三垂线定理(1)

1、最新高一数学学案（附经典解析）三垂线定理课 型：新授课、课题：三垂线定理、教学目标：1.掌握科学的概念，了解射影、斜线的定 义;2. 掌握三垂线定理及其逆定理，利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线垂直问题。三、教学重、难点：三垂线定理及其逆定理；三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系.四、教学过程:（二）新课讲解:1.射影的有关概念:（1）点的射影：自一点P向平面引垂线，垂足P叫做P在平面 内的正射影（简称射影）最新高一数学学案（附经典解析）最新高一数学学案(附经典解析)(2)图形的射影：如果图形 F上所有点在一个平面内的射影构成图形F，则F叫做F在这个平面内的射影.2.斜线的有关概念:(1

2、)斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么 A这条直线叫做平面的斜线;(2)斜足：斜线和平面的交点;(3 )斜线段：斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段.由此，斜线段AB在平面内的射影仍为线段，3. 三垂线定理:定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：PO,PA分别是平面 的垂线和斜线，OA是PA在平面内的射影，a ，且a OA求证：a PA ；P证明： POPO a，又 a OA,POI OA O a 平面 POA ,说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的（2）推理模式:POPAI a条斜线的垂直关系;,OAa PA .,

3、a OA4. 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。（证明略）推理模式:PO ,OPAI A a ,a A P练习：Rt ABC在平面内，指出图形中的直角三角形。C 90。, PC,CD AB 于点 D，请PRt ABC,RtRt PDA,RtRt PCA,RtADC, Rt BDCPDBPCB, Rt PCDA丄AD所以，由三垂线定理知， PABC .三.例题分析:例1.已知：点0是ABC的垂心，PO 平面ABC，垂足为O ,求证：PA BC .证明:点0是ABC的垂心，ADBC又PO 平面ABC，垂足为O ,C最新高一数学学案（附经

4、典解析）例2.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的角平分线上.已知:BAC在平面内，点P别为 E,F,O, PE PF ,求证:BAOCAO .证明：PEAB,PFAC,PO PE AEOE, ACPF, PAOF （三垂线定理逆定理）PA , Rt PAE Rt AOF ,AF，又 AO AO ,Rt AOERt AOFBAO CAO .例3.如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔只有量角器和尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离?AB，咼 15m ,解：在道路边取点C,使BC与道路边所成的水平角等于90。,再在道路边取一点D，使水平角 CDB 45。,测得C,D的距离等于20m , BC是AC在平面上的射影， 且CD BC CD AC （三垂线定理）因此斜线段AC的长度就是塔顶与道路的距离，CDB 45o,CD BC,CD 20m , BC 20m ,最新高一数学学案（附经典解析）在 Rt ABC 中得 |AC| Jab2 BC2 J152 2tf 25(m),答：电塔顶与道路距离是 25m .四、课堂小结: 1.射影和斜线的有关概念;2.三垂线定理及其逆定理.五、作业:1 .在正方体AG中，求证：正方体的对角线P AC垂直于平面2.如图，ABCD是矩形，PA 平面abcdM,N分别是AB, pc的中点，八、C求证：AB MN .