第六章 弯曲应力(土木)_图文

1、六章弯曲应力内容提要6-1 概述6-2 弯曲正应力6-3 弯曲剪应力6-4 梁的强度计算6-5 提高梁弯曲强度的主要措施6-6 截面的弯心概念6-7 组合梁重点、中性层、中性轴的概念;2、梁的横截面上正应力、剪应力公式及对应的强度条件;3.提高梁弯曲强度的措施难点1、危险截面的确定2、弯曲剪应力的求解6-1 概述轴向拉压:0,AN =圆轴扭转:I T ,0P=梁的弯曲:当梁上有横向外力作用时,一般情况下,梁的横截面上既又弯矩M ,又有剪力V 。m m VM只有与正应力有关的法向内力元素dN = dA 才能合成弯矩只有与剪应力有关的切向内力元素dV = dA 才能合成剪力所以,在梁的横截面上一般

2、既有正应力,又有剪应力m m V m mM6-2 弯曲正应力若梁在某段内各横截面上的弯矩为常量,剪力为零,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲。P P a aC D+-PP+PaCD 段就是纯弯曲。1、实验观察与分析在矩形截面梁的侧面画上一些水平的纵线(aa、bb等和一些横向线(mm、nn 等观察到:纵线:相互平行的水平直线相互平行的曲线,且上部被压短,下部被拉长;横向线:仍保持直线,仍与纵线垂直,但相互不再平行,相对转动了一个角度。、实验观察与分析(1横截面变形后仍为一平面(平截面假设,且仍与梁的轴线正交;(2梁可看成是由一层层的纵向纤维组成的,由平面假设,同一层纤维的伸长(或缩短相同;(3纵向纤维间

3、无挤压,上部纤维缩短,下部纤维伸长,由变形的连续性,必有一层纤维即不伸长,也不缩短,称之为中性层;中性层与横截面的交线称为中性轴。、实验观察与分析中性层即不伸长,也不缩短的一层纵向纤维中性层中性轴横截面中性轴中性层与横截面的交线弯曲变形的特征横截面绕中性轴转动了一个角度2、公式推导在推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式时,要综合考虑几何,物理和静力学三方面。如图,从纯弯曲梁段上取出长为dx 的微段,将梁的轴线取为x 轴,横截面的对称轴取为y 轴,中性轴取为z 轴dxz yaa b ba a b b o 1o 2中性轴中性层6-2 弯曲正应力、公式推导dxz yaa b b a a b b o

4、1o 2中性轴中性层几何方面a a b o 1o 2b d yK 1K 2取距离中性轴为y 处的纤维K 1 K 2作为研究对象曲率半径6-2 弯曲正应力 、公式推导几何方面a a b o 1o 2b d yK 1K 2纤维K 1 K 2的相对伸长为曲率半径dxdx K K dx s 21-=y ddyd (=-+=即:y =y 纤维距离中性轴的距离梁弯曲后的曲率16-2 弯曲正应力、公式推导几何方面 a a b o 1o 2b yK 1K 2曲率半径y =y 纤维距离中性轴的距离梁弯曲后的曲率1该式说明:线应变和纤维与中性轴的距离y 成正比,同一层纤维的线应变相同,离中性层越进,纤维的线应变越

5、大;和梁弯曲后的曲率成正比。1、公式推导物理方面 a a b o 1o 2b yK 1K 2曲率半径y =由纵向纤维间无挤压,则各条纤维均处于单向受力状态,因此,由胡克定律,有:E =y E=该式说明:正应力和点与中性轴的距离y 成正比,同一层纤维的正应力相同,离中性层越进,点的正应力越大;和梁弯曲后的曲率成正比。1 、公式推导物理方面y E 弯曲正应力分布规律弯矩为正时,正应力以中性轴为界,下拉上压;弯矩为负时,正应力上拉下压;中性轴上,正应力等于零MM问题:中性轴的位置?曲率?16-2 弯曲正应力 、公式推导静力学方面yZOxM在横截面上法向内力元素dA 构成了空间平行力系。dAz ydA

