基本不等式的应用7

1、高中数学优质学案经典专题知识基本不等式的应用（1）【三维目标】：、知识与技能会应用基本不等式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题;二、过程与方法 本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。、情感、态度与价值观1.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。2.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性【教学重点与难点】：重点：化实际问题为数学问题;难点：会恰当地运用基本不等式求几何中的最值.【学法与教学用具】：1.学法：列出函数关系式是解应用题的关键，

2、也是本节要体现的技能之一。对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。2.教学用具：直尺和投影仪【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：、创设情景，揭示课题已知X, y都是正数，如果xy是定值P ,那么当x=y时，和如果和x+y是定值s ,那么当有最大值s24二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 (教材P89例1) 用长为4a的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大?解：设矩形的长为x(0<x<2a)，则宽为2a-x，矩形面积S =x(2a -x)，且 X A0,2a -x aO .时取等由

3、 Jx(2a -X)兰 x + (2a -X)=a .(当且近当 x=2a-x，即 x=a i=r.号)， 由此可知，当x=a时，S=x(2a-x)有最大值a2 .答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积a2例2 (教材P89例2)某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m,深为3m，如果池底每1m的造价为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造 价最低，最低总造价是多少元?分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式 定理。解：设水池底面一边的长度为xm,水池的总造价为I元，根据题意，得3 240000 +7

4、20x 2Jx 1600V x1600I =240000 +720(x +)x=240000 + 720X 2 X 40 = 297600当X =1600，即X =40时,1有最小值2976000.x因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造 价最低，最低总造价是 297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最 值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。3兀2的金属每平方米价值 2元，按着怎样的尺寸制造，才能使圆变题：某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶，它的容积是 立方分米，用来做底的金属每平方分米价值3元，做侧面桶的成

5、本最低。解：设圆桶的底半径为 r分米，高为h分米，圆桶的成本为 m 元，贝 y m=32+22h求桶成本最低，即是求m在r、h取什么值时最小。将 代入m的解析式，得m =3町2 +2(2町)(刍)=3盯2 +2r2r当且仅当3十=竺+53可。时，取“二”口当7 （分米），W （分米）时，圆桶的成本最低为9兀（兀）。例3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为 平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费 900元.求该厂 多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最 少？解：设该厂x天购买一次面粉，平均每天所支付的总费用为 y兀.购买面

6、粉的费用为6沢1800x=10800x元，保管等其它费用为3x(6+12+H|+6x) =9x(x+1),10800x+9x(x+1)+900= 10809 +9(x+型）xa 100知0809 +9X2x =10989 ,，即x=10时，y有最小值10989, x答：该厂10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.例4在面积为定值的扇形中， 半径是多少时扇形周长最小?在周长为定值的扇形中，半径是多少时扇形面积最大?例5如图NA为定角，P,Q分别在乂A的两边上，PQ长为QA时，a ，2n _2定长，当P,Q处在什么位置时，AAPQ的面积最大?解：设 NA=J , PQ=a , AP=

7、x , AQ = y，其2 2 2a2=x + y -2xy cosa >2xy-2xycosa = 2xy(1-cosa ).-1 COSa >0，- xy <,2(1 -cosa)2 .SAP2xysi"4(T 当且仅当 x = y,即MPQ的面积最大.三、巩固深化，反馈矫正1.已知a,b壬R,a+b=3，求2a+2b的最小值，并求相应的a,b值.2.一段长为L米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少?3.在直径为d的圆的内接矩形中，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大，最大面积是多少?2v1004.

8、一个由17辆汽车组成的车队，每辆车车长为5米。当车队以速度v （千米/小时）行驶时，相邻两辆车的车距至少为米,现车队要通过一座长为140米的大桥，问车速v为多少时，车队通过大桥所用的时间最少？最少需要多少分钟?5.某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为200m2的三段污水处理池，由于受地形限制， 其长、宽都不能超过16m ,如果池 的外壁的建造单价为 400元/m2，池中两道隔墙的厚度不计，其面积只计一面，建造费单价为148元/m2，池底的建造费单价为80元/m2，则水池的长、宽分别为多少时，污水池的造价 最低？最低造价为多少?6.建造一个容积为8平方米，深为2米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的

9、每平方米造价分别为120元和80元，那么水池的总造价最低是多少？（1760元） 解：令长方体的长为x米，宽为y米，水池的总造价为x y=4, w=320 (x + y ) +480'：x + y二2应y （当且仅当x = y时取等号）” x + y34 （当x=2,y=2时取“=”二W二4咒320 + 480 = 1760元 所以水池的总造价为本1760补充:某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的长方题小房，房屋正面的造价为1200元/m2，房屋侧面的造价为800元/m2 ,屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是