与直线和圆有关的最值问题理详解

1、圆锥曲线专题突破一：与直线和圆有关的最值问题典例剖祈题型一 有关定直线、定圆的最值问题2 2例1 已知x, y满足x + 2y 5 = 0，则(x 1) + (y 1)的最小值为 .破题切入点 直接用几何意义一一距离的平方来解决，另外还可以将x+ 2y5= 0改写成x= 5 2y,利用二次函数法来解决.解析 方法一 (x 1)2+ (y 1)2表示点P(x, y)到点Q1,1)的距离的平方.由已知可知点 P在直线I : x + 2y 5 = 0上，所以PQ的最小值为点 Q到直线I的距离，即d=2 6 = ，所以(x 1)2+ (y 1) 2的最小值为 d=：.寸 1 + 225方法二 由x+

2、2y 5= 0,得x = 5 2y，代入(x 1)2+ (y 1)2并整理可得222229 2 44(5 2y 1) + (y 1) = 4(y 2) + (y 1) = 5y 18y+ 17 = 5(y-) +，所以可得最小值为 -.555题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题例2直线I过点F(1,4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于 A、B两点.当OAF 0B最小时，0为坐标原点，求I 的方程.破题切入点 设出直线方程，将 0A+0B表示出来，利用基本不等式求最值.解 依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则y4 = k(x 1)( k<0).4令 y=0,可得

3、 A(1 k，0)；令 x = 0，可得耳0,4 k).(k+ r) = 5+ ( k + k)5+ 4= 9.4 44OA OB= (1 匚)+ (4 k) = 5 4所以，当且仅当一k=L且k<0,即k= 2时，OAF OB取最小值.这时I的方程为2x + y 6= 0.题型三综合性问题(1) 圆中有关元素的最值问题例3由直线y = x + 2上的点P向圆C: (x 4)2+ (y + 2)2= 1引切线PT(T为切点)，当PT的长最小时，点 P的坐标是破题切入点 将PT的长表示岀来，结合圆的几何性质进行转化.解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系，可知 PT= 7PC

4、- 1，故PT最小时，即PC最小，此时PC,._ ,、，.，,、，、“、，r _“、，、_' = X + 2 ,卄，垂直于直线y=x + 2,则直线PC的方程为y+ 2 = (x 4),即y= x + 2,联立方程解得点P的坐标y = x+ 2,为(0,2).(2) 与其他知识相结合的范围问题例4已知直线x+ y k= 0( k>0)与圆x2 +y2 = 4交于不同的两点A,B,O是坐标原点，且有|6AbOB有AB|，那么3k的取值范围是.破题切入点结合图形分类讨论.解析O a B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA= OB / AOB= 120°,从而圆心 0到直线x

5、+ y k= 0（k>0）的距离为1,此时k = ）2；当k> :2时,ioAf 6b>3| Ab，又直线与圆X2 + y2 = 4存在两交点,故k<2 _：'2,综上,k的取值范围是_.;2, 2.【总结提高】（1）主要类型： 圆外一点与圆上任一点间距离的最值. 直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值. 过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值. 直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题.ax+ byax + by, cxX等的最值，转化为直线与圆的 两圆相离，两圆上点的距离的最值. 已知圆上的动点 Qx, y），求与点Q的坐标有关的式子的最

6、值，如求/亠护¥方位置关糸.解题思路：数形结合法：一般结合待求距离或式子的几何意义，数形结合转化为直线与直线或直线与圆的位置关系求解.函数法：引入变量构建函数，转化为函数的最值求解.（3）注意事项：准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系;涉及切线段长的最值时，要注意切线，圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线组成一个直角三角形.精题狂练1. 若动点A,B分别在直线li：x + y 7= 0和l2：x + y 5 = 0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为 离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l : x + y+ m=

7、0，根据平行线间的距离公式得1讦7| =| mF 5|2? I mF 7| = | mF 5| ? m= 6,V即1 : x+ y 6= 0,根据点到直线的距离公式，解析 依题意知，AB的中点M的集合是与直线l 1： x+ y 7= 0和I2： x + y 5= 0距离都相等的直线， 则M到原点的距得M到原点的距离的最小值为I 6|=3 2.2. 已知点 M是直线3x + 4y 2 = 0上的动点，点 N为圆（x+ 1）2 + （y+ 1）2= 1上的动点，贝U MN的最小值是 .I 一 3 4一 2I 9 解析 圆心（一1, 1）到点M的距离的最小值为点（一1, 1）到直线的距离d=-,故点

8、N到点M的距离5 5的最小值为d 1 =53. 已知P是直线I : 3x 4y + 11 = 0上的动点，PA PB是圆x2+ y2 2x 2y + 1= 0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACBT积的最小值是.答案护解析 如图所示，圆的标准方程为 (x 1)2+ (y 1)2= 1,圆心为C(1,1)，半径为r = 1.1根据对称性可知四边形 PACBM积等于2S°ap= 2X qPAr = PA故PA最小时，四边形 PACB勺面积最小，由于 PA= 'PC 1,故PC最小时，PA最小，此时，直线 CP垂直于直线I : 3x 4y + 11 = 0,故PC的最小值为圆心

