导数中的求参数取值范围问题

1、帮你归纳总结(五)：导数中的求参数取值围问题、常见基本题型：(1)已知函数单调性，求参数的取值围，如已知函数f(x)增区间，则在此区间上导函数f (x) 0,如已知函数 f(x)减区间，则在此区间上导函数 f (x) 0。(2)已知不等式恒成立，求参数的取值围问题，可转化为求函数的最值问题。2x例1.已知a R,函数f (x) ( x ax)e . (x R, e为自然对数的底数)(1)若函数f(x)在(1,1)单调递减，求a的取值围;a的取值围；若不是，请说明(2)函数f (x)是否为R上的单调函数，若是，求出理由.、，2、-x解： (1) ； f(x) ( x ax)ef (x) ( 2x

2、 a)e-x ( x2 ax)( e-x) = x2 (a 2)x a e-x.要使f(x)在-1,1上单调递减，则f (x) 0对x ( 1,1)都成立,2.x (a 2)x a 0 对 x ( 1,1)都成立.令 g(x)2x (a 2)x a,则g( 1) 0, g(1) 0.1 (a 2) a 0 1 (a 2) a(2)若函数f (x)在R上单调递减，则f (x) 0对x R都成立即x2 (a 2)x a e-x 0对x R都成立."x _2e e 0, x(a 2)x a 0 对 x R都成立2令 g(x) x (a 2)x a,图象开口向上不可能对x R都成立若函数f

3、(x)在R上单调递减，则f (x) 0对x R都成立,即x2 (a 2)x a e-x 0对x R都成立，“ x C2, 一八，一、I e 0, x (a 2)x a 0 对 x R 都成立.",c、2 ,2( (a 2) 4a a 4 0故函数f(x)不可能在R上单调递增.综上可知，函数 f(x)不可能是R上的单调函数例2：已知函数f x alnx ax 3 a R 若函数y f(x)的图像在点(2, f(2)处的切32 / ,、m_ 、x3x2f/(x)在区间(t,3)上总不3x2 (m 4)x 2线的倾余角为45；,对于任意t 1,2,函数g X 是单调函数，求 m的取值围；解

4、：由 f/(2) a 1,a22f(x) 2ln x 2x 33 m 2/g(x) X3 (- 2)x2 2x, g/(x)2 /_ 一2 _令 g (x) 0得， (m 4)24 0故g/(x) 0两个根一正一负，即有且只有一个正根32/, 、m一函数g x x x f (x)在区间(t,3)上总不是单倜函数2g/(x) 0 在(t,3)上有且只有实数根g/(0)2 0, g/(t) 0,g/(3) 0372 .2m ,(m 4)t 2 3t 故 m 4 3t ,3t一 2、, 一 ,一 .一一 37而y 3t在t 1,2单倜减，m 9,综合得 一 m 9t313例3.已知函数f (x) I

5、n x -x1 . 44x(I )求函数f (x)的单调区间；、一 .、2 _.一一.(n )设 g(x) x 2bx 4,若对任意 x1(0,2), x21,2,不等式f(x1) g(x2)恒成立，数b的取值围.-13解：(I) f (x) In x x 一 1 的7E义域是(04 4x一2 一一、1 134x x 3f (x)27x 4 4x 4x由 x 0及 f (x) 0 得1 x 3;由 x 0及 f (x) 0得 0 x 1或 x 3,故函数f(x)的单调递增区间是(1 ,3);单调递减区间是(0,1), (3,)(II)若对任意x(0,2), X2 1,2,不等式f(x1) g(

6、x2)恒成立,问题等价于f (x)min g(x)max,由(I)可知，在(0,2)上，x 1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点,故也是最小值点，所以 f(x)min/ 、2g(x) x 2bx 4, x1, 21 时，g(x)maxg(1)2时,g(x)max2g(b) b2 时，g(x)maxg(2)4b8;b 1问题等价于122bb 212b2b 21-4b 82解得b所以实数b的取值围是142例 4.设函数 f (x) x2 mln x, h(x)的取值围;(1)当 a=0 时，f(x)> h(x)在(1, +°° )上恒成立，数 m(2)当m=2时，若

