直线的参数方程及其应用学案

1、.直线的参数方程及应用目标点击：1掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；2熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；基础知识点击 ：1、直线参数方程的标准式的直线 l 的参数方程是(1)过点 P ( x0 , y0 )，倾斜角为0xx0t cos（t 为参数） t 的几何意义： t 表示有向线段P0 P 的数量， P( x , y )yy0t sinP0P=tP0P =t为直线上任意一点 .(2)若 P、P 是直线上两点，所对应的参数分别为 t 、 t2，12 P P =t t 1则 P P =t t11221

2、221t、t、t(3)若 P 、 P 、P 是直线上的点，所对应的参数分别为312312则 P1P2 中点 P3 的参数为 t3t1 t2,P0P3=t1t 222<0(4)若 P 为 P P 的中点，则 t t 0， t · t01212122、直线参数方程的一般式b 的直线的参数方程是过点 P0( x0 , y0 )，斜率为 kaxx0at（ t 为参数）yy0bt点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题 1：（直线由点和方向确定）求经过点 P ( x0 , y0 )，倾斜角为 的直线 l 的参数方程 .0y设点 P(x , y)是直线 l 上任意一点 （规定向上的，方向为

3、直线 L 的正方向） 过点 P 作 y 轴的平行线，过P0P0 作 x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点 .01)当 P0 P 与直线 l 同方向或 P0 和 P 重合时，lP( x , y )QxP0P| P0P|则 P0Q P0PcosQ PP0Psin2)当P0 P与直线 l 反方向时， P0 、 0 、Q P同时改变符号P P QP0P| P0P|P0QP0PcosQ P P0Psin 仍成立设P0 ，为参数，Ptt又 P0Q xx0 ，xx0 tcos0lP0yP( x , y )Qx'.Q P yy0y y0 =t sin即 xx0t cos是所求的直线 l 的参数方程yy

4、0t sinP0P t，t 为参数， t 的几何意义是： 有向直线 l 上从已知点 P0( x0 , y0 )到点P( x , y )的有向线段的数量，且 | P0P| |t|当 t>0 时，点 P 在点 P 的上方；0当 t 0 时，点 P 与点 P0 重合；当 t<0 时，点 P 在点 P0 的下方；xx0 t特别地，若直线 l 的倾斜角 0 时，直线 l 的参数方程为y0yy当 t>0 时，点 P 在点 P0 的右侧；lP0P( x, y )当 t 0 时，点 P 与点 P0 重合；当 t<0 时，点 P 在点 P0 的左侧；0x问题 2：直线 l 上的点与对应的

5、 参数 t 是不是一l对应关系？y我们把直线 l 看作是实数轴，P0以直线 l 向上的方向为正方向，以定点0P为原点，以原坐标系的单位长为单位长，Px这样参数 t 便和这条实数轴上的点P 建立了0一一对应关系 .问题 3：P1、2 为直线l上两点所对应的参数分别为t1、2，Pt则 P1P2？， P1P2=？P1P2P1P0 P0P2 t1 t2 t2 t1， P1P2=问题 4：若 P0为直线l上两点 1、 2的中点， 1、2所对应的、tPPPP参数分别为 t2，则 t 、t之间有何关系？112y根据直线 l 参数方程 t 的几何意义，P1Pt1，P2Pt2， P0 为直线 l上两点 P 、P

6、 的中点， | P P| | P P|121 212P12，即t12PP Pt ,tt <0一般地，若 P1、 P2、P3 是直线 l 上的点，0所对应的参数分别为 t1、t2、t3，P3 为 P1、 P2 的中点t2 t1lP2P0P1x则 t3 t1 t2（ P1P3 P2P3, 根据直线 l 参数方程 t 的几何意义，2 P1P3= t3t 1, P2P3= t 3t 2, t3t1= (t 3t 2,) ）基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化'.例 1：化直线 l 1 的普通方程 x 3y 1 0 为参数方程，并说明参数的几何意义,说明 t的几何意义 .解：令 y=

