圆锥曲线几何性质总汇

1、实用标准文案圆锥曲线的几何性质一、椭圆的几何性质2+ y2（以 x22 =1（ab0）为例）aby1、 ABF2 的周长为 4a( 定值 )证明：由椭圆的定义AAF1AF22aBF1 BF24aFoBF1BF2AF1 AF22axF2即C ABFB4a22、焦点 PF1F2 中：（ 1）S= b2tan PF1F22（ 2）（ S PF1F2） max= bc（ 3）当 P 在短轴上时， F1PF2 最大证明：（ 1）在AF1 F2 中224c2cosPF1PF22 PF1 PF22 PF1PF2cosPF122 PF1PF24c2PF2PF1PF22b21 cosSPF1F212b2sin2

2、12 1 cosbcostan2（ 2）（ SPF1F2）max = 12c hmaxbc2PF22a2a ex2PF4c2ex4c2（ 3cos12002 PF1 PF22 a2e2 x02 2当 x0 =0 时cos有最小值a22c2即 F1PF2 最大a23、 过点 F 作 PF F 的 P 的外角平分线的垂线，垂足为M ，112则 M 的轨迹是 x2+y2=a2证明：延长 F1M 交 F2 P 于 F ，连接 OMyPF1oxF4a24c212a22e02 x02yMPFoxF精彩文档实用标准文案由已知有PF1FPM 为F1F中点 OM1 FF2= 1PF1PF2 = a22所以 M的

3、轨迹方程为x2y2a24、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y 2=a2 内切证明：取 PF1 的中点 M ，连接 OM 。令圆 M 的直径 PF1 ，半径为 rOM =1 PF212a PF1a1 PF1 a r222圆M 与圆O内切以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2 内切5、任一焦点 PF1F2 的内切圆圆心为I ，连结 PI 延长交长轴于R，则 IR ： IP =e证明：证明：连接FI,FI 由三角形内角角平分线性质有12IR F1R F2RF1R F2 R 2cPI PF1PF2PF1 PF2e2aIRePIyPoxFFyPIoxF1RF6、以任一焦点弦为直径

4、的圆与相应准线相离。证明：令 A x1, y1, B x2 , y2到准线的距离为 d1, d2以为直径的圆的圆心为M 到准线的距离为 d 。AF2ed1AF2 BF2 e d1d2ed2BF2AB 2R e d1d2R1 e d1d212 dd2d12 0 e 1 R d以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离yAoxFFB精彩文档实用标准文案7、 A为椭圆内一定点，P 在椭圆上，则：（ PA + PF2） max =2a+ AF1（ PA + PF2） min =2a- AF1证明：连接 AP, AF , PF11yAPPF2AP2aPF12a AP PF1PAF1APPF1AF1AF1 &#

5、183;ox2aAF1APPF22aAF1FP（ PA+ PF ） max =2a+ AF 21（ PA + PF2） min =2a-AF18、 A 为椭圆内一定点，P 是椭圆上的动点，则yPF2（ PA +）min = A到右准线的距离eA证明：设到右准线的距离d, 由椭圆的第二定义有·oxPFPFFeddePF2（ PA +） min =PA dmin = A 到右准线的距离 .e9、焦点 PF1F2 的旁心在直线x= ± a上。证明：令 I 与 PF1F2 三边所在的直线相切于M、N、 APMPNF2 NF2 AyMPF1PNF1MPF1 F2F2N F1AINox

6、F1 MF1 AFFA2PF1PNF1F2F2 NF2 NF2 A PFPN FNFF2F NFA12122精彩文档实用标准文案F2NF2 A2a2c2 F2 AacF2 A即为椭圆顶点。焦点 PF1F2 的旁心在直线x= ± a上10、P 是椭圆上任意一点，PF 的延长线交右准线于E， K 是准线2上另一任意点，连结PK 交椭圆于 Q，则 KF2 平分 EF2Q证明：令 P,Q 到准线的距离为 d1, d2yPF2eEd1QFPFdPF2212QF2d1d2QF2d2PF2PKoFd2eQF2QKxFKd1PKPQd2QK由三角形外角平分线性质定理有KF2 平分 EF2Qy11、1

7、12a(定值 )AFBFb 2B证明：令 A x1, y1, Bx2 , y2Fxo当 AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为 y k x cy k x cAb2 x2a2 (k 2 x22k 2 cx c2 k 2 ) a2b2x2y20a2b2(b2a2k 2 ) x22a2k 2 cx a2k 2c2a2b202a2 k2ca2k 2c2a2 b2x1 x22a2 k 2x1 x22a2 k2bbAF a ex111112a e x1x2BF a ex2AFBF a ex1a ex2a2ae x1 x2e2 x1 x2精彩文档实用标准文案2a e2a2 k2 c2ac 2a2 k2 c=

8、2a2kb2a2 k2a2 b2a b2a2 k2a2b222c2 a2k 2c222a2k 2cc2 a2k 2c2a ae22k2eb2a2k2a ae22k2( )b222b abaaa k2a3k 22ab22ak 2 c22ak 2a2c22ab22ak22aa4k 2a2 b22a2k 2c2c4 k2b2c2k 2b4a2b2b2c2k 2b2a2c22ak 212ab2k 21b2当 AB 的斜率存在时，11aa2aAFBF b2b2b2 112a(定值)AFBFb2y12、AB 是椭圆的任意一弦，P 是 AB 中点，A则KAB KOPb2BP2 （定值）xaFo证明：令 A

