不含参数的极值点偏移问题专题

1、全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)专题03=极值点偏移第一招不含参数的®值点偏移问题函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常 简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个 变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量 的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数例.(2010天津理)已知函数f(X)=xe(x R)，如果X1HX2，且f(Xi) =f(X2).证明：捲+ X2 :2.【解析】法一(判定定理)：易得/在上单调递増，在(1,2)上单调递减,时/(0)=0,时函数在x = i取得极大值/(I).且

2、/亠如图所示. 总<12 ； Kg丨临2由/不妨设1则必有0西1：花，构造函数 F(x) = f(1+x) -f (1-x),x 巳0,1， 则 F'(x) = f'(1 +x) -f'(1-x)=吕(e2x-1) >0 ,e所以F(x)在x-(0,1上单调递增，F(x) aF(0) =0 , 也即 f(1 +x)Af(1-X)对 x(0,1恒成立.由 OCX, <1 <X2，贝J 1-X1(0,1，所以 f(1+(1G) = f(2-G >f(1 (1-X1) = f(X1)= f(X2)，即f (2 -Xi)f(X2)，又因为2 xi,

3、X2珂1,，且f (x)在(1,+=c)上单调递减，所以2石c%，即证X, + *2 >2.法二：欲证画+为a2,即证花A2画，由法i 0 < jq < 1 < JCj 故 2 吗占为 (L+x), 又因为/(力在(1虫上里调递减，故只需证/<x,)</(2-;q), 又因为才3)=/(花)，故构造函数 Jy<x> = /(x>-/(2-zXx (0J>, 则等价于证明Hg cO对xe(OJ)恒成立.由-严 E,则H(k)在xe(04)上单调ii增, 所以Hg <jy(l)=O,即已证明jy<x) <04xe(0,l

4、)恒成立、X2_Xi故原不等式西+兀1 A 2亦成立一 法三：由f(X1)= f(X2)，得xb1 =X2e*，化简得e1 =昱 不妨设 X2X1，由法一知，0X1TX2.KS5UKS5U.KS5UX1令t=X2-X1，则t：>0,X2=t+X1，代入 式，得6=匸区 反解出Xe*-r贝J X1 +x2=2x1 +t=+t，故要证 X1+ X2 , KS5UKS5UKS5U e -1即证寻+22 ,e -1又因为d-1a0，等价于证明：21+(2)-1)>"0， 构造函数 G(t) =2t +(t -2)(-1),(t >0)，则 G'(t) =(t-1)e

5、 +1,G"(t) =te >0 , 故G在(0)上单调递增，G> G 0)= 0 , 从而G(t)也在t迂(0,母)上单调递增，G(t) >G(0) = 0 , 即证®式成立，也即原不等式画+乃a2成立一法四：由法三中式，两边同时取以总为底的对数，得玉码,互+1 也即沁如=1,从而屮可二(坷+切込至丑=也血翌=如岂 在一可花一坷 花-jq A 卫_TTf + 1令则欲证+>2,等价于证明,画f1构造 M (t)=亿 t1)" t =(1+2)ln t,(t >1),t-1t -1则 M®,t(t-1)2又令® =

6、t2 -1 -2tl nt,(t >1)，贝J ® '(t) =2t -2(l n t+1) = 2(t-1-l nt)，由于t>1 nt对yt壬(1,母)恒成立，故WaO， ®(t)在t (1, P)上单调递增，所以化)八(1) = 0，从而MZt)A0,故 M(t)在 t - (1,址)上单调递增，KS5UKS5UKS5Uitl M .輕卄 1 斗)1 t 7 =XTt -1t_ ， (t H1即证M(t):>2，即证 式成立，也即原不等式 为+ x2成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元 不等式，方法一、二利用构造

7、新的函数来达到消元的目的，方法三、全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示， 从 而达到消元的目的.例.（2013 湖南文）已知函数 f（x）=±mex，证明：当 f （xj = f （X2）（x, HX2）1 + x时,N 十X2 w°.ks5ukS5UKS5U【解析】易知，f（x）在（Y,0）上单调递增，在（0,畑）上单调递减.I -jr当xlB寸，由于一所以/（力0；1 + x同理，当el时，/（x0.当=工七）时，不妨设西花，由函数单调性知Jq在e（Ql）.下面证明：林阳心3，即证：診怜1 +兀此不等式等

8、价于(1 -力扌-竽< 0.1 _1_ V令 F(x) - (l-xX-il±,xe (04),则 rx)- 一卫7(/ -1),当xe(OJ)日寸，严(力<0, F(功单调递减，从而F(a)<F(0) = 0,1 + V 即(1 一工)詁一字 <0,-t所以 Vx e (0) /(jc) < /(-Jt)-而花所以/s）y（花），X/）=/（X,）.从而 /() < /<-)- 由于坷花e（TO,O）,且/（力在（TD.O）上单调递増 所码C花，艮卩证羽+花2 0.招式演练: 已知函数 f(X)=1 n X +x2 +x，正实数 x1,x2

9、满足 f (xj + f (x2Vx1x2 = 0 .全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)证明：X1 +X2 二1 .KS5UKS5U2【解析】 由 f (xj + f(X2)+x1X2 = 0 ,得 In xi + X12 +为 +ln x2 +X22 +X2 + x1x2 = 0从而(Xi + X2)2 +(Xi +X2) =XiX2-In(XiX2),令t詁%2，构造函数®(t) =t -1nt ,得®“-”二十 ,可知W(t)在(0,1)上单调递减，在(1)上单调递增， 所以 W(t)沁(1)=1，也即(X1+X2)2+(X1+X2)31 , 解得：捲72

10、>归2已知函数f(x) = lnx-X .(I)求函数f(X )的单调区间;(n)若方程f(x) = m (me2)有两个相异实根 为,他，且 < x?，证明:2 cX1X2 <2【答案】(I)y=f(x )在(0,1)递增，y=f(x )在(1 + r 递减；(n)见解析【解析】试题分析：求出广(力，可得函数得/(刃的增区间，fx)<Q得可得函数得/(X)的减区间j ( 2 )由可设/&) = /« 的两个相异实根分别为坷亠满足西一胡=(皿一?一刚=0，只需证明.胚(西)<営 即可、试题解折；了 (工)=血L兀的定义域为(0,他)当忑E(oj)时厂"所以$ =冷在(0山递増 当xea+00)时fO)" 所以y = /W在(1，他)递碱(2)由(1)可设他二m的两个相异实根分别为X,满足nx-x-ffs=D且0珂1,两1，血可一-| =血可一*一战=0由题意可知 In<-2 <ln2-2又有(1)可知/W = hx-A在(1,+ra)递减故巧22 所以，令g(M = lnx-x-牺2 2 2 2 2 或X)g(y) =血心xJ-血一y r)=山乃乃)他-)2=一乃 + +3In Aj -In 2片22令吃) = +3111