向量的概念和基本运算

1、全国名校高考数学复习优质学案高效专题训练汇编（附经典习题及详解）第六章 平面向量、复数考试内容： 1平面向量向量向量的加法与减法实数与向量的积平面向量的坐标表示线段的定比分点平面向量的数量积平面两点间的距离、平移2.复数复数的概念复数的加法和减法复数的乘法和除法数系的扩充考试要求：1）1平面向量理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2）掌握向量的加法和减法掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直

2、的条件6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式2.复数1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算3）了解从自然数系列复数系的关系及扩充的基本思想向量的概念和基本运算、知识回顾1.向量的概念(1) 向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB ；字 母表示：a;坐标表示法 a= X i + yj =( X, y ).向量的长度：即向量的大小，记作I a I .特殊的向量：零向量a = d I a 1= Q单位向量：ao为单位向量二I ao |= 1

3、.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(X 1, y i) =(X2,y 2)少广7iyi = y2(6)相反向量：a=- bu b=- au a+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a/ b.平行向量也称为共线向量.2.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1. 平行四边形法则2. 三角形法则a + b = (X1 如2，% + 丫2)T片片4a + b = b + a4 4 4 4 -1 H (a + b) + c = a + (b + c)ab+BC =AC向量的减法三角形法则a-b = (X1 -X2,y1 -y2)4斗斗片a-b =

4、 a + (-b)TT 一 H HAB = -BA, QB-QA = AB1. /.a是一个向量，满足:|篙=|扎|2|2. A>04ka =(几X,几y)Za与a 异+4冰Pa)=(沖)aT 呻 T (几 + A)a = Aa + Aa4 H 44Z(a +b) = Aa + ZbH 444a/bu a = AbZ=0 时，Za =0a是一个数1. a = 0或 b = 0 时，a E = 0.4444_ a H 0且 b H 0时，2. 4 4彳屮a_b =| a |b |cos(a, b)4 4ab =巒2 +炖2H 44a E = b*a4444 片片(几a) b = a (几b

5、) = (a b)44 4 -I -i -j(a + b)*c = a*c+b*c斗2 扌2 斗 J 22a =| a| 即|a|x + y|abF|a|b|3.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e, 82是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数 入1,入 2, 使 a=入 iei+ 入 282.(2) 两个向量平行的充要条件a/ b二 a=入 b(bM0)u 砂一X2yi = O.(3) 两个向量垂直的充要条件a丄 bu a b= g xiX2+ yiy2 = O.全国名校高考数学复习优质学案高效专题训练汇编(附经典习题及详解)线段的定比分点公式设点P分

6、有向线段丽所成的比为入，即PP =入丽，则0P =齐70P +丄0瓦(线段的定比分点的向量公式)1 +几I4Xi +冰2X =设点F(x, y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(X , y)，1+几(线段定比分点的坐标公式) y1 + 細 2 y =当入=1时，得中点公式:Xl +X2- 1 . . 、0P = 2 ( OR + 0F2 )或(5)平移公式则示-OF+a 叫；：；：；曲线y=f (X)按向量a=( h ,k)平移后所得的曲线的函数解析式为：y k = f (X h )基本训练已知AD, BE分别是 MBC的边BC, AC上的中线，且AD =a,BE =b ,则&qu

7、ot;bC为A.2.4+2】B 2+4?-a +bB. - a +-b333344 4 呻 彳 呻 彳 呻_已知AB =a, BC =b,CA =c,则a +b +c =0是A, B,C二点构成二角形的D.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.a =(1,1),b=(1,-1),c = (-1,2),则 c=全国名校高考数学复习优质学案高效专题训练汇编（附经典习题及详解）( )A. -13bB.2 21斗 31C 3时 15Da bC. a bD.2 2 2 24. 设 A(2,3), B(_1,5),且 AC = 1AB,AD=3ab , 则c、3115