7、0,得 x 1，直线 l1 过定点 (1,0). k 1= 333设倾斜角为， tg= 3,= 5 , cos = 3 , sin= 13622l1 的参数方程为x 13 t（ t 为参数）2y1 t2t 是直线 l 1 上定点 M 0（ 1， 0）到 t 对应的点 M( x , y )的有向线段 M 0 M 的数量.由 x13t(1)12y(2)t2(1)、(2)两式平方相加 ,得 ( x1)2y 2t 2 t(x1) 2y2t是定点 M 0 （1，0）到 t 对应的点 M( x , y )的有向线段 M0M 的长.点拨： 求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角, 注意参数的几何意义 .例

8、2：化直线 l 2 的参数方程x3t（t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，y13 t说明 t的几何意义 .解：原方程组变形为x3t(1)(1) 代入 (2)消去参数 t ，13 t(2)y得 y 13( x 3)(点斜式 )可见 k=3 , tg=3, 倾斜角=3普通方程为3x y3 310(1)、(2)两式平方相加 ,得 ( x3) 2( y 1)24t 2 t=( x3) 2( y1) 22 t是定点 M 0（3，1）到 t 对应的点 M( x , y )的有向线段 M 0 M 的长的一半 . 点拨： 注意在例 1、例 2 中，参数 t 的几何意义是不同的，直线 l 1 的参数方程为 x

9、13 t 即 x1 t cos5是直线方程的标准形式， (-3)2+(1 ) 2 =1, t 的几何2622y1y5tt sin26意义是有向线段 M 0 M 的数量 . 直线 l 2 的参数方程为x3t 是非标准的形y 13 t式， 12 (3 ) 2=41，此时 t 的几何意义是有向线段 M 0 M的数量的一半 .你会区分直线参数方程的标准形式？'.例 3：已知直线 l 过点 M（ ， ），倾斜角为，判断方程x11 t （ t 为参数）01332y33 t2和方程x 1t （ t 为参数） 是否为直线 l 的参数方程？如果是直线 l 的参数方y33 t程，指出方程中的参数t是否具有

10、标准形式中参数 t 的几何意义 .解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l 的的普通方程3x y33 0，所以，以上两个方程都是直线l 的参数方程，其中x11t2y33 t2cos= 1 , sin=3 ，是标准形式，参数 t 是有向线段 M 0 M 的22数量 .，而方程x1 t是非标准形式 ，参数 t 不具有上述的几何意义 .y 33 t点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数 t 的几何意义解决有关问题 .问题 5：直线的参数方程x1 t能否化为标准形式？y 33 t是可以的，只需作参数t 的代换 .(构造勾股数，实现标准化 )x1ty33

11、tx11( 12( 3 ) 2 t)22令 t = 12( 3) 2 t1( 3)y33( 12( 3 )2 t )12( 3)2得到直线 l 参数方程的标准形式x11 t2t 的几何意义是有向线段y33 t2M0M 的数量.2、直线非标准参数方程的标准化M 0一般地，对于倾斜角为、过点( x0 , y0 )直线 l 参数方程的一般式为， .xx0at（ t 为参数），斜率为 ktgbyy0bta(1)当 a 2b 2 1 时，则 t 的几何意义是有向线段 M 0 M 的数量 .(2)当 a 2b 2 1 时，则 t 不具有上述的几何意义 .xx0atx x0a(a 2b2 t)b 2 t可化

12、为a 2b 2令 t = a2y y0 bty y0b( a 2b2 t)a 2b2'.xx0at则可得到 标准式a2b 2t 的几何意义是有向线段 M 0 M 的数量 .yy 0btb 2a 2例 4：写出经过点 M 0（ 2，3），倾斜角为 3 的直线 l 的标准参数方程，并且4求出直线 l 上与点 M 0 相距为 2 的点的坐标 .x232解：直线 l 的标准参数方程为t cos即 x22t （ t 为参数）（ 1）4y33y32 tt sin42设直线 l 上与已知点 M 0 相距为 2 的点为 M 点，且 M 点对应的参数为t,则| M 0M| |t| =2,t= ±

13、;2将 t的值代入 (1) 式当 t=2 时， M 点在 M 0 点的上方，其坐标为（ 2 2 ， 3 2 ）；当 t=-2 时， M 点在 M 0 点的下方，其坐标为（ 2 2 ，3 2 ） .点拨： 若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求 M点的坐标较容易 .例 5：直线x3t sin 20 （t 为参数）的倾斜角.y4t cos 20y 4解法 1：消参数 t, 的 x 3 ctg20 °=tg110 °解法 2：化为标准形式：x3( t)t cos110（ t 为参数）y4( t ) sin11