6、0dA N A=0=Ay dA z M MdA y M AZ =根据梁上只有外力偶M 这一条件可知,上式中的N 和M y 均等于零,而M Z 就是横截面上的弯矩M 。6-2 弯曲正应力 、公式推导静力学方面yZOxMdA z ydA0dA N A=说明中性轴过形心由式y E=0S EydA E dA y E N Z A A =得:0S Z =6-2 弯曲正应力 、公式推导静力学方面yZ OxMdAz ydA说明中性轴是截面的主轴由式y E=0I EyzdA E dA y zE M A A =yz y 得:0I yZ =0=A y dA z M 由式可知,中性轴是截面的形心主轴对称轴为截面的形心

7、主轴,弯曲变形时的中性轴就是对称轴6-2 弯曲正应力 、公式推导静力学方面yZ OxMdAz ydA由式y E=MI E dA y E dA y yE M A 2A =z z 得:ZEI M 1=该式说明,曲率与弯矩成正比,与EI Z 成反比。MdA y M A Z =I Z 截面对中性轴的惯性矩EI Z 截面抗弯刚度(弯曲刚度6-2 弯曲正应力 、公式推导静力学方面y E =I Z 截面对中性轴的惯性矩Z I My =ZEI M 1=M 截面的弯矩y 求应力的点到中性轴的距离中性轴是截面的形心主轴,弯曲变形时的中性轴就是对称轴 M 正比反比梁的正应力公式6-2 弯曲正应力Z 截面对中性轴的惯

8、性矩ZI My M 截面的弯矩y 求应力的点到中性轴的距离注意:1、材料应在线弹性范围内工作,且拉压弹性模量相等;2、对其它对称形状的梁也适用(工字型、T 形等;3、对非对称截面梁,只要荷载作用在过形心主轴的纵平面内,也适用,但要先求出中性轴的位置。4、此公式是在纯弯曲状态下推导出来的,对于剪力弯曲(N0仍然适用;二、纯弯曲梁横截面上的正应力6-2 弯曲正应力Z 截面对中性轴的惯性矩ZI My =M 截面的弯矩y 求应力的点到中性轴的距离二、纯弯曲梁横截面上的正应力应用公式时,一般将M 、y 以绝对值代入,根据梁变形的情况直接判断的正、负号。以中性轴为界,梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号,

9、凹入边的应力为压应力( 为负号。6-2 弯曲正应力C ZCZ 中性轴y yyyCZCZ 中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。M拉压M拉压123bh I z =矩形截面Zb h实心圆6424dI I I P y z =空心圆(44642dD I I I P y z -=(441642-=D I I I P y z Dd=Zd6-2 弯曲正应力1、梁的危险截面梁的危险截面在该梁内应力最大的截面上 危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部2、梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最进处m axzm ax m axy I M Z 截面对中性轴的惯性矩y 求应力的点到中性轴的距离m axz m

10、 axm axy I M =yy maxy maxZCy I W ZZ max=W Z 称为抗弯截面模量(弯曲截面系数,只与截面形状和尺寸有关,单位m3令:zm ax m axW M =梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最进的点处四、梁的最大正应力W z 的计算矩形截面 圆形截面62bh =21223h bh h I =W zz =26424d d d I W z z =323d =yzhbdy z注:h 是与中性轴垂直方向的长度6-3 弯曲剪应力一、矩形截面梁横截面上的剪应力假设1截面上各点剪应力的方向都平行于截面的剪力;(2剪应力沿截面宽度方向均匀分布,即距离中性轴等距离各点的剪应力相

11、等。由弹性力学可知,对狭长矩形截面(高度h 大于宽度b,以上假设成立mmnnP 2P 1q(xmm nnxdxM M+dMVV 1用横截面m m , n n 从梁中截取dx 一段。弯矩产生正应力剪力产生剪应力两横截面上均有剪力和弯矩。一、矩形截面梁横截面上的剪应力6-3 弯曲剪应力两横截面上的弯矩不等。所以两截面上到中性轴距离相等的点(用y 表示其正应力也不等。I y M z=mmnn正应力(分布图ymmnnM M+dMVVmnnmm m ohbdxxy z2在距离中性轴y 处假想地从梁段上截出体积元素mB 1yA BA 1B 1一、矩形截面梁横截面上的剪应力mnm ohb dxxy zy y