8、1 73斗1；一 a + b2 2D的坐标分别是A. (h丁),(-Z，9)B. (1<-),( -58)C.<-),5,7)332 35. 已知 0A=(1,2),0B=(3,m)，若 OA丄OB，贝J m=_6. 对平面内任意的四点A,B,C,D，则AB +BC +CD + 澀=8D.(号,(-7,9)7.若I芥3,b与a的方向相反，且b=5,则！=8化简:(1) AB+BC+CD =(2) AB-AD-DC =(3) (AB -CD) -(AC -BD)=9.(上海卷.理6)已知点A(1-2),若向量AB与二(2,3)同向,|AB|=/i3,则点B的坐 标为.10.判断下列命

9、题是否正确 则 a =b 。%4a =b若两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。若7B =DC，则ABCD是平行四边形。若ABCD是平行四边形，则7B。若 a =b,b =c，贝J a =c。若 a/ b,b/ C，贝J a/C。三、例题分析4例1 已知0是MBC内的一点，若OA+OB+OC=0，求证：0是MBC的重心.例 2.已知口 a =(1,1),b =(4,x) , u=a+2b , v=2a+b，且 u/v，求 X. 4例3 . ABCD是梯形，AB/CD且AB =2CD , M,N分别是DC和AB的中点，设 A=1iT='*b 试用 a,b表示 BC 禾n mN

10、例4.已知，o=a,o=b,o=c （如图），求证：A、B、C三点在一直线上的充要条件是存在不全为0的实数l、m、例5在水流速度为4丽km/h的河中，如果要使船的速度行驶方向与两岸垂直，并 使船速达到12km/h，求船的航行速度与方向。四、作业 同步练习 g3.1053向量的概念和基本运算1.下面给出四个命题：对于实数 m和向量a,b，恒有m（a-b戶ma-mbT 一444对于实数 m、n和向量a，恒有（m-n ）a=ma-na 若 ma =mb（mc R,m 工0）,则a = b 若m?”a（0），则m=n其中正确的命题个数是C、3B、22. 在平行四边形ABCD中，若AB+ad = ABA

11、D ,则必有A.3.AD =0 B.AB=0或AD=0 C. ABCD 是矩形 D. ABCDAC =5 ,则BC的取值范围是已知 AB =8,是正方形A.3, 8 B. (3, 8) C. 3, 13 D. (3, 13)4.(浙江卷.文 4)已知向量 a=(3,4),b=(sina,cosa),且 a/b ,则 tana 二(A. 3 B. -C. 44435.F列命题中，正确的是（A.-rb4rbB.若 1 =b，则 aZ/b+a>C.若b，则 a > b4r arnu6.C.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量D.两个有共同起点而且F列说法中错误的是（）A.向量AB

12、的长度与向量bA的长度相等B.任一非零向量都可以平行移动相等的向量，其终点必相同.7.若三点 P(1,1),A(2,r),B(x,-9)共线，贝J x =A. -1B. 3C. ID. 518.已知正方形 ABCD的边长为T 彳T 呻r 4 AB = a, BC = b, AC = c ,则a +b+c的模等于A.0B.3CJ2D. 2429.(全国卷 III )已知向量 0A=(k,12),0B =(4,5), 0C =(-k,10)，且 A、B、C 三点共线，则10.(湖北卷)已知向量a=(2,2),b = (5,k)若不超过5,则k的取值范围是_11.12.(广东卷)已知向量 a =(2

13、,3) , b = (x,6)，且a b，贝J x为D,E,F分别是 MBC的边BC,CA,AB的中点，且BC=a,CA=b,给出下列命题一 2a-b 鳥+1b斗b1 - 2+4 a1 - 2其中正确的序号是13.若 2（xia）i（b+仁x）+b=0，则 x=3214.两列火车，先各从一站台沿相反方向开出，走了相同的路程，这两列火车位移的和是时，a,b共线。15. 已知 ei,e2不共线，ke1+e2,b=el+ke2，当 k=16、证明：始点在同一点的向量1,2,321的终点在同直线上。444417.如图，OADB是以向量OA=a,OB=b为边的平行四边形，又BM JbC,CnJcD ,33试用a,b表示oM,oN,mN。18、如图，已知oA=2, OB =i,OC =4,OA与OB 的夹角为 120°, oA与OC 的夹角为 30°，C用OA,OB表示OC.答案:基本训练:1、6、2、B7、3、 B4、 A(1)AD(2)CB9、B(5,4)10、(1)x(2)x(5)V(6)x例题分析:1、略例3、例4