14、0此直线的倾斜角为110°基础知识测试1：1、 求过点 (6,7), 倾斜角的余弦值是3 的直线 l 的标准参数方程 .22、 直线 l 的方程：x1t sin 25（ t 为参数），那么直线 l 的倾斜角 ()y2t cos25A 65°B 25°C155°D115°x11 t3、 直线5（ t 为参数）的斜率和倾斜角分别是()2y1t5A) 2 和 arctg( 2)B) 1 和 arctg( 1 )22'.C) 2 和 arctg2D) 1和 arctg 122xx0t cos（ t 为参数） 上的点 A 、B所对应的参数分别为t

15、 ,t ，点 P4、 已知直线yy0t sin12分线段 BA 所成的比为（ 1），则 P 所对应的参数是.5、直线 l 的方程：x x0at（ t 为参数） A、 B 是直线 l 上的两个点，分别对应参数y y0 bt值 t1、 t2，那么 |AB| 等于 ( )A t 1 t 2 Ba 2b2t1t2D t 1 + t 2 t 1 t 2 Cb2a 2x1t2 3 0交于 P 点，求点6、 已知直线 l ：5(t 为参数 ) 与直线 m： x yy3 tM(1, 5)到点 P 的距离 .二、直线参数方程的应用例 6：已知直线 l 过点 P（2，0），斜率为 4 ，直线 ly和抛物线 y 2

16、3B2x 相交于 A 、B 两点，设线段 AB 的中点为 M, 求：Mx(1)P、M 两点间的距离 |PM|；0P (2,0)(2)M点的坐标；A(3)线段 AB的长 |AB|解： (1)直线 l 过点 P（2，0），斜率为 4 设直线的倾斜角为，tg =4,333cos= 3 , sin= 4 直线 l 的标准参数方程为x2t （t 为参数） *555y4 t5直线 l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y 22x 中，整理得8t2 15t50 0 15=152+4× 8× 50>0, 设这个二次方程的两个根为 t1、2由韦达定理得t1t21 2 25，由

17、M为线段AB的中点，t ,8, t t4根据 t 的几何意义，得 | PM| t1t2 15216中点 M 所对应的参数为 t M = 15 ,将此值代入直线的标准参数方程* ，16M 点的坐标为 x 23?1541即M （41，3）51616y4 ?1531645164'.(3)|AB| t 2t 1(t1t 2 ) 24t 1 t 2 5738点拨：利用直线 l 的标准参数方程中参数t 的几何意义， 在解决诸如直线 l上两点间的距离、 直线 l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线 l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷 .例 7：已知直线 l 经过点 P（ 1,33

18、）, 倾斜角为，3(1)求直线 l 与直线 l ： yx 23的交点 Q与 P点的距离 |PQ| ；(2)求直线 l 和圆 x2y 2 16 的两个交点 A ，B 与 P 点的距离之积 .解： (1)直线 l 经过点 P（1,33 ）, 倾斜角为,直线 l 的标准参数方13x1t cosx程为3，即1t（t 为参数）代入直线 l ：2y33 t sin3y3 33 t2y x2 3得 (11 t )( 333 t)2 30 整理，解得 t=4+2322t=4+23 即为直线 l 与直线 l的交点 Q 所对应的参数值，根据参数 t 的几何意义可知： | t| =|PQ|,| PQ|= 4+23

19、.x1t(2)把直线 l 的标准参数方程为1（ t 为参数）代入圆的方程23y33t2x 2y2 16，得 (11 t )2(3 33 t) 216 ,整理得： t2 8t+12=0，222 -4 ×12>0, 设此二次方程的两个根为t1、t2则1 2=8t t =12根据参数 t 的几何意义， t1、 t2 分别为直线和圆 x 2y2 16 的两个交点A, B 所对应的参数值，则 | t1| =| PA|,| t2| =| PB|, 所以 | PA| ·| PB| =| t1 t2|=12点拨： 利用直线标准参数方程中的参数 t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（