9、C到直线I : 3x 4y +11 = 0的距离d =|3 4+ 11| =,'32 + 42 =105=2，所以PA= .'PC 1 = ;22 1 = '3.故四边形PACBT积的最小值为；'3.I与曲线y= ； 1 x2相交于A B两点,3O为坐标原点，当 AOB勺面积取最4. (2013 江西改编)过点(：2 , 0)引直线大值时，直线I的斜率为.答案 解析 / Saob= 2qa- OB- sin / AOB= jsin / AO& 2.当/AOB=-2时，Sob面积最大此时 O到AB的距离d = #.设 AB方程为 y k( x ：2)( k

10、<0)，即 kx y ：2k= 0. 由d='善冷，得 k=5. 过点P(1,1)的直线，将圆形区域( x, y)| x2+ y2w4分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为答案 x+ y 2 0解析 由题意知，当圆心与 P的连线和过点 P的直线垂直时，符合条件.圆心O与P点连线的斜率k 1,所以直线OP垂直于x+ y 2 0.y > 0,»26. 已知Q x, y2，直线y= m灶2m和曲线y= ：4 x2有两个不同的交点，它们围成的平面区y w 寸 4 xn 2域为M向区域上随机投一点 A,点A落在区域M内的概率为P(M，若RM , 1 ,则实

11、数m的取值范围是2 n.答案 0,11j5解析 画出图形，不难发现直线恒过定点(一2,0)，圆是上半圆，4/直线过(一2,0) , (0,2)时，向区域 Q上随机投一点 A,点A落在区域M内的概率为RM ,n 2此时RM= o,2 nPl 2 3 4 5 x-2当直线与x轴重合时，P(M 1,-3故直线的斜率范围是0,1._4-57.在平面直角坐标系 xOy中，圆C的方程为x2 + y2 8x + 15 0,若直线ykx 2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 C有公共点，贝U k的最大值是 4答案3解析可转化为圆C的圆心到直线y = kx 2的距离不大于2.圆C的标准方程为（x

12、 4）2+ y2= 1圆心为（4,0）.由题意知（4,0）到kx y 2 = 0的距离应不大于2,|4 k 2|即一2 w 2.k+ 124整理，得 3k2 4kw 0,解得 ow kw3.34故k的最大值是3.&直线I过点（0， 4），从直线I上的一点P作圆C: X2+ y2 2y= 0的切线PA PQA, B为切点），若四边形PACE面积的最小值为2,则直线I的斜率k为.答案 ±22,圆心（0,1）到直线y= kx 4的距离为解析易知圆的半径为1,因为四边形PAC啲最小面积是2,此时切线段长为_5_1 + k2=5，解得 k =± 2.9.若直线ax+ by=

13、1过点A（b, a），则以坐标原点 O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是 .答案 n解析 t直线ax+ by= 1过点A（ b, a）, , ,1 ab+ ab= 1. / ab= 2*又 OA= a2 + b2,以O为圆心，OA为半径的圆的面积为S=n oA= （ a + b） n2 ab n = n,面积的最小值为 n.10 .与直线x y 4 = 0和圆 A : x2 + y2 + 2x 2y = 0都相切的半径最小的圆 C的方程是答案（x 1）2+ （y + 1）2 = 2解析易知所求圆C的圆心在直线y = x 上,故设其坐标为 qc, c）,又其直径为圆 A的圆心A 1,1）到

14、直线x y4=0的距离减去圆A的半径，即62 = 2 2? r = 2,即圆心C到直线x y 4= 0的距离等于.2|2 c 4|2 2(x 1) + (y + 1) = 2.故有 .=2? c= 3 或 c= 1 , 结合图形当c= 3时圆C在直线x y 4= 0下方，不符合题意，故所求圆的方程为 2 211. 已知点F(x, y)是圆(x + 2) + y = 1上任意一点.(1) 求点P到直线3x + 4y+ 12= 0的距离的最大值和最小值；y 2(2) 求的最大值和最小值.x 1 |3 X 2 + 4X 0+ 12|解 圆心C( 2,0)至煩线3x + 4y + 12= 0的距离为d

15、=22寸 32+ 42611所以点P到直线3x + 4y+ 12 = 0的距离的最大值为 d+ r = + 1 =556 1最小值为d r = 1 =三.55设k= Vx 1则直线kx y k + 2 = 0与圆（x + 2）2+ y2= 1有公共点,.|-如 2| 三w k < 亠,k2+ 1，44，kmax= 3 , kmin= 3.即匕|的最大值为3+-，最小值为3卫x 14412. (2014 苏州模拟)已知圆M的方程为x2 + y2 2x 2y 6 = 0,以坐标原点 O为圆心的圆O与圆M相切.(1)求圆O的方程； 圆O与x轴交于E, F两点，圆 O内的动点 D使得DE DO DF成等比数列，求 DE- 6F勺取值范围.解(1)圆M的方程可整理为(x 1)2+ (y 1)2= 8,故圆心M(1,1)，半径R= 2 2.圆O的圆心为 O(0,0)，因为 M= 2<2 2,所以点O在圆M内，故圆O只能内切于圆 M设圆O的半径为r，因为圆O内切于圆 M 所以 M= Rr,即 2= 2 2 r,解得 r = ,2.所以圆O的方程为x2+ y2= 2. 不妨设 E(m,0) , F(n,0)，且 n<n.故 E( 2, 0) , F( 2, 0).设D(x, y)，由DE DO DF成等比数列，得 DEX DF= DO,即.x