圆的专题讲义.

1、与圆有关的证明及计算1已知，如图，直线 MN 交 O 于 A，B 两点，AC 是直径， AD 平分 CAM 交O于 D，过 D作 DEMN 于 E（ 1）求证： DE是 O 的切线；（ 2）若 DE=6cm，AE=3cm，求 O 的半径2如图，在 ABC，AB=AC，以 AB 为直径的 O 分别交 AC、BC 于点 D、E，点 F 在 AC的延长线上，且 CBF= CAB（ 1）求证：直线 BF 是 O 的切线；（ 2）若 AB=5，sinCBF=，求 BC和 BF 的长3如图，四边形 ABCD内接于 O，BD 是 O 的直径， AECD，垂足为 E，DA平分 BDE（ 1）求证： AE是 O

2、 的切线；（ 2）若 DBC=30°，DE=1cm，求 BD 的长4如图，已知 ABC内接于 O，AC 是 O 的直径， D 是的中点，过点 D 作直线 BC的垂线，分别交CB、CA的延长线 E、 F（ 1）求证： EF是 O 的切线；（ 2）若 EF=8，EC=6，求 O 的半径5如图， AB 是 O 的直径，弦 CD AB 与点 E，点 P 在 O 上， 1=C，（ 1）求证： CBPD；（ 2）若 BC=3，sinP= ，求 O 的直径6如图，直线 EF 交 O 于 A、 B 两点， AC 是 O 直径， DE 是 O 的切线，且DEEF，垂足为 E（ 1）求证： AD 平分

3、CAE；（ 2）若 DE=4cm，AE=2cm，求 O 的半径7如图， Rt ABC中， ABC=90°，以 AB 为直径作半圆 O 交 AC与点 D，点 E为 BC的中点，连接 DE（ 1）求证： DE是半圆 O 的切线（ 2）若 BAC=30°，DE=2，求 AD 的长8如图，在 RtABC中， ACB=90°，以 AC 为直径作 O 交 AB 于点 D 点，连接 CD（ 1）求证： A= BCD；（ 2）若 M 为线段 BC上一点，试问当点 M 在什么位置时，直线 DM 与 O 相切？并说明理由9如图，已知 AB 是 O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上

4、， PD 切O 于点 D，过点 B 作 BE垂直于 PD，交 PD 的延长线于点 C，连接 AD 并延长，交 BE于点 E（ 1）求证： AB=BE；（ 2）若 PA=2，cosB= ，求 O 半径的长10如图 AB 是 O 的直径， PA，PC与 O 分别相切于点 A，C，PC交 AB 的延长线于点 D， DEPO 交 PO 的延长线于点 E（ 1）求证： EPD=EDO；（ 2）若 PC=6，tanPDA= ，求 OE的长圆的动态探究题11如图， O 半径为 4cm，其内接正六边形ABCDEF，点 P，Q 同时分别从 A，D 两点出发，以 1cm/s 速度沿 AF， DC 向中点 F，G

5、运动连接PB，QE，设运动时间为 t（ s）（ 1）求证：四边形 PEQB为平行四边形；（ 2）填空：当 t=s 时，四边形 PBQE为菱形；当 t=s 时，四边形 PBQE为矩形12如图， AB 为 O 的直径，点 C 为 AB 延长线上一点，动点P 从点 A 出发沿AC方向以 lcm/s 的速度运动，同时动点 Q 从点 C 出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P 作 AB 的垂线，分别交 O 于点 M 和点 N，已知 O 的半径为 l，设运动时间为t 秒（ 1）若 AC=5，则当 t=时，四边形 AMQN 为菱形；当与 O 相切；t=时， NQ（ 2）当 AC 的长为

6、多少时，存在 t 的值，使四边形 AMQN 为正方形？请说明理由， 并求出此时 t 的值13如图，在 RtABC中， BAC=90°， B=60°，以边上 AC上一点 O 为圆心，OA 为半径作 O， O 恰好经过边 BC的中点 D，并与边 AC相交于另一点F（ 1）求证： BD是 O 的切线；（ 2）若 BC=2，E 是半圆上一动点，连接AE、 AD、DE填空：当当的长度是的长度是时，四边形 ABDE是菱形；时， ADE是直角三角形14如图，点 A， B， C 分别是 O 上的点，且 B=60°， CD是 O 的直径， P 是 CD延长线上的一点，且 AP=AC

