一轮复习第九章平面解析几何9.8.2圆锥曲线的最值问题练习

1、982圆锥曲线的最值问题核心考点精准研析14K考点一几何法求最值*题组练透*疋21.设P是椭圆 一+=1上一点,M,N 分别是两圆:(x+4)2£92 2 2 2+y =1和（X-4） +y =1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为(A.9,12B.8,11C.8,12D.10,122.已知点A是抛物线C:y2=4x上的一个动点，点A到直线x-y+3=0的距离为di,到直线x=-2的距离为d2,则d1+d2的最小值为()V2A.+23B.2甘 2cV+3D.2和2+1A,B,由椭圆定【解析】1.选C.如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点 义知|PA|+

2、|PB|=2a=10,连接PA,PB分别与圆相交于两点， 此时|PM|+|PN|最小，最小值为|PA|+|PB|-2R=8;连接PA,PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|+|PN|最大，最大值为|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为8,12.2.选D.抛物线的焦点为F(1,0),则 d2=|AF|+1.故 d1+d2=|AF|+d 1+1.显然，当点A为点F到直线x-y+3=0的垂线段与抛物线的交点时，|AF|+d 1取到最小值I L-0+3 Id=22.故d1+d2的最小值为22 +1.几何方法求解圆锥曲线中的最值问题，即通过圆锥曲线的定义、 几何性质将最值转化，利用

3、平面几何中的定理、性质，结合图形的直观性求解最值问题.常用的结论有： (1)两点间线段最短； (2)点到直线的垂线段最短考点二代数法求最值问题!考什么：(1)考查圆锥曲线中相关最值问题的求解! (2)考查数学建模、数学运算以及逻辑推理的核心素养以及函数与方程、转化与化归等数:学思想方法.!怎么考：(1)涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题! (2)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问!题.新趋势：最值问题与函数、不等式等其他知识相结合=1.代数法求解最值问题的解题思路S首先需要根据题目的条件和结论找出明确的函数关系,建立起目标函数，然后转化为函数I的

4、最值求解，最值常用基本不等式法、配方法、函数单调性法等求解I 2.交汇问题'求解函数最值，要根据函数解析式的结构特征灵活变形，采用相应的方法求解-命題角度“利用基本不等式求最值【典例】已知椭圆号+岭=1(a>b>0)，F1，F2为它的左、右焦点，P为椭圆上一点，已知/RPH=60°,$AFiP马(，且椭圆的离心率为2(1)求椭圆方程. 已知T(-4,0),过T的直线与椭圆交于M,N两点，求 MNF面积的最大值.【解题导思】序号题目拆解(1)求参数a,b利用椭圆的定义和几何性质，转化已知，建立方程组求解.(2)求M,N两点坐标的关系设直线方程，直线方程和椭圆方程联立

5、方程组，消兀后利 用根与系数的关系建立坐标的关系式求 MNF的面积利用点Fi,把所求三角形的面积用两个三角形面积之差 表示,从而进行坐标运算，建立面积模型求面积的最值根据式子的结构特征,通过化简构造基本不等式求解最 值【解析】 由已知，得|PFi|+|PF 2|=2a,2 2 2|PFi| +|PF2| -2|PFi|PF 2|cos 60° =4c ,2 2 2即|PFi| +|PF2| -|PF i|PF 2|=4c ,1-|PFi|PF 2|sin联立解得a2-c2=3.又三2口 260° =/3 ,即 |PFi|PF 2|=4,所以 c2=1,a2=4,b2=a2-

6、c2=3,椭圆方程为艺X=i.4.3(2)根据题意可知直线 MN的斜率存在，且不为0.设 M(xi,y i),N(x 2,y 2),直线 MN的方程为 x=my-4,代入椭圆方程整理得(3m2+4)y 2-24my+36=0,则 =(-24m)2-4X 36X (3m2+4)>O,所以 m>4.24e36yi+y2=7,y iy2wTr,则 MNF的面积弘血Fj =|S価'Fl -SAMTFi |2|TFi| |y i-y2|弓 J(yi + 兀)2-4旳兀 r24?n144胪7一一=1 h3?71 + 4 此+3 啊ZL=6宀芒=6XLfIfi16 3v3f T J V1