7、函数k(x)=f(x) h(x)在1,3上恰有两个不同零点，数a的值围.解：由 a=0, f(x)>h(x),可得一m1nx"x，xe (1, +8),即 mw专x记4伙)=”,则f(x)>h(x)在(1 , +8 )上恒成立等价于m<()(x)min.inxlnx- 1求得(J)'(x)= 1n 2x当 xC (1, e),(J)'(x)v0;当 xC(e, +8)时，(/(x)>0.故(J)(x)在x= e处取得极小值，也是最小值，即()(x)min=(j)(e)=e, 故 mwe.(2)函数k(x) = f(x)- h(x)在1,3上恰有

8、两个不同的零点等价于方程x- 21nx= a,在1,3上恰有两个相异实根.令 g(x) = x 2ln ,则 g(x)<12.x当 xC 1,2)时，g'(x)<0;当 xe (2,3时,g'(x)>0.，g(x)在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3上是单调递增函数.故 g(x)min = g(2)=2 2ln2.又 g(1)=1, g(3)=3-2ln3,. g(1)>g(3), 只需 g(2)vawg(3).故a的取值围是(2-ln2,3-2ln3.二、针对性练习21.已知函数f(x) x alnx.右函数g(x) f (x) 2x在1, 4上是

9、减函数，数 a的取值围。_. .2.2一a2解：由 g(x)xa ln x一，得g (x) 2x.xx x一一22、，又函数g(x) x aln x 一为1, 4上的单倜减函数。x则g (x) 0在1 , 4上恒成立，.所以不等式2x -2r 0在1, 4上恒成立.x xrr2 八 2 ,即a 2x在1, 4上恒成立。x22设(x) 2x ,显然(x)在1 , 4上为减函数,x63所以(x)的最小值为(4) 一.2, 63a的取值围是a .22.已知函数f (x) ex 1 x4x(1)若存在x 1,ln3,使a e 1 x 0成立，求a的取值围;(2)当x 0时，f(x) tx2恒成立，求1

10、的取值围.解：(1) a e 1 x,即af(x).令 f'(x) ex 1 0,x 0.'',x 0 时，f (x) 0,x 0 时，f (x) 0.f(x)在(,0)上减，在(0，)上增.4x01,ln 又3时，f(x)的最大值在区间端点处取到i1444f ( 1) e 1 1, f ln ,1 Ine3334f( 1) f ln3ln，0,441f ( 1) f ln- , f(x) 1,ln-3 在 3上最大值为e(3)由已知得x 0时,a故a的取值围是e,x 2e x 1tx0恒成立,设 g(x) ex x 1 tx2. g'(x) ex 1 2tx.

11、x由(2)知e 1 x，当且仅当x 0时等号成立， '故g x 2tx (12t)x,从而当 1 2t 0,t 1.'即 2 时，g(x) 0(x 0), g(x)为增函数，又 g(0) 0，12 t于是当x 0时，g(x) 0,即f(x) tx ,2时符合题意.1 xx由e 1 x(x 0)可得61 x(x 0),从而当2时，g'(x) ex 1 2t(e x 1) e x(ex 1)(ex 2t),'故当 x (0,ln2t)时，g(x) 0, g(x)为减函数，又 g(0) 0,2于是当 x (0,ln 2t)时，g(x) 0,即 f (x) tx ,11t 一,故 2 不符合题意.综上可得t的取值围为23.已知函数f(x)也1包,设h(x) xf (x) x ax3在(0, 2)上有极值，求a的取值围.x3解：由 h(x) x f (x) x ax 可得，.,.1.- -工 ©ax'