9、x , y , B x2, y2， Px , y0110则x1x2x0y1y2y022x12y121x1x2 . x1x2y1y2 . y1y2a2b20x22y22a2b21a2b2y1y2b2x1x2x1x2a2y1y2kABy1y2， kOPy0x1x2x0kAB1b2kOPa2kAB kOPb2a213、椭圆的短轴端点为B1、 B2， P 是椭圆上任一点，连结B1P、 B2P 分别精彩文档实用标准文案交长轴于N、 M两点，则有OM * ON =a 2证明： B0,b, B0,b , Nx 0 , P x , y, Mx 0121002B2 Px0 , y0b , B2 Mx2 , bB

10、1Px0 , y0b , B1 Nx1, by 由于B2、P、M共线B 2x0y0bbx0Px2xx2by0boMN 由于 PF1cx0 , y0, PF2c x0 , y0、 P 、N共线B 1x0y0bx1bx0x1by0bx02b2x02 b2OM ONy0 2b2y0 2b2 ABx02y0 21x0 2b2y02a2b2 x02a2b2a2b2b2y02 OM ON a214、椭圆的长轴端点为A 、 A， P 是椭圆上任一点，12连结 A1P、 A2P 并延长，交一准线于N、 M两点，y则 M、N 与对应准线的焦点张角为900M证明：令 Ma2, y1, N a2, y2, P x0

11、 , y0， A a,0Pcc1A 2A 1oxA2a,0FNA1Px0a, y0 , A2 Px0a, y0 ,a2a2A1Ma, y1 , A2 Na, y2cc由于 A1、 P、 M 共线x0ay0y0( a2a)y1ca2y1x0aac由于 A2, P,N 共线精彩文档实用标准文案x0ay0y ( a2a)y20ca2y2x0aacy0( a2a) y0( a2a)y02a42 2y1 y2cca cxaxax2a2c2000x02y021y0 2b2a2b2x02a2a2y1 y2b2a4a2c2b4a2c2c2FMa2c, y1cb4FMFNy1 y2a2c2FNc, y2c FM

12、FN 0 M 、 N 与对应准线的焦点张角为 90015、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB 过y该准线对应的焦点。AM证明：设 Ma2, y0Fca2xoxy0 yB则 AB 的方程为 c1b2a2即 xy0 y1 必过点 c,0cb216、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。证明：设 Px0 , y0，则过 P点的切线 lx0 xy0 y1，直线 l 的法线 x 交轴于 Q：2b2a直线 l的法向量为： nx02, y20ab PF1c x0, y0 , PF2c x0 , y0mPy PF222x02y0 22cx0clF2精彩文档F1ox222b2 x02c

13、x02cx0ba2a4c2 x0 22a2cx0a2cx0 2a2a2同理2a2cx02PF1a2nPF1cx0x0 2y0 2cx0x02a2b2a2同理 nPFa2cx02a2n PF2a2cx0cosF2PQa 2PF2 na2cx0na2n PF2a2cx0cosF2PQa2PF2na2cx0na2F1PQF2 PQ实用标准文案b2 b2 x0 2a2cx0a2a21n1n即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。二、双曲线的几何性质（均以 x2y 21 a,b 0为例：）a2b 2P（ 1）焦点三角形面积：Sb2cot2?F1?F2（ 1）(2) 、过作 F1PF2 的内角平行线的重

14、线垂足M的轨迹是 x 2y 2 a2y精彩文档Px?F1?F2实用标准文案(3) 、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与x2 y 2 a2 内切，小的圆与 x 2 y 2 a 2 外切。yPxF1F2(3)y(4) 、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交AxF1F2B(4)(5) 、焦点 PF1F2 的内切圆心横生标为±a 即与实轴的切点一定是实轴端点yPIxF 1F 2(5)精彩文档实用标准文案（ 6）焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值(7) 、 A 为双曲线内一定点P 为双曲线上动点= PA + PF2min (8) 、如图： A 为双曲线内一定点，P 是双

15、曲线上的动点，PA MCN 2arccos 1eyBMF 1CxF 2yNAAF1 2a(6)APxF1F2(7)1PF2min 等于 A 到右准线的距离eyPABxF1F2(8)（ 9）、焦点到渐近线的距离等于byPxF1F2(9)精彩文档yAP实用标准文案a 2 b2(10) 、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值c 2 b2y（ 11）、 P 是弦 AB中点 KKABop2定值aPBAxOF 1F 2(11)（ 12）、 P 为双线上任一点过P 点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值1 ab2yMPOxF1F2N(12)(13) 、过 P 的切线平分 F1PF2

16、（光学性质）即经过一焦点的光线被双曲线反射，反射光线的下长线过另一焦点 yP12x?F 2?F 1精彩文档M（ 13）实用标准文案（ 14）双曲线与渐近线把平面分成5 部分y双曲线上的点 x2y 21渐近线上的点x2y 20a2b2a 2b2x区域的点 x2y2x2y21F 1 F 2区域的点1a 2b2a2b2区域的点 0x2y21(14)a2b2过渐近线上的点（除中心）只能作一条切线，过中心无切线，没有与两支都相切的切线过区域的点作切线分别b在两支上，过区域的点作切线切点在同一支上，过区域的点没切线，双曲线的切线斜率k，区域、的a点可作弦的中点，中心是任意过中心的弦的中点，渐近线上（除中心），双曲线上，区域的点不可能是弦中点（ 15）直线 L 与双曲线的渐近线x2y2C、 D 两点，则 AC=BDa1交于 A、 B 两点，与双曲线交于2b2yBDCAF 1xF2(15)三、抛物线的几何性质均以抛物线y 22 px p0 为例精彩文档实用标准文案(1)如图： A 为抛物线内一定点，P是抛物线上的动点，PA PFmin 等于 A 到准线的距离yPAxFX=-P/2(2)过抛物线y22 px p 0 焦点 F 作弦 AB，其中 A（ x1,y 1） ,B （x2,y 2）则有：y1 y2p 2p2yx1 x24AAB x1x2pxAB min2 pFB112X=-P/