7、=wp.当且仅当J胪-4=728即m牙时（此时适合 >0的条件）取得等号.3'3故 MNF面积的最大值为4-命角度2$利用函数单调性求最值【典例】已知椭圆C帀肓b。）的离心率为-,左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆Cv6 上一点，AFi 与 y 轴交于点 B,|AB|=|F 2B|,|0B|= £求椭圆C的方程. 过右焦点F2的直线y=k（x-2）（k工0）交椭圆于P、Q两点,若PQ的中点为N,0为原点,直线ON交直线x=3于点M.求怦的最大值.I M旳I【解题导思】序号题目拆解（1）求参数a,b利用椭圆的几何性质，转化已知，建立方程组 求解(2)求N点坐标直线和椭圆

8、方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系求N点坐标求M点坐标求直线ON方程,与直线x=3联立,即可求得M点坐标|pqI求戶片" I M旳I利用坐标分别表示出两条线段的长度，构建目标函数求最值根据目标函数结构特征，通过换兀转化为二次函数的最值问题求解【解析】连接AF2,由题意得|AB|=|F 2B|=|F iB|,所以F1AF2的中位线,又因为BCL F1F2,C所以 AFa丄 F1F2,且 |AF2|=2|BO|=a 31 222 一 2 2,又 eh ,a =b +c ,得 a =6,b =2, a 3故所求椭圆方程为二疋=1. 2=1联立-&2QQQQ可得(3k +1)x

9、 -12k x+12k -6=0.设 P(xi,y i),Q(x 2,y 2),I2k-G则 X1+X2,x 1x2= ；,-4k所以 y1+y2=k(X 1+x2)-4k=-2"所以PQ的中点N的坐标为3咚+1/盲珅1 PQF"+/1因此直线ON的方程为y=-?jF,从而点,|MF2|=Ji +古,IPqF 24以 OJD 设匸山地广/尸，令U=3k2+1,则I=8心也上(一3 VtjZ 2 嚏 21632 g16所以|QM|=Jp(?r-严-i=j 对 +(坯_仿2_严_1因此当U=4,即k=±若-4t < -2，即t迄时燈知得最大值它包.*题组通关当y

10、o=-2时,|QM|取得最大值,|QM|ma&牡+ 3壬,解得23 1t=<(舍去).6 2若-4t>-2,即 0<t<,2r- 丁'E当 y0=-4t 时,|QM| 取最大值,且 |QM|ma>=p4 +4£二一,解得 t.5阴巨综上可知,当匸_时,|QM|的最大值为2.已知点C是圆F:(x-1)2+y2=16上任意一点，点F'与圆心F关于原点对称.线段CF的中垂线与CF交于P点.(1)求动点P的轨迹方程E.设点A(4,0),若直线PQI x轴且与曲线E交于另一点Q,直线AQ与直线PF交于点B,证明：点B恒在曲线E上,并求 PA

11、B面积的最大值.【解析】 由题意得，F点坐标为(1,0),F ( -1,0),因为P为CF'中垂线上的点，所以|PF 1=1 PC|.又|PC|+|PF|=4,所以 |PF 1+1 PF|=4>|FF T=2,由椭圆的定义知，2a=4,c=1, 所以动点P的轨迹方程E为兰+ 吐1.43设P点坐标为(m,n)(n丰0),则Q点的坐标为(m,-n),且3m+4n2=12,31所以直线QA:y= (x-4),4-771即 nx-(4-m)y-4n=0,直线 PF:y=(x-1),即 nx-(m-1)y-n=0.rrt-13-nX,y 氓 -,2 巾5piz- (4-m) y-4n =

12、0,联立方程组)解得Injr- Cm-1 j 0,则哇童心);s"43 4t2m-5> 3(2771-5)3 5m-eOTn+6i+L2n ISm-SOm+lOO =n= 1,所以点B恒在椭圆E上.设直线 PF:x=ty+1, P(x 1,y1),B(x 2,y 2),则由仁X；消去X整理得+ 4于-12,2 2(3t +4)y +6ty-9=0,6t9所以 y1+y2=7i,y 唇注：,所以 |y 1-y 2|= J+必)'一4儿_118廿+1 lsvPTT从而 $ PA書|FA|y t-y 2|=7L8111）,贝y函数g（卩）=3 + -在1,+ g）上单调递增，