7、（ 1）求证： AP是 O 的切线；（ 2）若 AC=3，填空：当的长为时，以A，C，B，D 为顶点的四边形为矩形；当的长为时， ABC的面积最大，最大面积为15四边形 ABCD的对角线交于点 E，且 AE=EC，BE=ED，以 AB 为直径的半圆过点 E，圆心为 O（ 1）利用图 1，求证：四边形 ABCD是菱形（ 2）如图 2，若 CD的延长线与半圆相切于点 F，且直径AB=8 ABD的面积为的长16在圆 O 中， AC 是圆的弦， AB 是圆的直径， AB=6， ABC=30°，过点 C 作圆的切线交 BA 的延长线于点 P，连接 BC（ 1）求证： PACPCB；（ 2）点

8、Q 在半圆 ADB上运动，填空：当 AQ=时，四边形 AQBC的面积最大；当 AQ=时， ABC与 ABQ全等17如图， AB 是 O 的直径，点 P 是弦 AC上一动点（不与 A，C重合），过点 P 作 PEAB，垂足为 E，射线 EP交于点 F，交过点 C 的切线于点D（ 1）求证： DC=DP；（ 2）若直径 AB=12cm， CAB=30°，当 E 是半径 OA 中点时，切线长DC=cm：当 AE=cm 时，以 A，O，C，F 为顶点的四边形是菱形18如图， O 的直径 AB=4，点 C 为 O 上的一个动点，连接 OC，过点 A 作 O 的切线，与 BC的延长线交于点 D，

9、点 E 为 AD 的中点，连接 CE（ 1）求证： CE是 O 的切线；（ 2）填空：当 CE=时，四边形 AOCE为正方形；当 CE=时， CDE为等边三角形19如图， ABC是半径为 2 的 O 的内接三角形，连接OA、OB，点 D、E、F、G 分别是 CA、OA、OB、CB的中点（ 1）试判断四边形 DEFG的形状，并说明理由；（ 2）填空：若 AB=3，当 CA=CB时，四边形 DEFG的面积是若 AB=2，当 CAB的度数为时，四边形；DEFG是正方形20如图，在 ABC中， AB=AC，点 O 为边 AB 的中点， OD BC于点 D，AM BC于点 M，以点 O 为圆心，线段 O

10、D 为半径的圆与 AM 相切于点 N（ 1）求证： AN=BD；（ 2）填空：点 P 是 O 上的一个动点，若AB=4，连结OC，则PC的最大值是；当 BOP=时，以O，D，B，P 为顶点四边形是平行四边形1已知，如图，直线 MN 交 O 于 A，B 两点，AC 是直径， AD 平分 CAM 交O于 D，过 D作 DEMN 于 E（ 1）求证： DE是 O 的切线；（ 2）若 DE=6cm，AE=3cm，求 O 的半径【解答】（1）证明：连接 OD OA=OD， OAD=ODA OAD=DAE， ODA=DAE DO MNDEMN， ODE=DEM=90°即 ODDE D 在O 上，

11、OD为 O 的半径， DE是 O 的切线（ 2）解： AED=90°， DE=6，AE=3，连接 CD AC是 O 的直径， ADC=AED=90° CAD=DAE， ACD ADE则 AC=15（ cm） O 的半径是 7.5cm2如图，在 ABC，AB=AC，以 AB 为直径的 O 分别交 AC、BC 于点 D、E，点 F 在 AC的延长线上，且 CBF= CAB（ 1）求证：直线 BF 是 O 的切线；（ 2）若 AB=5，sinCBF=，求 BC和 BF 的长【解答】（1）证明：连接 AE， AB是 O 的直径， AEB=90°， 1+ 2=90°

12、; AB=AC， 1= CAB CBF= CAB， 1= CBF CBF+2=90°即 ABF=90° AB是 O 的直径，直线 BF是 O 的切线（ 2）解：过点 C 作 CG AB于 G sinCBF= ， 1=CBF， sin1= ，在 Rt AEB中， AEB=90°，AB=5， BE=AB?sin 1=， AB=AC， AEB=90°， BC=2BE=2 ，在 RtABE中，由勾股定理得AE=2， sin2=， cos 2=，在 RtCBG中，可求得 GC=4，GB=2， AG=3， GCBF， AGC ABF，BF=3如图，四边形 ABCD内