12、BmnAB 1A 1m n 体积元素mB 1 在两端面mA 1、nB 1上两个法向内力不等。31N 2N 21N N yA BA 1B 14在纵截面AB 1 上必有沿x 方向的切向内力dV 。此面上也就有剪应力dVmnm ohb dxxy zyA BA 1B 1BB 1y yBmnAB 1A 1m n 在AB 1面上的AA 1 线各点处有剪应力。dV根椐剪应力互等定理,在横截面上横线AA 1上也应有剪应力。(所求1N 2Ny xz yBmnAB 1A 1m n 由静力平衡方程,求出dV 。推导公式步骤:1和1N 2N 分别求出mA 1和nB 1面上正应力的合力234纵截面上的剪应力。到横截面上

13、距中性轴为任意y 的点上的剪应力公式。dV1N 2Nmnnmm m ohbdxxy zyABA 1B 1BB 1假设:横截面上距中性轴等进的各点处剪应力大小相等。各点的剪应力方向均与剪力(截面侧边平行。所以横截面AA 1 线上各点的剪应力相等, 且与侧边平形。根椐剪应力互等定理,纵截面AB 1上,AA 1 线上各点的剪应力相等。且纵截面AB 1上的剪应力均匀分布。yxzBmnAB 1A 1m n 假设m m , n n 上的弯矩为M 和M+dM 。两截面上距中性轴y 1 处的正应力为1 和2 。1求N 1和N 2dV1N 2Nyxz BmnAB 1A 1m n y 1dA1dAN A *=11

14、*=AZAZ dAy I MdA I My 11S I M *ZZ=用A * 记作mA 1 的面积S z *是面积A *对中性轴z 的面积矩。dV1N 2NyxBmnAB 1A 1m n y 1dA1S z *是面积A * 对中性轴z 的静矩。同理*+=*ZZA S I dM M dA N 22A*为距中性轴为y 的横线以外部分的横截面面积。dV1N 2N I Z*+=ZZS I Vdx MyxBmnAB 1A 1m n y 1dA12由静力平衡方程求dV*=-=ZZS I Vdx N N dV 12dV1N 2N I Z*+=ZZS I Vdx M N 2yxz BmnAB1A 1m n 3

15、求纵截面上的剪应力dx*=ZZ S dxVdx bI dx b dV 1ZZbI VS *=dV1N 2N 4由剪应力互等定理得横截面上距中性轴为任意y 的点,其剪应力的计算公式*=-=ZZS I Vdx N N dV 12ZZbI VS *=ZI z 整个横截面对中性轴的惯性矩S z * 过求剪应力的点做与中性轴平行的直线,该线任一边的横截面面积对中性轴的静矩V 横截面上的剪力yA*A*b 矩形截面平行于中性轴的边长ZZbI VS *=nBmAm 1A 1B 1xyz Oy沿截面高度的变化由静矩与y 之间的关系确定Sz *ZZbI VS *=nBmAm 1A 1B 1xyzO y=A *dA

16、y S *z1=211h ydy b y 4(222y h b -=y 1dy 1y 4h (bh 6V 223-=剪应力沿截面高度按抛物线规律变化。 z剪应力沿截面高度的变化规律2hy=(即在横截面上距中性轴最进处=( 即在中性轴上各点处,剪应力达到最大值y = 0 maxbhV234bh6Vh32max=2A3Vmax=A = b h(矩形截面的面积y4h(bh6V223-=l =3m ,h =160mm ,b =100mm ,h 1=40mm ,F =3KN ,求m-m 截面上K 点的剪应力。BAzl/3m FFl/3l/3ml/6Kbhh 1AR BR 解:先求mm 截面的剪力3KNF V m -=0Zy A S *=A *y 035=.4733104131216010012mmbh I Z =.0.21MPa 1053Z Z=*二、工字形截面梁的剪应力z上翼缘下翼缘腹板上、下翼缘及中间腹板均存在切应力二、工字形截面梁的剪应力z上翼缘腹板1、腹板上的剪应力ZZdI VS *=I z 整个工字形截面对中性轴的惯性矩S z * 欲求应力的点到截面边缘间的面积(图中阴