小学奥数：等差数列应用题.专项练习及答案解析

1、等差数列应用题1-2-1-3.等差数列的认识与公式运用.题库page 11 of 12教师版昌IMbe例题精讲【例1】100以内的自然数中。所有是 3的倍数的数的平均数是 。【考点】等差数列应用题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，5分【解析】100以内的自然数中是 3的倍数的数有 0, 3,6,9L ,99共33个，他们的和是0 99 34 17 99 1683 ,贝U他们的平均数为 1683+34=49.5。2【答案】49.5【例2】一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了 3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴

2、多摘一个野果。最后，每只小猴分得 8个野果。这群小猴一共有 只。【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 7题【解析】 平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了 8 2 1=15只果，共有15只猴.【答案】15只猴子【例3】15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10.从右边报起学学报 12.那么学学和思思中间排着有 位同学.【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】填空【关键词】学而思杯，1年级【解析】 因为从左边起思思报 10,所以，思思的右边还有 15 10 5 （个）；又因为从右边 起学学报12,所以，学学的左边还有 15 12 3 （个），15

3、 6 4 5 （个）学学和 思思中间排着5位同学.考点 > 排队问题【答案】5位【例4】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17,阿奇报150,每位同学报的数都比前一位多7,那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】首项二17,末项=150,公差=7,项数=（150-17） +7+1=20【答案】20【例5】一个队列按照每排 2, 4, 6, 8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】（方法一）利用等差数列求和公式：通过例 1

4、的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数配对，可配成 25对.所以 2 4 6 L 96 98 100 = （2+100） 25=103 25 = 2550（方法二）根据1 2 3 L 98 99 100 5050,从这个和中减去 1 3 5 7 . 99的和, 就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫.【答案】2550【例6】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的.第一个 雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有 5只蝴蝶，第三个雕塑有 7只蝴蝶，第四个雕塑 有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方

5、，学学和思思看 不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、，求这个数列的第 102项 是多少？ 999是第几项？由刚刚推导出的公式一一第n项 首项 公差(n 1),所以，第102项 3 2 (102-1) 205;由“项数 (末项 首项)公差1”，999所处 的项数是：(999 3) 2 1 996 2 1 498 1 499【答案】499【例7】 如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其中最小的三角

6、形顶点的个数(重合的顶点只计一次)依次为：3, 6, 10, 15, 21,问：这 列数中的第9个是多少？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第 6题【解析】 这列数第一项为3,第二项比第一项多 3,以后每项比前项多项数加1,所以第9项为 3+3+ 4+5 + 6+ 10=1 + 2+3+4+5 + 6+ 10=55。【答案】55【例8】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了 28层.问最下面一层有多少根 ？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】将每层圆木根数写出来，依次是：5, 6, 7, 8,

7、 9, 10,可以看出，这是一个等差数列，它的首项是 5,公差是1,项数是28.求的是第28项.我们可以用通项 公式直接计算.解： an a1 (n 1) d5 (28 1) 132(根)故最下面的一层有32根.【答案】32【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第 2层6块砖，第3层10 块砖，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层 2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】项数=（2106-2 ） + 4+1=527,因此，层数为奇数，中间项为（2+2106） + 2=1054,数列和二中间项X项数=105

8、4X 527=555458,所以中间一层有 1054块砖，这堆砖共 有 555458 块。【答案】555458【例9】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图） ，聪明的小朋友，你能算出这堆钢管 共有多少根吗？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】（方法一）不难发现，这堆钢管每一层都比上一层多1根，也就是从上到下每层钢管的数量构成了一个等差数列，而且首项为3,末项为10,项数为8.由等差数列求和公式可以求出这堆钢管的总数量：（3 10） 8 2 52 （根）（方法二）我们可以这样假想： 通过对几何图形进行旋转，从而达到配对的目的是解决问题的关键（如图）这个槽内的钢管共有8层，每层都有

9、3 10 13 （根），所以槽内钢管的总数为： （3 10） 8 104 （根）,取它的一半，可知例题图中的钢管总数为：104 2 52 （根）【答案】52【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有 70个座位，这个剧院一共有多少个座位？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】第一排座位数：70 2 （20 1） 32 （个），一共有座位：（32 70） 20 2 1020 （个）.【答案】1020【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有 14个座位，最后一排他们数了一下，一共有 210个 座位

10、，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】 如果我们把每排的座位数依次记下来，10、12、14、16、 容易知道，是一个等差数列.210是第n （210 10） 2 1 101排，中间一排就是第（101 1） 2 51排， 那么中间一排有：10 （51 1） 2 110 （个）座位.根据刚刚学过的中项定理，这 个剧场一共有：110 101 11110 （块）.【答案】11110【例10】有码放整齐的一堆球，从上往下看如右图，这堆球共有多少个?【考点】等差数列应用题 【难度】5星 【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，

