不等式选讲理

1、全国名校高考数学二轮复习优质学案汇编(附详解)不等式选讲1.(优质试题广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)=|xm + |x| , mN*，存在实数x使f (x)<2成立.(1)求实数m的值；若 a1, 3 > 1, f ( a ) + f( 3 ) = 4,求证：+3 > 3. a 3解：(1)因为 | x m| + I x| > |( x m) x| =|m.所以要使不等式I x m +1 x|v2有解，则I m<2, 解得2<n<2.因为mN*，所以m= 1.(2)证明：因为a > 1 , 31 ,所以 f( a ) + f( 3 ) =

2、 2 a 1 + 2 3 1 = 4, 即 a + 3 = 3,411(41 】所以a+3=3匕+3丿(a +3)L 43a '15+ c>-iV a 3丿3113=3.当且仅当43=f ,即卩aa 3=2, 3 = 1时等号成立,102.(优质试题唐山模拟)设 f (x) = | x| + 2|xa|( a>0).(1)当a= 1时，解不等式f(x) <4；若f(x) >4,求实数a的取值范围.解：(1)当 a = 1 时，f(x) = |x| + 2|x 1| 2 3x, x<0,<2 x, 0<x< 1, Ex 2, x>1.

3、2当 x<0 时，由 2 3x<4,得-< x<0;3当 0W x<1 时，由 2-x<4,得 0Wx< 1;当 x>1 时，由 3x 2<4,得 1<x<2.综上，不等式f(x) <4的解集为3 2j2a 3x, x<0,(2) f (x) =|x| + 2|x a| = 2a x, 0< x< a,3x 2a, x>a.可见，f(x)在(X, a上单调递减，在(a,+x)上单调递增.当x= a时，f(x)取得最小值a.若f(x) >4恒成立，则应a>4. 所以a的取值范围为4，+X)

4、.3. (优质试题全国卷m )设函数f(x) =|2x + 1| + |x 1|.(1)画出y = f(x)的图象； 当x 0,+x)时，f (x) < ax + b,求a+ b的最小值. 1j -3x, x<2, 解：(1)f(x) 1 x+ 2,x<1,3x, x> 1.y = f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知，y= f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部 分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a>3且b>2时，f(x) <ax + b在0 ,+)成立，因此a+ b的最小值为5.4. (优质试题开封模拟)已知函数f(x) = |x m

5、 , n<0.(1) 当 m= 1 时，求解不等式 f(x) + f( x) >2 x；(2) 若不等式f(x) + f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围.解：(1)设 F(x) = f (x) + f ( x) = |x 1| +|x+ 1|厂2x, x< 1,= 2,- 1< x<1, G x = 2 x,2x, x> 1,由 F(x) >Gx)解得x|x<- 2 或 x>0. f(x) + f(2x) =|x m + |2x-m , n<0.设 g(x) = f(x) + f(2x),当 x< m时，g(x) =

6、 m-x+ m-2x = 2m-3x，贝J g(x) >-m当 nxv时，g(x) = x n+ m-2x = x,rr r m则2<g( x)< m当 x>m时，g(x) = x2x m= 3x 2m,r rm则 g(x) > -IJ则g(x)的值域为2,不等式f(x) + f(2x)<1的解集非空,即1>2解得m> 2,由于n<0,则m的取值范围是(一2,0).25. (优质试题昆明模拟)设函数f (x) = | x a| + x+- (az0,aa R).(1)当a= 1时，解不等式f(x) < 5； 记f (x)的最小值为g(

7、a)，求g( a)的最小值. 解：(1)当 a= 1 时，f(x) =|x 1| +|x+ 2| ,j2x + 1, x>1,故 f (x) = 3, 2<x< 1,2x 1, x< 2. 当 x>1 时，由 2x + 1<5,得 x<2,故 1<x<2; 当一2< x<1 时，由 3< 5,得 x R，故一2< x< 1; 当 x< 2 时，由一2x 1<5,得 x>- 3,故一3<x<2.2r 2、2x+ a>x a x+ a丿a+ aa| +综上，不等式的解集为3,2.

8、/r 2)当且仅当 x ax+ a广0时等号成立丿(2) f(x) = |x所以 g(a) = a+-,2222a + 一a|a| +a讨|a| a=2血因为当且仅当|a| = I即a=±/2时等号成立，所以 g( a) min = 2寸2.6. (优质试题陕西模拟)已知函数f(x) = |2x 1| +|x+ 1|.(1)解不等式f(x) <3; 记函数g( x) =f (x) +| x+1|的值域为 M若t M证明：t2+ 1> 3+ 3t. 3x, x< 1,I12一 x 一 1<Y<- 解：(1)依题意，得f(x) =，23x,I.丿或I*2 x

9、 <31 x> 2，fx< 1,于是 f(x) <3 ?1I 3x <3f 1!x 2,3x < 3,解得1< x < 1.故不等式f(x) <3的解集为x| 1< x< 1.(2)证明：g( x) = f (x) + |x + 1| =|2x 1| + |2x + 2| > |2x 1 2x 2| = 3,当且仅当(2x 1)(2 x + 2) <0时取等号, g3，+乂).33t2+ 1>- + 3t 等价于 t2 3t + 1 ->0,t2-3t+1-r= 17 t t+V t M 二 t 3>

10、;0 , t2+ 1>0 , 17 t t2+1>0, t2+ 1> 3+ 3t.7. (优质试题福州模拟)设函数f(x) = |x 1|.(1)求不等式f(x) < 3 f(x 1)的解集；(2)已知关于x的不等式f(x) < f(x +1) |x a|的解集为M若 1, 3? M求实数a的取值范围.解：(1)因为 f(x) <3 f(x 1), 所以 |x 1| < 3 |x 2| , 即 |x 1| + |x 2| < 3,x<1 ,则$13 2x<3-f1< x < 2 , 或I1<3-或 $>2 ,I

11、2x 3< 3 ,解得 0<x<1 或 1<x<2 或 2<x<3,所以0<x<3,故不等式f(x) < 3 f(x 1)的解集为0,3.(2)因为1,2皿I 3所以当 x 1, 2时，f(x) < f(x + 1) |x a| 恒成立，而f(x) < f(x + 1) |x a| ? |x 1| - |x| + |x a| <0? |x a| <| x|-|x 1| ,因为 XW 1, 3所以 |x a| < 1,即 x K a<x + 1,由题意，知x1< a<x + 1对于x 1,

12、 2叵成立1所以2< a< 2,故实数a的取值范围为2, 28 .(优质试题-郑州模拟)已知f(x) = |2x 1| + |ax 5|(0< a<5).(1)当a= 1时，求不等式f(x) >9的解集; 若函数y= f(x)的最小值为4,求实数a的值.解：(1)当 a = 1,f(x) = |2x1| + I X 5| = 11 63x, x<2, 1x+ 4,x<5,I 3x 6, x > 5, f(x) >9? b<2,6 3x>91或 2三 x<5,x + 4>9或 x>5,L3x 6> 9.解得x< 1或x>5,即所求不等式的解集为(一， 1 U 5,5 V 0<a<5,A a>1,a+2 x+6, Xv2,1 5则 f(x) = 2-a x + 4 -<x<