13、fi故 g(卩)min=g(1)=4.18 9所以&曲丁亍即当t=0时, PAB的面积取得最大值,9且最大值为孑塚合创新*條1.（2019 荷泽模拟)抛物线 E:x2=2py(O<p<2)的焦点为 F,圆 C:x2+(y-1) 2=1,点 P(Xo,yo)为抛Sp1物线上一动点.已知当|PF|=二厂时， PFC的面积为一.33(1)求抛物线方程.若yo>,过P作圆C的两条切线分别交y轴于M,N两点，求 PMN面积的最小值，并求出此2时P点坐标.【解析】(1)由题意知,F(a |),C(0,1),因为 o<p<2,所以 |FC|=1- I5P S又|PF|=

14、 -p,所以 yo+= p,22 2所以 yo=2P，所以 |x o|=2p.所以Sa戸尸号(1-彳)2p舟，所以p=1, 所以抛物线方程为 x2=2y. 由题意，设过点P且与圆C相切的直线的方程为 y-y o=k(x-x o).令x=0,得y=yo-kx o,所以切线与y轴的交点为(0,y o-kxo),而圆心到切线的距离 d-bt 竽丄1,整理得(尢£l)k +2xo(1-y o)k+y7-2y o=o.A2因为yo亏,所以>1,设两切线斜率为ki,k2,2则 kl+k2/ZZ所以 SaPMN|(y o-k ixo)-(y o-k 2xo)|x o|=|k i-k 2| 尤

15、q ,2 2因为 |k 1-k2| 2=(k1 + k2)2-4k1k2爲伽f 2 '(用7兀)i所以|k 1-k 2|=孕鱼，则$ PM='用，畸一1 20-1令 2y0-1=t(t>0),则0=32（竽£ 1所以&辭仲 上戸坯+1,t 1 ft 1而一+1 > 2* +1=2,2 2*7 2 2tt 1当且仅当乙?即t=1时,“=”成立.所以S"MN的最小值为2,此时P（ ± 返,1）.右焦点为Fi,F2,长轴端点为 A,B,0C交于不同的两点，这两点在x轴上2.（2020 济南模拟）已知椭圆C_=1（a>b>0

16、）的左、* if空为椭圆中心，百Fg=1,斜率为丁的直线I与椭圆的射影恰好是椭圆 C的两个焦点.（1）求椭圆C的方程. 若抛物线y2=4x上存在两个点 M,N,椭圆C上存在两个点P,Q,满足M,N,F2三点共线,P,Q,F 2三点共线,且PQIMN求四边形PMQf面积的最小值.【解析】（1）已知椭圆方程为：;7切=1（a>b>0）,r r利用数量积运算月尸2 C B=1,可得a2-c2=1,直线I的方程为yMx,当x=c时,y=父三C,2 2代入椭圆方程可得2-21x4=宀龙ipqfJi + 存 J 必 +尤3 * 為-比七，所以四边形PMQN 勺面0联立解得a2=2,c 2=i,

17、椭圆方程为 一+y2=i.2(2)当直线MN的斜率不存在时,直线PQ的斜率为0,得到 |MN|=4,|PQ|=2 迈,S 四边形PMQ= 桩.当直线 MN的斜率存在时，设直线 MN方程为y=k(x-i)(k丰0),与抛物线 y2=4x联立得2 2 2 2k x -(2k +4)x+k =0.4设 M(xi,y i),N(x 2,y 2),则 xi+X2+2,x i - X2=1,|MN|=V1 + 啓 J % +-4/1 * 后事+4,1因为pQl皿“所以直线PQ的方程为y我(x-i)(k M 0),将直线PQ与椭圆方程联立,得 (k2+2)x2-4x+2-2k =0,4设P(X3,y 3),Q(x 4,y 4),贝yX3+X4=泮,x 3令 1+k2=t(t>1),则 S 四边形 PMQ=(鶯;:严(1 +综上,S四边形pmq4 4p 2 , 其最小值为4和"2 .变式巩固*1.已知椭圆C的左、右焦点分别为Fi(-1,0),F 2(1,0),且F2到直线X-M舌y-9=0的距离等于椭圆的短轴长.求椭圆C的方程. 若圆P