第19章第05课时平行四边形综合

1、平行四边形的性质【目标导航】1.2.对平行四边形的知识进行整理与回顾.掌握平行四边形的性质与判定，能熟练运用这些知识解决问题.【问题探究】1.如图1所示，平行四边形 ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将 ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若 FDE的周长为8, FCB的周长为22，贝U FC 的长为.【变式】如图2，把一张平行四边形纸片 ABCD沿BD对折。使C点落在E处，BE与AD相交C例2.如图3，【变式】如图AF-CD=3，则在 ABC中，AB=10，AC=6，那么BC上的中线 AD的取值范围是4,六边形 ABCDEF 中，若/ A= / B= / C= / D= / E

2、=/ F, BC+DE等于多少？且 AB+BC=11 ,图4A、C两点AB、DC的中点5,),小刚过这两种分割方法中面积之间的关系为SiS3S4 ；例3.阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过 画直线AC把平行四边形 ABCD分割成两个部分(如图所示S2，根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条，请在图7的平行四边形中画出一种：由上述实验操作过程，你发现了什么规律？【变式】如图8，已知平行四边形 ABCD及四边形外一直线 m,四个顶点 A、B、C、D到 直线m的距离分别为a、b、c、d.(1) 观察图形，猜想得出 a、b、c、d.满

3、足怎样的关系式？证明你的结论 .(2) 现将m向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论.1. ABCD 中，如果/ B=100A . / A=80 ° , / D=100° C./ B=80°, / D=80°2 .若 ABCD的周长为28, A . 11cmB . 5.5cm3. 在 ABCD 中，AC 丄 BD ,4. 如图9，已知 ABCD中，是.【课堂操练】，那么/ A、/ D的值分别是(B . / A=100 ° , / D=80°D . / A=100 ° , / D=100° ABC的

4、周长为17cm,则AC的长为(C. 4cm D. 3cm相交于 O, AC=6 , BD=8 ,贝U AB=, BC=.AB=4 , BC=6 , BC边上的高 AE=2，贝U DC边上的高 AF的长5. 如图10AABC中，6. 如图 11,在口ABCD 求对角线AC与BD的和.D、E分另ij是AB、中，已知对角线ACAC边的中点，且 DE=6cm，贝U BC=.和BD相交于点 0, AOB的周长为25, AB=12 ,图117.如图12，平行四边形 ABCD中，E、F为边AD、BC上的点，且 AE=CF，连结AF、EC、 BE、DF交于M、N，试说明：MFNE是平行四边形.E图12【每课一

5、测】一、选择题（每题 6分，共24分）1. （ 2009广西桂林）如图 13 , ABCD中，AC . BD为对角线，BC = 6, BC边上的高为 4, 则阴影部分的面积为（).A . 32.如图 为（B. 6C.14 ,在口 ABCD )12D. 24中，/ B=110 °，延长AD至F,延长CD至E,连接EF则/ E+ / F的值中,对角线D3. 如图 15, ABCD 则图中与OA相等的其它线段有（A . 1条B. 2条 C . 3条4. 四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得有多少种不同的组合？AB / CD :BC / AD :AB=CD ;A . 2组B.

6、 3组 C . 4组 D . 6组二、填空题（每题 6分，共24分）5. 用40cm长的长绳围成一个平行四边形，使长边与短边的比是短边是cm.6. 如图16,在ABCD中,AB=2cm , BC=3cm, / B、/ C的平分线分别交 AD于F、E,贝U EF 的长为.AC , BD)相交于点0,将 AOD平移至 BEC的位置,ABCD是平行四边形，一共 BC=AD .（）3: 2,则长边是cm,D度.7.如图 17,口ABCD 中,DB=DC, / C=70 ° ,AE 丄 BD 于 E,则/ DAC=，使&如图18, E、F是口ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当

7、的条件： 四边形AECF是平行四边形.三、解答题（每题13分，共52分）分别与求证:9. （ 2010湖南怀化）如图19，平行四边形 ABCD的对角线相交于点 0,直线EF经过点0, AB,CD的延长线交于点 E,F.四边形 AECF是平行四边形.10. （2008青海西宁）如图20,已知： YaBCD中，BCD的平分线CE交边AD于E ,ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G .求证：AE DG .图2011李大伯家有一口如图 21所示的四边形的池塘，在它的四个角上均有一棵大柳树，李大 伯开挖池塘，使池塘面积扩大一倍， 又想保持柳树不动， 如果要求新池塘成平行四边形的形 状请问李大伯愿望能

