不等关系与不等式

1、学习必备欢迎下载不等关系与不等式学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系2初步学会作差法比较两实数的大 小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.自主学习戸知识梳理知识点一不等关系与不等式 1.不等关系 在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型: (1)用不等式表示常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探 月器的质量；1.4 m；(2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于(3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系，如当x > a时，销售收入f(x)大于成本g(x);(4)用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置

2、课桌的费用60X与购置椅子的费用30y的和不超过2 000元.2.不等式 (1)不等式的定义用数学符号“v”“”“w ”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等 关系，含有这些不等号的式子叫做不等式.关于a> b和aw b的含义b”b” 不等式a> b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a> b或a= b,等价于“ a不小于 即若a> b或a= b中有一个正确，则 a>b正确.不等式aw b应读作：“a小于或等于b”，其含义是av b或a= b,等价于“ a不大于 即若av b或a= b中有一个正确，则 aw b正确.知识点二比较大小的依据 (1)比较实数a, b大

3、小的文字叙述 如果a b是正数，那么a>b; 如果a b等于0,那么a= b; 如果a b是负数，那么a<b,反之也成立.比较实数a, b大小的符号表示 a b > 0?a>b; a b = 0?a= b;a b<0? a<b.思考(1)x> 1 时，x2 x_0(填“>”或 “<”)(2)0/6+V2)210+ 4迈(填“>”或 “<” )答案>(2) <解析(1)x2 x= x(x 1)x> 1 时，x 1 >0, x>0, x(x 1)>0, x2 x>0.(2)(心 + V2)2

4、= 8+ 212= 8+ 4羽 < 10+ 4/3.知识点三常用的不等式的基本性质(1)a>b?b<a(对称性); a>b,b>c? a>c(传递性); a>b?a+ c>b + c(可加性); a>b,c>0? ac>bc;a>b, c<0? ac<bc;a>b, c>d? a + c>b + d;a>b>0,c>d>0? ac>bd;a>b>0?an>bn)( n N , n1;(8)a>b>0?艙丸)(n N , nA 2.重点

5、突破题型一用不等式（组）表示不等关系 例1铁路旅行常识规定:一、随同成人旅行，身高在1.11.4米的儿童享受半价客票（以下称儿童票），超过1.4米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人160数应买儿童票.十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过 厘米，杆状物品不得超过 200厘米，重量不得超过 20千克 设身高为h（米），物品外部长、宽、高尺寸之和为 P（厘米），请用不等式表示下表中的不等关 系.文字表述身高在1.11.4米身高超过1.4米身咼不足1.1米物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米付号表示解 由题意可

6、获取以下主要信息：（1）身高用h（米）表示，物体长、宽、高尺寸之和为P（厘米）;（2）题中要求用不等式表示不等关系.解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等 式表示.身高在1.11.4米可表示为1.1 W hw 1.4,身高超过1.4米可表示为h > 1.4, 身高不足1.1米可表示为h < 1.1,物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P < 160.如下表所示:文字表述身高在1.11.4米身高超过1.4米身咼不足1.1米物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米符号表示1.1 W hw 1.4h> 1.4h < 1.1Pw 160跟踪训练1如下图

7、，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地.仓 库的长L大于宽 W的4倍.写出L与W的关系.J m号I爲5 m解由题意，得 f (L + 10 )W+ 10 尸 350, L4W,=(x2 1)2(x2 + 1)> 0.当 x= ± 时，X6+ 1 = X4+ x2;当 xM ±1 时，X6+ 1> X4+ x2.综上所述，X6+ 1 > x4+x2,当且仅当x= ±1时取等号./ (5x2 + y2 + Z2) (2xy + 4x+ 2z 2) =4x2 4x+ 1 + x2 2xy+ y2 + z2 2z+ 1 =(2x