11、第10题【解析】 从图中可以看出，除去最上层1个球外，第二层(次上层)有(1 + 2+3+4+5)=15个球，以后每层比上一层多 6、7、8、9、10个球，共7层.15+6 = 21, 21 + 7=28, 28+8= 36, 36+9=45, 45+ 10=55, 1 + 15 + 21 + 28+36+45+55 = 201。答：共有201个球。【答案】201个球【例11】某年4月所有星期六的日期数之和是54,这年4月的第一个星期六的日期数【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第 14题【解析】4x+(+7) +(+14) +(+21)=54, x=

12、3【答案】3【例12】一辆双层公共汽车有 66个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位 乘客，第三站上三位乘客，依此类推，第几站后，车上坐满乘客？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】通过尝试可得：1 2 3 L 11 (1 11) 11 2 66,即第11站后，车上坐满乘 客.记住自然数110的和对于解一些应用题很有帮助，需要尝试求解时能够较快 找到大概的数.【答案】11【例13】时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下.问：时钟一 昼夜打多少下？【题型】解答12个半点敲打的一下，即:【考点】等差数列应用题【难度】3星【解析】时钟每个白天敲打的次数是

13、每个整点敲打次数的和加上(1 2 3 L 12) 12 (1 12) 12 2 12 78 12 90 (下)，所以一昼夜时钟一共敲打：90 2 180 (下).【答案】18098 100,则a、b两个数中,【题型】解答【例 14】已知：a 1 3 5 L 99 101, b 2 4 6 L较大的数比较小的数大多少？【考点】等差数列应用题【难度】3星【解析】(方法一)计算：a (1 101 51 2 2601, b (2 100) 50 2 2550,所以 a 比 b 大，大 2601 2550 51.(方法二)通过观察，a中的加数从第二个数起依次比b中的加数大1,所以a比b大，a b 1 (

14、3 2) (5 4) L (99 98) (101 10。 51【答案】51【例15】小明进行加法珠算练习，用 1 2 3 4 L ,当加到某个数时，和是 1000.在验 算时发现重复加了一个数，这个数是多少？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【关键词】迎春杯【解析】通过尝试可以得到1 2 3 L 44 （1 44） 44 2 990 .于是，重复计算的数是 1000 990 10.【答案】10【例161编号为19的9个盒子里共放有 351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同 样数量的糖.如果 1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多 放几粒糖？【考点】等差数列应用

15、题【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意，灵活运用有关等差数列的求和公式进行分析与解答.由等差数列求和公式”和（首项末项）项数2”，可得：末项和2项数首项.则第9个盒子中糖果的粒数为：351 2 9 11 67 （粒）题目所求即公差（67 11） （9 1） 56 8 7 （粒），则后面盒子比前一个盒子多放7粒糖.【答案】7【巩固】例题中已知如果改为 3号盒子里放了 23粒糖呢？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】等差数列有个规律：首项 末项 第2项 倒数第2项 第3项 倒数第3项L , 所以我们可以得到等差数列求和公式的一个变形，假设等差数列有n项，则和（第a项第n a

16、1项）n 2 ,则倒数第3个盒子即第（9 3 1）个盒子中糖果的粒 数为：351 2 9 23 55 （粒）题目所求即公差（55 23） （7 3） 32 4 8 （粒），则后面盒子比前一个盒子多放8粒糖.【答案】8【例17】小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到 1000元工资，以后每月多得60元；小高第一个月得到 500元工资，以后每月多得 45元。两人工作一年后，所得的 工资总数相差多少元？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】 小王：1000+60X （ 12-1 ） =1660, （1000+1660） X 12+ 2=15960小高：500+45X （ 12-1

17、） =995, （500+995） X 12+2=8970, 15960-8970=6990 即一年后两人所得工资总数相差6990元。【答案】6990【巩固】王芳大学毕业找工作。她找了两家公司，都要求签工作五年的合同，年薪开始都 是一万元，但两个公司加薪的方式不同。甲公司承诺每年加薪1000元，乙公司答应每半年加薪300元。以五年计算，王芳应聘 公司工作收入更高。【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯，3年级，决赛【解析】甲公司五年之内王芳得到的收入为：10000 11000 12000 13000 14000 60000（元）.乙公司五年之内王芳得到的收入为：1000

18、0 5 300 600 900 1200 L 300 9 50000 30045 63500（元）.所以，王芳应聘乙公司工作收入更高.【答案】63500【例18】在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为656,且第一名的分数超过了90分(满分为100分)。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】他们的平均分为656 + 8=8282+1、82+2、82+3都有可能成为第四名，相对应的，公差分别为 1X2=2、2X2=4、3X 2=6若第四名为82+1=83分，则第一名为 若第四名为82+2=84分，则第

