圆的方程公开课教学设计

1、§2.1 圆的标准方程教学目标（ 一 ） 知识与能力1. 了解确定圆的条件 ;2. 理解圆的标准方程的推导过程及方程形式 , 逐步理解用代数方法研究几 何问题 ;3. 会用圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标 , 能根据条件写出圆的标准 方程, 能选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题 .(1.2.(1.2.3.二）过程与方法 由确定圆的条件推导出圆的标准方程 ; 明确求圆的标准方程的一般步骤 .三）情感态度与价值观 渗透数形结合的思想方法 ; 培养学生的思维品质和提高学生的思维能力 . 培养学生合作交流的意识 , 培养勤于思考、探究问题的精神 .教学重点1. 已知圆心为 C（a,b）

2、 , 半径为 r 的圆的标准方程的求法 ;2. 在求圆的标准方程的过程中 , 加强对坐标法的理解 . 教学难点根据已知条件 ,利用待定系数法确定圆的三个参数 a,b,r ,从而求出圆的标准方程.教具准备制作多媒体 , 辅助教学 .教学方法 引导、合作、讨论、探究法 .设计思想 设计的根本出发点是促进学生的发展。 教师以合作者的身份参与， 课堂上建 立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，在教学过程中，教师遵循数学发展 规律，并依据建构主义教育理论， 创设一系列数学实验环境， 在情境中让学生观 察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次 加强学生对知识的感知度，使学生

3、能更好地理解和掌握圆的标准方程。教学过程（ 一） 课题引入1.圆的定义：平面内绕着线段的一个端点旋转一周所组成的图形.（ 描述性定义 ） 探究圆的几何特征 （学生讨论 ）教师总结：圆的几何特征是圆上任意一点到定点的距离等于定长 .说明：（1） 定点叫圆心 ,定长称为半径 ;探究：确定圆的条件 （学生讨论）教师总结 ： 一个圆的圆心位置和半径一旦给定 , 那么这个圆就被确定下来了 , 所以确定圆的条件是圆心和半径.说明：在确定圆的条件中，圆心和半径缺一不可，其中：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.2.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹(集合).(运动变化的思想)说明:(1)其中

4、定点叫做圆的圆心，定长叫做圆的半径.(2)设圆心为C( a, b),半径为r ( r >0 )的圆上的点M 就是集合写出适合条件的点M的集合; 用坐标表示集合；化方程为最简形式.P = m| mc =:3. 曲线方程的一般求解步骤(2)(3)(二)圆的标准方程圆的标准方程的推导过程：(圆心为C(a,b),半径为r(r:>0)的圆)设P(x,y)是圆上的任意一点,根据圆的定义，点P(x,y)到圆心C(a,b)的距离为r,即|P C|=r,由两点间的距离公式，得J(x-a)2 +(y-b)2 =r 把式两边平方，得圆的标准方程为：(X-a)2+(y -b)2 = r2说明：(1)圆的标

5、准方程中有两个基本要素：圆心和半径，即只要三个参数a,b, r (r >0),确定了，圆的标准方程就确定了 ，这也是用待定系数法求圆的标准方程的思想方法；(2)特别地，当a=b=0 (即圆心在坐标原点)，时，圆的标准方程为:X2 + y2 =r2;又当r =1时，圆的标准方程为x2 + y2 =1(单位圆);(3)点与圆的位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.及时反馈 口答1:下列说法正确吗？(1)圆(X -1)2 +(y 2)2 =3的圆心坐标为(T,2),半径为3; 圆(2X-2)2+(2y+4)2 =2的圆心坐标为(2, Y),半径为72 ; 圆(x+1)2 +(y+2)2 =m

6、2(m H0)的圆心坐标为(-1,-2),半径为m ;口答2:下列方程分别表示什么图形？(1) x +y =0;(2) x +y =4;(3) y = J4-X ; (4) y =<0);口答3:已知圆0的方程为(X +1)2 + (y 1)2 = 4 ,判断下列点与圆0的位置关系：(1) A(1,1); (2)B(0,1); (3)C(0,3)口答4:写出满足下列条件的圆的标准方程.(1)以C(4, _6)为圆心,半径等于3以C(#6)为圆心,半径等于73(三)例题解析例.已知两点MjS®), M2(6,3),求以MM 为直径的圆的标准方程.解:方法一(待定系数法).设圆心为