20、或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便 .例 8：设抛物线过两点A( 1,6)和 B( 1,2)，对称轴与 x 轴平行，开口向右，直线 y=2 x +7 被抛物线截得的线段长是410 ，求抛物线方程 .解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（a ，2）方程为 (y2) 2=2P(x a ) (P>0)点 B(1, 2)在抛物线上， ( 2 2) 2=2P(1 a )a P= 8 P代入 得(y 2) 2=2Px 2P+16将直线方程 y=2 x +7 化为标准的参数方程tg=2,为锐角，'.12x11t

21、cos=, sin=得25（ t 为参数）55y5t5直线与抛物线相交于 A，B, 将代入并化简得：4 t 2122P t 7 0，由=4(P6) 235>0, 可设方程的两根为 t1、t2，55521(t1t2 )24t1t 24 10又 |AB|= t t5 (122P)2435=(410) 2化简，得 (6 P)2=10044 P=16 或 P=-4( 舍去 ) 所求的抛物线方程为 (y 2) 2=32x 48点拨： (1)（对称性） 由两点 A( 1,6) 和 B( 1, 2) 的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含 P 一个未知量，由弦长 AB的值求得 P）.(2)

22、利用直线标准参数方程解决弦长问题 . 此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些 .例 9：已知椭圆(x 1) 2y2，AB 是通过左焦点 F1 的弦，2 为右焦点，1F4 3求| F2A| ·| F2B| 的最大值 .解：由椭圆方程知a 2，b=3 ,c=1,F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的参数方程为xt cos （t 为参数）代入椭圆方程整理得yt sin（3sin2）t2 6 t cos 9=0 ，=36cos2 （ 2）>036 3sin此方程的解为 t1、t2，分别为 A 、 B 两点对应的参数，由

23、韦达定理 t1 t2= 6 cost1 t293sin 23sin 2根据参数 t 的几何意义， t1、 t2 分别为过点 F1 的直线和椭圆的两个交点A, B 所对应的参数值， |F A| | t| F B| | t|1112|AB|= t 2 t 1(t1t2 )24t1 t 212| F1A| · | F1B| | t1| · | t2|=|t1t2|3sin 24， | F B|+|F B|=2 4由椭圆的第一定义 |FA|FA|2aa| FA|·|F B|=(4-|1212F A|)(4-|FB|)=16-4|AB|+|FA|·|FB|2211

24、11=16-4 t 2t 1 +| t1t2|=16-412+9sin 2sin 23933=16-sin 23'.222有最大值25当 sin1时，| F A|·| F B|4点拨： 求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解1(0,0),F2(2,0),显然 F1 坐标简单，因此选择过 F1题，此题中两定点 FFB| 转化为| FA|·|FB|.的直线的参数方程， 利用椭圆的定义将 | F A| ·|2211例 10：（黄冈习题册： P155,第 23 题）（ 2）除书中解法外，补充解法二 .解法二：设过点 P( a ,0) 的直线

25、l 的参数方程为xa t cos(t为参数yt sin(0,)，且 )(1)2直线 l 与圆 x2y 2 5 相交于 B,C 将直线 l 的方程 (1)代入圆的方程得 t2+2a t cos+ a 2 50，=( 2a cos) 2-4(a 25)>0.即 a 2 sin2+5>0(2)25t BtC=2 a costBtC=a直线 l 与抛物线 y2= x +7 相交于 A,D 将直线 l 的方程 (1)代入抛物线的方程得 (sin2 ) t2 t cos a 70，= cos2-4 (sin2)(-a 7)>0即 1+(4 a +27) sin2>0(3)costB

26、 tC=a7t AtD =sin 2sin 2又 |AB|=|CD|线段 AD与线段 BC的中点重合，即tAtD=tBtC cos = - 2a cos即 - 2a =1，sin 2sin 2(0,),且 0<sin2<1将 sin21代入 (2) 、(3)22aa100a 必须满足2a270-10<a < 12a122a点拨： 此题利用直线参数方程形式比普通方程求 a 的范围运算量相对要小，注意使用直线上两个点的中点的参数 .xx0t cos方法总结： 利用直线 l 的参数方程y0（t 为参数），给研究直线与yt sin圆锥曲线 C：F( x, y )=0 的位置关系提供了简便的方法 .一般地，把 l 的参数方程代入圆锥曲线C