19、一名为 若第四名为82+3=85分，则第一名为83+ (4-1 ) X 2=89分，不符合题意，舍;84+ (4-1 ) X 4=96分，不符合题意；85+ (4-1 ) X 6=103分，不符合题意。因此，第四名为84分，公差为4,所以第三名为84+4=88分【答案】88【例19】若干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋 子放在空盒内，再把盒子重新排了一下，小明回来后仔细查看了一下，没有发现 有人动过这些盒子和棋子.共有多少个盒子？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】这道看似

20、蹊跷的题想要求出共有多少个盒子，必须先弄清楚小明盒子中的棋子是怎样放的.我们设除了空盒子以外一共有 n个盒子.小明回来查看时， 原来那个空盒子现在不空了，但是小明却没有发现有人动过这些盒子和棋子，那么一定是有另一个盒子现在变成了空盒子.这样，原来小明放置棋子时必有一个盒子只装着一个棋子.原来只装着一个棋子的盒子变成了空盒子以后，还需要一个盒子装一个棋子来代替它，那么这个代替它的盒子原来一定只装着2个棋子，依此类推，可以推断出小明所放的棋子依次是0, 1, 2, 3, L , n.根据这个等差数列的和等于 50多，通过尝试求出当n 10时，1 2 3 L 10 (1 10) 10 2 55满足题

21、意，其余均不满足.这样，只能是 n 10,即共有11个盒子.【答案】11【例20】某工厂12月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人250人.如果月底统计总厂工人的工作量是 9455个工作日(1人工作1天为1个工作日)，且无1人缺 勤.那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有多少人.【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯， 决赛【解析】260人工作31天，工作量是260 31 8060 (个)工作日.假设每天从总厂派到分厂a个工人，第一天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为0个工作日；第二天派去分厂的a个工

22、人在总厂的工作量为a个工作日；第三天派去分厂的 a个工人在总厂的工作量为2a个工作日；第31天派去分厂的a个工人在总厂白工作量为30a个工作日.从而有：9455 0 a 2a 3aL 30a 80609455 8060 a (1 2 3 L 30)1395 a(1 30)30 2 465a求得a 3 .那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有3 31 93 (人).【答案】93【例21】右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是 1根火柴棍.如果最大的三角形共有 8层，问：最大三角形的面积是多少平方厘米？整个图 形由多少根火柴棍摆成？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解

23、析】最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表:层12345678小三角形柴数3691215182124由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列. 最大三角形面积为：1 3 5 L 13 12 （1 15）8 2 12 768 （平方厘米）. 火柴棍的数目为：3 6 9 L 24 （3 24）8 2 108（根）.【答案】768108【巩固】如右图，25个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形，在图中每个结点处都 标上一个数，使得图中每条直线上所标的数都顺次成等差数列.已知在大等边三 角形的三个顶点放置的数分别是1

24、00, 200, 300.求所有结点上数的总和.【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯【解析】如下图，各结点上放置的数如图所示.从100到300这条直线上的各数的平均数是200,平行于这条直线的每条直线上的各数的平均数都是200.所以21个数的平均数是200,总和为200 21 4200.100200 1 220 240 260 2801300【答案】4200【巩固】用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么一共要放多少根火柴？【考点】等差数列应用题【题型】解答【解析】如果把图

25、中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的三个三角形（向上的三角形2个，向下的三角形1个）看作第二层，那么这个图中一共有 10层三角形.这10层三角形每层所需火柴数就是构成上图中所有阴影三角形的边数和.自上而下依次为:3, 6, 9,，3 10 .它们成等差数列，而且首项为3,公差为3,项数为10.求火柴的总根数，就是求这个等差数列各项的和，即3 6 9 L 30 （3 30） 10 2 33 5 165（根）所以，一共要放165根火柴【答案】165【例22】盒子里放有编号19的九个球，小红先后三次从盒子中取球，每次取 3个，如 果从第二次起每次取出的球的编号的和都比上一次的多9,那么他

26、第一次取的三个球的编号为.【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】根据题意知道这九个小球的编号和为：1 2 3 LL 9 45,若想每次去球都比上一次的多9,则从数论角度来看本题就是将45拆三个数字和，并且三个数字和的公差为9,所以第一次取球为 45 9 9 2 3 6 ,所以第一次去的3个求的编 号为：1、2、3.【答案】1、2、3.【例23】小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候，和是1997,但他发现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】用x表示小明少加的

27、那个数，1997 x（1 。n2,Q。n 3994 2x ,两个 相邻的自然数的积比 3994大一些，因为（1 n） n和n2比较接近，可以先找 3994 附近的平方数，最明显的要数3600 60 60 ,而后试算两个相邻自然数的乘积61 62 3782, 62 63 3906, 63 64 4032,所以 n 63,正确的和是 2016, 少加的数为：2016 1997 19.【答案】19【例24】黑板上写有从1开始的一些连续奇数:1, 3, 5, 7, 9,，擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是 2008,那么擦去的奇数是.【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】走美