13、接于 O，BD 是 O 的直径， AECD，垂足为 E，DA平分 BDE（ 1）求证： AE是 O 的切线；（ 2）若 DBC=30°，DE=1cm，求 BD 的长【解答】（1）证明：连接 OA， DA平分 BDE， BDA=EDA OA=OD， ODA=OAD， OAD=EDA， OA CE AECE， AEOA AE是 O 的切线（ 2）解： BD是直径， BCD=BAD=90° DBC=30°， BDC=60°， BDE=120° DA平分 BDE， BDA=EDA=60° ABD=EAD=30°在 Rt AED中，

14、AED=90°，EAD=30°， AD=2DE在 Rt ABD中， BAD=90°， ABD=30°， BD=2AD=4DE DE的长是 1cm， BD的长是 4cm4如图，已知 ABC内接于 O，AC 是 O 的直径， D 是的中点，过点 D 作直线 BC的垂线，分别交CB、CA的延长线 E、 F（ 1）求证： EF是 O 的切线；（ 2）若 EF=8，EC=6，求 O 的半径【解答】（1）证明：连接 OD 交于 AB 于点 G D 是的中点， OD 为半径， AG=BG AO=OC， OG是 ABC的中位线 OG BC，即 ODCE又 CE EF，

15、OD EF， EF是 O 的切线（ 2）解：在 RtCEF中， CE=6，EF=8， CF=10设半径 OC=OD=r，则 OF=10r， OD CE， FOD FCE， = ， r= ，即： O 的半径为5如图， AB 是 O 的直径，弦 CD AB 与点 E，点 P 在 O 上， 1=C，（ 1）求证： CBPD；（ 2）若 BC=3，sinP= ，求 O 的直径【解答】（1）证明： C=P又 1=C 1= P CBPD；（ 2）解：连接 AC AB为 O 的直径， ACB=90°又 CD AB， = ， P= CAB，又 sin P= ， sinCAB= ，即 = ，又知， B

16、C=3， AB=5，直径为 56如图，直线 EF 交 O 于 A、 B 两点， AC 是 O 直径， DE 是 O 的切线，且DEEF，垂足为 E（ 1）求证： AD 平分 CAE；（ 2）若 DE=4cm，AE=2cm，求 O 的半径【解答】（1）证明：连接 OD， OD=OA， ODA=OAD， DE是 O 的切线， ODE=90°，ODDE，又 DE EF， OD EF， ODA=DAE， DAE=OAD， AD 平分 CAE；（ 2）解：连接 CD， AC是 O 直径， ADC=90°，在 RtADE中， DE=4cm，AE=2cm，根据勾股定理得： AD=cm，由

17、（ 1）知： DAE=OAD， AED=ADC=90°， ADC AED，即， AC=10， O 的半径是 57如图， Rt ABC中， ABC=90°，以 AB 为直径作半圆 O 交 AC与点 D，点 E 为 BC的中点，连接 DE（ 1）求证： DE是半圆 O 的切线（ 2）若 BAC=30°，DE=2，求 AD 的长【解答】（1）证明：连接 OD，OE，BD， AB为圆 O 的直径， ADB=BDC=90°，在 RtBDC中， E 为斜边 BC的中点， DE=BE，在 OBE和 ODE中， OBE ODE（SSS）， ODE=ABC=90°

18、;，则 DE 为圆 O 的切线；（ 2）在 Rt ABC中， BAC=30°， BC= AC， BC=2DE=4， AC=8，又 C=60°， DE=CE， DEC为等边三角形，即 DC=DE=2，则 AD=ACDC=68如图，在 RtABC中， ACB=90°，以 AC 为直径作 O 交 AB 于点 D 点，连接 CD（ 1）求证： A= BCD；（ 2）若 M 为线段 BC上一点，试问当点 M 在什么位置时，直线 DM 与 O 相切？并说明理由【解答】（1）证明： AC为直径， ADC=90°， A+ DCA=90°， ACB=90

