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1、第十一章 数系的扩充与复数11.1 数系的扩充与复数的概念一、知识导学1. 复数:形如的数(),复数通常有小写字母表示,即,其中叫做复数的实部、叫做复数的虚部,称做虚数单位.2. 分类:复数()中,当时,就是实数;除了实数以外的数,即当b时,叫做虚数;当,b时,叫做纯虚数.3. 复数集:全体复数所构成的集合.4. 复数相等:如果两个复数与的实部与虚部分别相等,记作:=.5. 复平面、实轴、虚轴:建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内,轴叫做实轴, 轴叫做虚轴.6. 复数的模:设=,则向量的长度叫做复数的模(或绝对值),记作.(1);(2)=;(3);7共扼复数:如果两个复数的实部相等,而虚
2、部互为相反数,则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析1两个实数可以比较大小,而不全是实数的两个复数不能比较大小2则,而,则不一定成立,如时;3,而则不一定成立;4若不一定能推出;5若,则=,但若则上式不一定成立.三、经典例题导讲例1两个共扼复数的差是( ).实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数 错解:当得到时就错误的选B,忽略了b可以为零的条件.正解:设互为共扼的两复数分别为及则 或当时,为纯虚数当时,因此应选D. 注:要认真审题,看清题设条件,结论. 学会全面辩证的思考问题,准确记 忆有关概念性质. 例2判断下列命题是否正确 (1)若, 则 (2)若且,则 (3)若,则 错解:(1)认为任
3、何一个实数的平方大于零可推广到复数中,从而(1)是正确的 (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数,也可推到复 (3)把不等式性质错误的推广到复数中,忽略不等式是在实数中成立的前提条件. 正解:(1)错,反例设则 (2)错,反例设,满足,但不能比较大小. (3)错,故,都是虚数,不能比较大小.例3实数分别取什么值时,复数是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 解:实部,虚部.(1)当 时,是实数;(2)当 ,且 时,是虚数;(3) 当 或 时是纯虚数 例4 设,当取何值时, (1) ; (2).分析:复数相等的充要条件,提供了将复数问题转化为实数问题的依据,这是解复数问题常用的思
4、想方法,这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程,求出 的值解:(1)由可得:解之得,即:当 时 (2)当 可得: 或 ,即 时.例5是两个不为零的复数,它们在复平面上分别对应点P和Q,且,证明OPQ为直角三角形(O是坐标原点),并求两锐角的度数分析 本题起步的关键在于对条件的处理等式左边是关于的二次齐次式,可以看作二次方程求解,也可配方解:由(,不为零),得即向量与向量的夹角为,在图中,又,设,在OPQ中,由余弦定理OPQ为直角三角形,四、典型习题导练1. 设复数z满足关系,那么z等于( )A B C D2.复数系方程有实数根,则这个实数是.3.实数m取何值时,复数是(1)纯虚
5、数;(2)在复平面上的对应点位于第二象限4.已知且求复数5.设复数满足且在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上,求的值 11.2 复数的运算 一、知识导学1.复数加、减法的几何意义(1)加法的几何意义复数 是以、为两邻边的平行四边形对角线所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数是连接向量、的终点,并指向被减数的向量所对应的复数.2. 重要结论(1) 对复数z 、和自然数m、n,有,(2) ,; ,.(3) ,.(4)设,二、疑难知识导析1.对于,是复数运算与实数运算相互转化的主要依据,也是把复数看作整体进行运算的主要依据,在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进行复数的运算时,不能把实
6、数的某些法则和性质照搬到复数集中来,如下面的结论.当时,不总是成立的.(1);(2);(3);(4);(5)三、经典例题导讲例1 满足条件的点的轨迹是( )A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆错解:选A或B.错因:如果把看作动点Z到定点(0,2)的距离,由上式表示到两个定点(0,2)与(-1,0)的距离之和为常数 动点的轨迹符合椭圆的定义,但是,有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.正解:点(0,2)与(-1,0)间的距离为, 动点在两定点(0,-2)与(-1,0)之间,选C评注:加强对概念的理解加深,认真审题.例2 求值:错解:原式= 错因:上面的解答错在没有真正理解的含义,只是用了三个
7、特殊整数代替了所有整数,犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位的整数幂的运算不熟悉,没有掌握虚数单位整数幂的运算结果的周期性.正解:原式=评注:虚数单位整数幂的值具有以4为周期的特点,根据必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论. 例3已知,求的值. 分析:结论是等比数列的求和问题,所以应联想到求和公式,若直接将条件代入求和公式,则显得较为麻烦,不妨先将条件化简. 原式=评注:由于数列中的数可以是复数,所以数列的诸性质在复数集中仍成立.例4已知复数满足为虚数单位),求一个以为根的实系数一元二次方程.解法一: , . 若实系数一元二次方程有虚根,则必有共轭虚根. , 所求的一个一元二次方程可以是. 解法二:设 , 得 , 以下解法同解法一. 例5解析 四、典型习题导练1非空集
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