,y)是关于x的奇函数，则fLQ(x, y)d2 Q(x, y)dy ； 其中L1是L位于y轴右方的部分.当L关于原点对称时: 若 P(x, y),Q(x,y)关于(x, y)为偶函数，即 P(-x,-y) = P(x, y) 且 Q(X,y) =Q(x, y)， (

11、x, y)亡 L，贝U P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ； 若 P(x, y),Q(x,y)关于(x, y)为奇函数，即 P(-x,-y)=-P(x, y) 且 Q(X,y) = Q(x, y)，则(P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 2 P(x, y)dx + Q(x,y)dy .其中L1为对于轮换对称性，我们有如下定理.定理3.2.2 设L为平面上分段光滑的定向曲线，P(X, y),Q(x, y)为定义在L 上的连续函数.若曲线L关于x,y具有轮换对称性，则P(X, y)dx= (P(y,x)dy.L的右半平面或上半平面部分.4.1对称性在第一型曲面积分计算

12、中的应用在第一型曲面积分的计算中，经常会碰到积分曲面关于某个坐标面对称的情 形，与前几节类似，我们可以利用积分区域的对称性(关于坐标面、原点、轮换 对称)及被积函数的奇偶性来简化第一型曲面积分的计算，下面给出相应的定理 及例题.定理4.1.1 11设分片光滑曲面邑关于坐标面x=0对称，且f(x,y,z)在H上有定义、可积，则 若f(x, y,z)为关于x的奇函数，贝U JJf (x,y,z)dS = 0 ;(2)若 f(x, y,z)为关于 x 的偶函数，贝U JJf (x,y, z)dS=2 JJ f(x, y,z)dS .1S其中=(x, y, zT |x >0同理可写出曲面工关于坐

13、标面y=0 (或z = 0)对称的相应结论.对于轮换对称性，我们有如下定理.定理4.1.2设分片光滑曲面E关于x,y,z具有轮换对称性，且f(x,y,z)在 上有定义、可积，则 JJ f (x,y,z)dS = JJ f (y, z,x)dS= JJf(z, x, y)dS .Ill4.2对称性在第二型曲面积分计算中的应用与第二型曲线积分一样，我们可以根据第二型曲面积分积分的定义及物理背 景(计算流体流量)，同样可以得到对称性在第二型曲面积分计算中的相关结论定理4.2.1问 设积分曲面：E光滑或分段光滑，且壬=爲+壬2，曲面爲和F 2的法线方向相反，若曲面1,和爲关于xoy面对称，则 若 R(x, y,-Z)= R(x, y, Z)，则 J J R( x, y,z)dxdy = 0 ； I 若 R(x, y,z) =R(