19、6;， DCB+ACD=90°， DCB=A；（ 2）当 MC=MD（或点 M 是 BC的中点）时，直线 DM 与 O 相切；解：连接 DO， DO=CO， 1= 2， DM=CM， 4= 3， 2+ 4=90°， 1+ 3=90°，直线 DM 与 O 相切，故当 MC=MD（或点 M 是 BC的中点）时，直线 DM 与 O 相切9如图，已知 AB 是 O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上， PD 切O 于点 D，过点 B 作 BE垂直于 PD，交 PD 的延长线于点 C，连接 AD 并延长，交 BE于点 E（ 1）求证： AB=BE；（ 2）若 PA=2，c

20、osB= ，求 O 半径的长【解答】（1）证明：连接 OD， PD切 O 于点 D， OD PD， BEPC， OD BE， ADO=E， OA=OD， OAD=ADO， OAD=E， AB=BE；（ 2）解：由（ 1）知， ODBE， POD=B， cos POD=cosB= ，在 RtPOD中， cos POD= = ， OD=OA，PO=PA+OA=2+OA， OA=3， O 半径 =310如图 AB 是 O 的直径， PA，PC与 O 分别相切于点 A，C，PC交 AB 的延长线于点 D， DEPO 交 PO 的延长线于点 E（ 1）求证： EPD=EDO；（ 2）若 PC=6，tan

21、PDA= ，求 OE的长【解答】（1）证明： PA， PC与 O 分别相切于点 A， C， APO=EPD且 PAAO， PAO=90°， AOP=EOD， PAO=E=90°， APO=EDO， EPD=EDO；（ 2）解：连接 OC， PA=PC=6， tanPDA= ，在 Rt PAD中， AD=8，PD=10， CD=4， tanPDA= ，在 Rt OCD中， OC=OA=3，OD=5， EPD=ODE， DEP OED， =2， DE=2OE在 RtOED中， OE2+DE2=OD2，即 5OE2=52， OE= 11如图， O 半径为 4cm，其内接正六边形

22、ABCDEF，点 P，Q 同时分别从 A， D 两点出发，以 1cm/s 速度沿 AF，DC向中点 F，G 运动连接 PB，QE，设运动时间为 t（s）（ 1）求证：四边形 PEQB为平行四边形；（ 2）填空：当 t=2s 时，四边形 PBQE为菱形；当 t=0 或 4s 时，四边形 PBQE为矩形【解答】（1）证明：正六边形ABCDEF内接于 O， AB=BC=CD=DE=EF=FA， A= ABC= C=D=DEFF，点 P，Q 同时分别从 A，D 两点出发，以 1cm/s 速度，运动时间为t （s）， AP=DQ=t，则 PF=QC=4 t，在 ABP和 DEQ中 ABP DEQ（SAS

23、） BP=EQ，同理可证， PE=QB，四边形 PEQB是平行四边形（ 2）解：当四边形 PBQE为菱形时， PB=PE=EQ=QB， ABP DEQ PFE QCB， AP=PF=DQ=QC，即 t=4t，得 t=2，故答案为： 2；当 t=0 时， EPF=PEF=30°， BPE=120°30°=90°，此时四边形 PBQE为矩形；当 t=4 时， ABP=APB=30°， BPE=120°30°=90°，此时四边形 PBQE为矩形故答案为： 0 或 412如图， AB 为 O 的直径，点 C 为 AB 延长

24、线上一点，动点P 从点 A 出发沿AC方向以 lcm/s 的速度运动，同时动点 Q 从点 C 出发以相同的速度沿 CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点 P 作 AB 的垂线，分别交 O 于点 M 和点 N，已知 O 的半径为 l，设运动时间为 t 秒（ 1）若 AC=5，则当 t=时，四边形 AMQN 为菱形；当 t=时， NQ与 O 相切；（ 2）当 AC 的长为多少时，存在 t 的值，使四边形 AMQN 为正方形？请说明理由，并求出此时 t 的值【解答】 解：（1）AP=t， CQ=t，则 PQ=52t ， NMAB， PM=PN，当 PA=PQ时，四边形 AMQN 为菱形，即 t=5