8、1)2+(X- y)2+(Z 1)2> 0, 5x2 + y2+ z2> 2xy + 4x + 2z 2,当且仅当x= y= 2且z= 1时取等号.跟踪训练2 设a> 0, b> 0,且aM b，比较aabb与abba的大小.aabb解aV=a b. b aa b当a>b>0时,> 1,> 1, a b>0, ' b当b> a> 0时,0<a< 1, a b< 0, (b)-b> 1,aabb1,又 aabb> 0, abba>0,. aabb>abba.题型三不等式性质的应用例

9、 3 已知 a> b> 0, c< d< 0, e< 0，求证： >a c b d证明/ c< d< 0,- c> d> 0,又 a> b> 0,-a + ( C)> b+ ( d)> 0,即 a c> b d> 0,1 10v acv h,又 ev 0,e e > a cb d跟踪训练3 已知a>b, m>n, p>0，求证：napvm bp.证明/ a> b,又 p> 0, ap>bp.-ap v bp,又 m > n 即 nv m. n apv

10、m bp.易错点忽视性质成立的条件导致错误例4 已知1 < a b< 2且2W a + b< 4,求4a 2b的取值范围.错解 K a b< 2,2< a + b< 4,由+，得3 < 2a< 6,3 |< aw 3,由 + X ( 1)，得 0< 2b< 3,由X 4+3 (-2), 得 3W 4a 2b< 12.错因分析 由上述解题过程可知，当a = 3且b = 2时，3 w 4a 2b才取等号，而此时a b = 0, 不满足式，因此4a 2b是不能等于3的.同理可验证 4a 2b也不能等于12.出现上述错”这一性质是

11、单向的，用误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向 它来作变形，是非同解变形，因此结论是错误的.正解 令 a+ b= u, a b= v, 则 2< u w 4,1 w vW 2. U + Vfa + b= u,a = "T，由解得<a b=v, u vlb = . 4a 2b = 4 号2 宁 =2u + 2v u + v= u+ 3v./ 2 w u w 4,3W 3v w 6, 5w u + 3vw 10.-5 w 4a 2b w 10.误区警示 把条件中的ab和a+b分别看做一个整体，采用整体代入法，并结合不等式的 性质求解，可以得到正确的结论.

12、自查自纠歹当堂检测1.完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算 20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是 （）A . 5x+ 4yv 200B. 5x + 4y> 200C. 5x+ 4y= 200D. 5x+ 4yw 2002.设x<a<0,则下列不等式一定成立的是（）2 2A. x <ax<a2 2B. x >ax>aC. x2<a2<axD. x2>a2>ax3.设M = x2, N= x 1,贝y M与N的大小关系是（）B. M = NC. M<

13、; ND.与x有关x14.若x R，则石x?与2的大小关系为厂课时精练、选择题1.已知a+ b> 0, b< 0，那么a, b, a, b的大小关系是（）A. a>b> b> aB. a> b> a>bD. a>b>- a>- b2.设0< b< a< 1,则下列不等式成立的是（）2A . ab< b < 11 1B. log2b< log-a<0C. 2b< 2a< 22D. a < ab< 13.已知a, b （0,1），记M = ab, N= a + b 1

14、,贝U M与N的大小关系是（）B. M > NC. M = ND.不确定1 14.已知四个条件：b>0> a,0>a>b,a> 0>b,a>b>0，能推出"<7成立的有（）a bb cA.->- a -a2A .若1 1a> b，且 a>b 贝y a> 0,bv 0B .若aa>b, b丰 0,则 b> 1C.若a>b，且 a+ c>b+ d,贝Uc> dD .若a>b，且 ac>bd,贝U c>d7.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程

15、跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室A .甲B.乙C.同时到达D.无法判断二、填空题&给出下列命题： a>b? ac2> bc2:a> |b|? a2> b2;a>b? a3>b3;|a|> b? a2> b2.其中正确的命题序号是9.一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过 2 200 km ,写出不等式为;如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为5.已知a, b, c满足