7、C(a,b),半径为r ( r >0)r = CM 1=J(4 -5)2 +(9-6)2 二后故所求圆的标准方程为(X -5)2 +(y -6)2 =10变式1.已知圆C的圆心在直线标准方程.解：线段MjM?的中垂线方程为x-3y+13=0lx = -14x + y = 0畀=4F曲4.9)C4x + y=0上,且过点MjSE), M2(6,3),求此圆的X-3 y+13 = 0,即圆心坐标为C(-1,4),2 2 2 2又 r = M1C =(4(1) +(94) =50,故所求圆的标准方程为(X+1)2+(y-4)2 =50变式2.已知 M1M2M3三个顶点的坐标为M1(4,9),

8、M2(6,3), M3(4, -3),求此三角形外接圆的标准方程.解：线段M1M2的中垂线方程为X-3y+13 = 0,线段M1M3的中垂线方程为y = 3lx 3y+13=0 lx = 4由ty=3ySy =3即得圆心C的坐标为又 r2 =(-4-6)2 +(3-3)2 =100 故所求圆的标准方程为(x+4 )2 +(y-3)2 =100总结用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：(1)根据题意，设所求圆的标准方程为(X a)2 +(y b)2 = r2(2)根据已知条件,利用几何或代数关系求出a,b,r ;(3)将所得的a,b,r的值代回所设的圆的方程中,即得圆的标准方程.(四)测试反馈1

9、. 课本P79练习2. 求满足下列条件的圆的标准方程：(1)经过点P(5,1),圆心为点C(8, -3);如图,圆经过两点A( 1,4), B(3,2),圆心在y轴上.解(1)方法一 ：r = PC =5, 圆的标准方程为(X-8)2方法二：设圆的标准方程为(X-a)2+(y -b)2 =r2, 点P (5,1)在圆上, (5 -8)2 +(1 +3)2 =r2, r2 =25, 圆的标准方程为(x-8)2 +(y + 3)2 =25方法一：设圆心为C(a,b), 圆心在在y轴上，二a =0,设圆的标准方程为X2+(y -b)2 =r2,因为该圆过A(-1,4),B(3,2)两点，所以有(-1

10、)2 + (4-b)2=r232+(2-b)2=r2=巴" ,所以圆的标准方程为X2+ (y-1)10r =10方法二：线段AB的中垂线方程为：y -3 = 2(x-1),即y =2x +1,令x = 0,得y =1,又 r = AC= 710 ,所以圆的标准方程为X2 + (y -1)2 =103.求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x -4y -7 =0相切的圆的标准方程.解:以题意,圆的半径-右所以圆的标准方程为：(X-1)2+(y-3)23咒14咒37(五)课时小结(1) 确定圆的条件；(2) 圆的标准方程的形式和求法.(六)布置作业(1) P85 习题 A组 1 (1),(

11、2),(3)（2）问题延伸，课外探究:（i ）已知圆的方程为X2 + y2 = r2,试求过圆上一点P（X0, yo）的切线方程.（ii）已知圆的方程为（X a）2 +（y b）2 = r2,试求过圆上一点 P（X0, y。）的切线方程.（七）板书设计§ 2.1圆的标准方程（一）课题引入（1.初中对圆的定义三）例题解析例1(四）课堂演练2.高中对圆的定义变式1（二）圆的标准方程变式2例2（五）课时小结说明例3（八）课后反思本节在给出圆的标准方程的过程中， 运用简单、特殊的到复杂、一般的数学 思想，使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照 圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美一一对称、简洁。圆的标 准方程的应用是本节的难点。为了突破难点，设计三个例题。充分利用多媒体的 动感演示，刺激学生的感官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来源于实践， 充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，增强应用意识； 同时培养学生勇于探