25、2t，解得 t= ；当 ONQ=90°时， NQ 与 O 相切，如图，OP=t1，OQ=ACOAQC=51t=4 t， NOP=QON， RtONP RtOQN，=，即=，整理得 t2 5t+5=0，解得 t1=，t2=（1t 2.5，故舍去），即当 t=时， NQ 与 O 相切；故答案为，；（ 2）当 AC 的长为 3 时，存在 t=1，使四边形 AMQN 为正方形理由如下：四边形 AMQN 为正方形 MAN=90°， MN 为 O 的直径，而 MQN=90° ，点 Q在O上， AQ 为直径，点 P 在圆心， MN=AQ=2，AP=1， t=AP=1， CQ=t

26、=1， AC=AQ+CQ=2+1=313如图，在 RtABC中， BAC=90°， B=60°，以边上 AC上一点 O 为圆心， OA 为半径作 O， O 恰好经过边 BC的中点 D，并与边 AC相交于另一点 F（ 1）求证： BD是 O 的切线；（ 2）若BC=2，E 是半圆上一动点，连接AE、AD、DE填空：当的长度是 时，四边形ABDE是菱形；当的长度是或 时， ADE是直角三角形【解答】（1）证明：连接 OD，如图， BAC=90°，点 D 为 BC的中点， DB=DA=DC， B=60°， ABD为等边三角形， DAB=ADB=60°

27、， DAC= C=30°，而 OA=OD， ODA=OAD=30°， ODB=60°+30°=90°， OD BC， BD是 O 的切线；（ 2）解： ABD 为等边三角形， AB=BD=AD=CD= ，在 RtODC中， OD= CD=1，当 DE AB 时， DEAC， AD=AE， ADE=BAD=60°， ADE为等边三角形， AD=AE=DE， ADE=60°， AOE=2ADE=120°， AB=BD=DE=AE，四边形 ABDE为菱形，此时的长度 =；当 ADE=90°时， AE 为直径，点

28、 E 与点 F 重合，此时当 DAE=90°时，DE 为直径， AOE=2ADE=60°，此时所以当的长度为或 时， ADE是直角三角形故答案为；或 的长度 =的长度 =；=，14如图，点 A， B， C 分别是 O 上的点，且 B=60°，CD是 O 的直径， P 是CD延长线上的一点，且AP=AC（ 1）求证： AP是 O 的切线；（ 2）若 AC=3，填空：当的长为 时，以 A，C，B，D 为顶点的四边形为矩形；当的长为 时， ABC的面积最大，最大面积为【解答】（1）证明：连接 OA B=60°， AOC=2B=120°，又 OA=OC

29、， ACP=CAO=30°， AOP=60°， AP=AC， P= ACP=30°， OAP=90°， OA AP， AP是 O 的切线，（ 2）连接 AD， ADC= B=60°，CD是直径， DAC=90°， AC=3， AD= ， CD=2 ， OC= ，当 AB 是直径时，四边形ADBC是矩形，此时= B=60°，当 BA=BC时， ABC的面积最大，此时 ABC是等边三角形，=，SABC=× 32=15四边形 ABCD的对角线交于点 E，且 AE=EC，BE=ED，以 AB 为直径的半圆过点 E，圆心为

30、O（ 1）利用图 1，求证：四边形 ABCD是菱形（ 2）如图 2，若 CD的延长线与半圆相切于点 F，且直径 AB=8 ABD的面积为 16 的长 【解答】 解：（1） AE=EC， BE=ED，四边形 ABCD是平行四边形 AB为直径，且过点E， AEB=90°，即 ACBD四边形 ABCD是平行四边形，四边形 ABCD是菱形（ 2）连结 OF CD的延长线与半圆相切于点 F， OFCF FCAB， OF即为 ABD 中 AB边上的高 S ABD= AB×OF= ×8×4=16，点 O 是 AB 中点，点 E 是 BD 的中点， S OBE= SAB