16、cv bv a,且acv 0,则下列选项中不恒成立的是（）bH 0ca一 cD."arv 06.下列命题中，一定正确的是（10. 已知实数 X, y满足4w x-yw 1，- 1 w 4x- yw 5，贝U 9x 3y的取值范围是三、解答题11. (1)若 be ad>0, bd>0,求证：一w已知a, b, m均为正数，且av b,求证:a+ m a b+ m b，12.若二次函数f(x)的图象关于y对称，且 K f(1) w 2,3< f(2) < 4,求f(3)的取值范围.13.设 f(x) = 1 + logx3, g(x) = 2logx2，其中 x

17、> 0 且 xm 1，试比较 f(x)与 g(x)的大小.当堂检测答案1答案 D 解析 据题意知，500X + 400yW 20 000，即 5x+ 4yW 200,故选 D.2. 答案 B 解析 / x<a<0, x2>a2.2 2x ax = x(x a)>0, -x >ax.2 2又 ax a = a(x a)>0 , - ax>a -x2>xa>a2.3. 答案 A 解析 M N= x2+ x+ 1 = (x+ 2)2 + 3> 0. M > N.2 = 2 = 21 + x2 22(1 + X2 )2(1 + X

18、2)x 1 2x一 1 一 x (x 1 2 解析 一 1 = 2- =/< 0.课时精练答案、选择题1答案 C解析方法一 / a+ b>0, a>-b,又 bv 0, a > 0，且 |a|> |b|.方法二设 a = 3, b= 2,贝U a> b>b>- a.2.答案解析设a = 3, b= 1，验证即得A、33D错误；结合y= Iog2x, y= 2x的单调性得B错误，C正确.3.答案解析M N= ab- (a + b 1) = ab- a- b + 1 =(a- 1)(b- 1)./ a, b (0,1), a - 1 v 0, b-

19、1 v 0 M - N> 0, M > N.4. 答案 C1 1解析中，av0vb， avb，1 1b中，bv av 0, v1 a I故三个均可推得1v5. 答案 C1解析/ cv bv a，且 acv 0, . a>0, cv 0.由 a> 0,得>0,a又b>c, b>C，故A恒成立;a aba/ b< a, b a< 0,又 c< 0, > 0,故 B 恒成立;ca c/ c< a, a c>0，又 ac< 0, <0，故 D 恒成立;acb2 _2当b 2, a 1时，b2>a2,又c&l

20、t; 0, -< ，故C不恒成立.故选 C. c c6. 答案 A 解析对于 A，一1 >b, -bar>0, 又 a> b, b av 0, / abv 0, / a>0, b< 0，故 A 正确;对于B，当a>0, b< 0时，有b< 1，故B错;对于C，当a = 10, b = 2时，有10+ 1> 2+3,但 1 < 3,故 C 错;对于D，当a = 1, b= 2时,有(1)X ( 1)> ( 2) X 3，但1 < 3,故 D 错.故选 A.7. 答案 B解析设路程为S,步行速度V1,跑步速度V2,则1

21、1甲用时1s 1st1 = +,V1 V2乙用时S+ S 2Sp2Vi 2V2 Vi+ V22ViV2Vi + V2_(V1 + v2 2 4viv2- 2ViV2(Vi + V2 )2 C=(v1v2)S >0 2V1VV1 + V2 )甲用时多.二、填空题 &答案 解析当c2 = 0时不成立.一定成立.当a > b时，当bv 0时,a b' = (a b)( + ab+ b)= (a b) 'G*+>0 成立.不一定成立如：|2|> 3,但 22v ( 3)2.9.答案 8(x + 19) > 2 200解析由题意知，汽车原来每天行驶

22、x km,8天内它的行程超过 2 200 km ,则8(x + 19) >2 200.8x若每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即x2> 9.10.答案6,9解析 设 9x 3y= a(x y)+ b(4x y) = (a+ 4b)x (a + b)y,F + 4b= 9,la + b= 3,F=1,Lb= 2, 9x 3y= (x y) + 2(4x y), / K 4x yw 5, 2< 2(4x y)< 10, 又一4< x yw 1, 6w 9x 3yw 9.三、解答题11解(1)方法一/ bc ad>0, bc > ad.bd > O'