28、杯【解析】1, 3, 5, 7, L , ( 2n 1),这n个奇数之和等于n2, 452 2025 ,擦去的奇数是 2025 2008 17.【答案】17【巩固】小明住在一条胡同里.一天，他算了算这条小胡同的门牌号码.他发现，除掉他 自己家的不算，其余各门牌号码之和正好是100.请问这条小胡同一共有多少户(即有多少个门牌号码)？小明家的门牌号码是多少？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】这道题目的具体数值只有一个，所以我们要通过估算的方法解决问题！我们都知道：1 2 L 10 55,所以和在100附近的应该为114、或115, (1)1 2 L 14 105,小明家门牌号为

29、 5,共有14户人家；1 2 L 14 15 120,小明家门牌号为 20,不再115的范围，所以不符合 题意.【答案】共有14户人家；门牌号为5【例25】在51个连续的奇数1, 3, 5, L L ,101中选取k个数，使得它们的和为1949,那么k的最大值是多少？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第二大题，第 4题，10分【解析】 显然，选的数越小，可以使选出的数的个数越多。首先考虑从45个连续的奇数1, 3, 5, 7,，99中选出n个数，使它们的和不超 过 1949。由1 3 5 L 2n 1 n2 得 n2W 1949。因为452 2025 >

30、;1949,且45个奇数的和不小于 1 3 5 L 89 2025 >1949, 所以n <44o若选取44个奇数，因为偶数个奇数的和为偶数，而1949为奇数，所以不可能选取44个奇数，使得它们的和为1949。所以n <43o因为 442 1936 V 1949, 2025- 1949=76,且 76 是偶数，所以至少从1, 3, 5,，89中删除两个奇数，并使它们的和为76。如，去掉1, 3, 5,，89中的两个奇数 37和39,即选1, 3,，35, 41,， 87, 89。易验证 1 3 5 L 35 41 43 L 89 2025 76 1949。 所以n的最大值为4

31、3。【答案】43【例26】小丸子玩投放石子游戏，从 A出发走1米放1枚石子，第二次走 4米又放3枚石 子，第三次走7米再放5枚石子，再走10米放7枚石子，L照此规律最后走到 B 处放下35枚石子.问从 A到B路程有多远？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】先计算投放了多少次.由题意依次投放石子数构成的数列是：1, 3, 5, 7, L ,35.这是一个等差数列，其中首项41,公差d 2,末项an=35 ,那么 n (小a1) d 1 (35 1 2 1 18；再看投放石子每次走的路程依次组成的数 歹U： 1,4, 7, 10,这又是一个等差数列，其中首项aj 1,公差d, 3

32、,项数n 18.末 项 an, a1,(n 1 d, 1 (18 1 3 52， 其 和 为1-2-1-3.page 12 of 12Sn (ai an) n 2 (1 52) 18 2 477(米).【答案】477【例27如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色.如果最 底层有15个正方形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方 形？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中a1 1 , d 2 ,an 15,所以n(15 1 2 18,所以，白色方格数是： 1 2 3 L 8 (1&

33、 8 2 36黑色方格数是：123L7 (1 7) 7 2 28 .【答案】28【巩固】有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成如下图的图形.照这样摆下去， 到第10行为止一共用了 根火柴棒.【解析】横向：1行：1 1根；2行：1 3 3根；3行：1 3 5 5根； L10 行：1 3 5 L 17 19 19 纵向：1行：2根； 2行：2 4根； 3行：2 4 6根； L10 行：2 4 6 L 20 根总共有(1 3 5 L 17 19) 19 (2 4 6 L 2。(1 19) 10 2 19 (2 20) 10 2 100 19 110 229 (根),【答案】229【例28如图所示

34、，白色和黑色的三角形按顺序排列.当两种三角形的数量相差12个时,白色三角形有【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】中环杯，初赛【解析】根据题意可知，每个图形两种三角形的个数相差依次成数列1, 2, 3, 4, L排歹U,所以第12个图形的两种三角形的个数相差为12,这个图形的白色三角形的个数是 1 2 3 L 11 66(个).【答案】66【例29】木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888,但她重复计算了其中一个数字.问：木木重复计算了哪个数字？【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答【解析】用x表示木木多加的那个数， 888 X (1何n 2 , (1 n) n 1776 2x ，两个相邻的自然数的积是比1776小一些的一个数，先找 1776附近的平方数，1600 40 40，试算：40 41 1640, 41 42 1722 , 42 43 1806 ,所以 n 41 ,所以x (1776 41 42) 2 27 .【答案】27【巩固】奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米.已