31、D=4过点 D 作 DHAB 于点 H ABCD，OFCF， FOAB， F=FOB= DHO=90°四边形 OHDF为矩形，即 DH=OF=4在 Rt DAH中， sinDAB=， DAH=30°点 O，E 分别为 AB，BD 中点， OEAD， EOB=DAH=30°，的长度 =故答案为： 16，16在圆 O 中， AC 是圆的弦， AB 是圆的直径， AB=6， ABC=30°，过点 C 作圆的切线交 BA 的延长线于点 P，连接 BC（ 1）求证： PACPCB；（ 2）点 Q 在半圆 ADB上运动，填空：当 AQ=3时，四边形 AQBC的面积最

32、大；当 AQ=3 或 3时， ABC与 ABQ 全等【解答】（1）证明：如图 1 所示，连接 OC PC是圆 O 的切线， OC是半径， OCPC， PCO=90° PCA+ACO=90°， AB是直径， ACB=90°， B+ CAB=90°， OC=OA， OAC=OCA， B+ OCA=90°， PCA=B，又 P=P， PAC PCB；（ 2）解：当点 Q 运动到 OQAB 时，四边形 AQBC的面积最大；如图 2 所示：连接 AQ、BQ， OA=OB， OQ AB， OQ=BQ， AB是直径， AQB=90°， ABQ是等腰

33、直角三角形， AQ= AB=3 ，故答案为： 3；如图 3 所示： ACB=90°， ABC=30°， AC= AB=3，BC= AC=3 ，分两种情况：a当 AQ=AC=3时，在 RtABC和 RtABQ 中， ABC ABQ（HL）；b当 AQ=BC=3时，同理 ABC BAQ；综上所述：当 AQ=3 或 3时， ABC与 ABQ全等17如图， AB 是 O 的直径，点 P 是弦 AC上一动点（不与 A，C 重合），过点 P作 PE AB，垂足为 E，射线 EP交于点 F，交过点 C 的切线于点 D（ 1）求证： DC=DP；（ 2）若直径 AB=12cm， CAB=3

34、0°，当 E 是半径 OA 中点时，切线长DC=4cm：当 AE=3cm 时，以 A，O，C，F 为顶点的四边形是菱形【解答】 解：（1）连接 OC CD是 O 的切线， OCD=90°， OA=OC， OAC=OCA， PEAB， PEA=90°， OAC+APE=90°， OCA+ PCD=90°， APE=PCD， APE=CPD， PCD=CPD， DC=DP（ 2）连接 BC， AB是直径， ACB=90° A=30°，AB=12， AC=AB?cos30°=6 ，在 RtAPE中， AE= OA=3，

35、AP=AE÷cos30°=2 ， PC=ACAP=4 ， APE=DPC=60°，DP=DC， DPC是等边三角形， DC=4 ，故答案为 4 当 AE=EO时，四边形 AOCF是菱形理由：连接 AF、OF AE=EO，FEOA， FA=FO=OA， AFO是等边三角形， FAO=60°， CAB=30°， FAC=30°， FOC=2 FAC=60°， FOC是等边三角形， CF=CO=OA=AF，四边形 AOCF是菱形， AE=3cm时，四边形 AECF是菱形故答案为 318如图， O 的直径 AB=4，点 C 为 O

36、上的一个动点，连接 OC，过点 A 作 O 的切线，与 BC的延长线交于点 D，点 E 为 AD 的中点，连接 CE（ 1）求证： CE是 O 的切线；（ 2）填空：当 CE= 2 时，四边形 AOCE为正方形；当 CE=时， CDE为等边三角形【解答】（1）证明：连接 AC、 OE，如图（ 1）， AB为直径， ACB=90°， ACD为直角三角形，又 E 为 AD 的中点， EA=EC，在 OCE和 OAE中， OCE OAE（SSS）， OCE=OAE=90°， CEOC， CE是 O 的切线；（ 2）解： C 在线段 BD 的中点时，四边形 AOCE为正方形理由如下：当 C 为边 BD 的中点，而 E 为 AD 的中点， CE为 BAD的中位线， CEAB，CE= AB=OA，四边形 OAEC为平行四边形， OAE=90°，平行四边形 OCEA是矩形，又 OA=OC，矩形 OCEA是正方形， CE=OA=2，故答案为： 2；连接 AC，如图（ 2）， CDE为等边三角形， D=60°， ABD=30°，CE=CD，在 RtABC中， AC= AB=2，在 RtACD中， tanD=，