8、否实现 ？若能，请画出你的设计；若不能，请说明理由.A>DC图21O作直线EF分别，请加以证明;12. （2009年莆田）已知：如图 22,在YABCD中，过对角线 BD的中点交DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点 E、M、N、F。（1）观察图形并找出一对全等三角形：也 CC图22（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的 变换得到？【参考答案】【问题探究】例1:解析：四边形 ABCD是平行四边形， AD = BC , AB = CD又以BE为折痕，将 ABE向上翻折到 FBE的位置， AE = EF, AB = BF已知 DE + DF +

9、 EF = 8,即卩 AD + DF = 8, AD + DC FC = 8 BC + AB FC= 8 又 BF + BC + FC= 22，即 AB + BC + FC= 22,、两式联立可得 FC= 7变式：解：由题意知 BDEA BDC / DBE=/ DBC= 15°./AD/ BC, / BDO=/ DBC= 15°, / BOD= 150° .例 2:答案：2<AD<8 .解析：延长AD至E,使ED=AD ,连结BE、CE,则四边形ABEC为平行四边形， BE=AC , 在 ABE 中， AB BE<AE<AB+BE，即 10

10、 6<2AD<10+6,故知 2<AD<8 .r变式：解：由已知/ A= / B= / C=/ D= / E=/ F可知这些角均为 120°于是延长 FA、CB 交于点P,延长FE、CD交于点Q,则得 ABP和 EDQ均为等边三角形，由/ F=/ C和 / P= / Q 得四边形 FPCQ 为平行四边形，则 PA+AF=CD+DQ ,即 AF-CD=DQ-PA=DE-AB .又 已知 AF-CD=3，则得 DE-AB=3 ，又 AB+BC=11 ，将、两式相加可得BC+DE=14 .例3:解：小强过 A、C两点画直线 AC把平行四边形 ABCD分割成两个部分，

11、正好有 ABC CDA，所以S1 S2 ;小刚过 AB、AC的中点画直线 EF,把平行四边形 ABCD也分割成两个部分，由于平行四边形AEFD与平行四边形EBCF大小相等，所以S, S4 ； 可以画无数条直线将此平行四边形的面积一分为二，画图略；经过平行四边形对角线交点的任意直线，都可以把平行四边形分成满足条件的图形. 变式：解：（1）a+c=b+d.证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O, OOi为点O到m的距离，二OOi为直角梯 形 BBiDiD 的中位线， 2OOi=DD 什BBi=b+d;同理：2OOi=AA 什CCi=a+c. a+c=b+d . （2）不一定成立 .分别有以下

12、情况： 直线 直线 直线 直线 直线 直线 直线 直线m过A点时，c=b+d ;m过A点与B点之间时，m过B点时，c-a=dm过B点与D点之间时，m过D点时，a-c=b;m过C点与D点之间时，m过C点时，a=b+d;m过C点上方时，a+c=b+d .c-a=b+d ；a-c=b-d；a-c=b+d ；【课堂操练】i.A2.D3.5,54.35.i2cm6. 解： AOB的周长为25, OA+BO+AB=25 ，又 AB=12 , AO+OB=25-12=13 ,平行四边形的对角线互相平分， AC+BD=2OA+2OB=2(OA+OB)=2 X 13=26 .7. V四边形 ABCD是平行四边形

13、， AD / BC, AD / BC又 AE=CF , ED=FB,四边形AFCE是平行四边形BE / FD .四边形 MFNE是平行四边形. AF / EC.同理：i.C2.D3.B4.C5.i2, 86.i7.208.BE=DF .(或/BAE= / CDF 等）ABCD 是平行四边形，可得 OD=OB,OA=OC 。要想说明四边形 AECF 是【每课一测 】9.【分析】四边形 平行四边形，只需证得 OF=OE 即可。【答案】证明：四边形 ABCD是平行四边形， OD=OB,OA=OC , AB/CD / DFO= / BEO , / FDO= / EBO , FDO EBO , OF=O

14、E ，四边形 AECF 是平行四边形.10.答案】：证明：Q四边形ABCD是平行四边形（已知）AD / BC , AB CD （平行四边形的对边平行，对边相等）GBC BGA， BCE CED （两直线平行，内错角相等）又Q BG平分 ABC ,CE平分BCD （已知），ABG GBC ,BCEECD （角平分线定义）分ABG GBA,ECDABAG，CEDE （在同一个三角形中，等角对等边）AGDEEG DEEG，即 AE DG .AG11.如图所示，连结对角线AC BD,过A、B、C D分别作BD AC BD AC的平行线，且这些平行线两两相交于 E、F、G H,四边形EFGH即为符合条件的平行四边形12.解：（1）DOE BOF ;证明：四边形 ABCD