备战中考数学(北师大版)专题练习直角三角形的角边关系(含答案)

1、2019备战中考数学（北师大版）专题练习直角三角形的角边关系（含答案）一、单选题i1.如图在 RtABC中，C=90, AB=15 , sinA= , 则 BC 等于（）第5页/共16页1A. 45B. 5C.1*一向工A. 5B.D. 23.如图， ABC 中，C=90 ； CDA ABcSDA9A. 1B. 4D. 51c.5, 若 AC=3 , AB=4 ,贝U AD=()4D.2.如图，在平面直角坐标系中，直线 OA过点（2, 1）,则tan疝勺值是（）41口6仃的值为（A.B.C.D.15.如图，在 ABC 中，AC=8, ABC= 60, C=45, ADA BC ,垂足为 D,

2、ABC 的平 分线交AD于点E,则AE的长为（）柜A.B. 2蚯C.D. 36.在 RtMBC 中, C=90； AC=5, A=% 那么 BC 的长是（）A. 5cot anB. 5tan a5D.7.三角形在方格纸中的位置如图所示，则 tan由勺值是（）L -r -Tf r . * r tr-4-3A.45B.3C.8.因为 sin3015二,sin210,所以 sin210=sin180 +30 =-sin30 因为 sin45sin225所以sin225 =刎80 +45 =-sin45由此猜想，推理知：一般地当 a为锐角时有sin（180 +）a=-sin /由此可知：sin240）

3、iA. -B.C.-9 .如图，小颖利用一个锐角是 30。的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m, AB为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）家r 3油3A. 4mB. & m C. （5 V，2）mQ. （ + + -）m10 .三角形在正方形网格纸中的位置如图所示.则sin由勺值是（）34JA.B.C.D45.11 .如图，在 RtABC中，C=90； AB=2BC ,贝U sinB 的值为6012 .如图，P(12,a)在反比例函数 y- 图象上，PHAx轴于H,则tan POH勺值为13 .如图，在RtABC中， ACB=90 , D是AB的

4、中点，过D点作AB的垂线交 AC于点E,3BC=6 , sinA= 5 ,贝U DE=.MISSING IMAGE:,14 .如图，某公园入口原有一段台阶，其倾角BAE=30,高DE=2m,为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A,斜坡的起始点为 C,现设计斜坡BC的坡度i=1 : 5,则AC的长度是 m .更15 .若 sin a -,贝U a =. 16 .如图，等边 ABC的边长为8, D、E两点分别从顶点 B、C出发，沿边BC、CA以1个单位/s、2个单位/s的速度向顶点 C、A运动，DE的垂直平分线交 BC边于F点，若某时刻tan ACDE= 2 时，则线段 CF的长度为

5、.17 .如图，AABC的顶点是正方形网格的格点，则18 .王小勇操纵一辆遥控汽车从A处沿北偏西20m到C处，此时遥控汽车离 A处 m.219 .在 RtABC中，C=90；如果 AC=4 , sinB=* , 那么 AB=三、计算题20.已知a是锐角，且 COS（ -15)=2 ,计算-6COs -6cos a +的 0+tan -()- )-1 的值.21.计算：3sin60 - 2cos30 - tan60 ?cot45一口，4丑-口 6。22 .计算：弟严)-cot30 :四、解答题23 .高铁给我们的出行带来了极大的方便.如图，和谐号”高铁列车座椅后面的小桌板收起时，小桌板的支架的底

6、端 N与桌面顶端 M的距离MN=75cm ,且可以看作与地面垂直.展 开小桌板使桌面保持水平，ABA MN, MAB=A MNB=37 ,且支架长 BN与桌面宽 AB的0.6长度之和等于 MN的长度.求小桌板桌面的宽度 AB （结果精确到1cm,参考数据：sin37 0 cos37 ，0&n37 0.75五、综合题24 .为测山高，在点A处测得山顶D的仰角为30,从点A向山的方向前进140米到达点B, 在B处测得山顶D的仰角为60（如图4）.图G网（1）在所给的图中尺规作图：过点 D作DCA AB,交AB的延长线于点 C （保留作图痕 迹）；（2）山高DC是多少（结果保留根号形式）？25 .如

7、图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tan朗值.测量员在山坡 P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31 ,塔底B的仰角为26.6 :已知塔高BC=40米，塔所在的山高 OB=240米, OA=300米，图中的点 O、B、C、A、P在同一平面内. AD=4第9页/共16页求：(1) P至|J OC的距离.(2)山坡的坡度tan a0S5031 ,0.52137 060(参考数据 sin26.6 =,0t4526.6答案解析部分一、单选题1 .【答案】B【考点】解直角三角形BC【解析】【解答】解：sinA=M, BC=AB?si

8、nAI=15 X*二5,故选：B.BC【分析】根据锐角三角函数的概念sinA二一史，代入已知数据计算即可.2 .【答案】C【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：设（2, 1）点是B,作BCAx轴于点C.贝U OC=2 , BC=1 ,BC 1贝U tan =2 .故选C.【分析】设（2, 1）点是B,作BCx轴于点C,根据三角函数的定义即可求解.3 .【答案】B【考点】解直角三角形【解析】解答：如图， CtM AB , ADC=90,又 0=90, A0D=B （同角的余角相等） 又 A=A A , ACBA ADC ,AC _ AB 3 _4 皿IC ,即疝）39 AD= 一 .故选：B.

9、AD的分析：利用两角法证得4人0必 ADC ,然后由该相似三角形的对应边成比例来求 长度.4 .【答案】0【考点】特殊角的三角函数值.【解析】【解答】sin60 =,故答案为：0.【分析】根据特殊角的三角函数值求解。5 .【答案】0【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】 ADA B0 ADC是直角三角形， C=45； DAC=45, AD=DC, AC=8,在 RtABD 中，B=60； BD= = V = 3, BE平分 ABC, EBD=30； 哒 B 臣 DE=BD?tan30 = =3=3,A 小一芈=军 AE=AD-DE= 33 ,故答案为：C.【分析】根据等腰直角三角形边之间的

10、关系得出AD的长，在RtABD中，根据正切函数的定义由BD=En6CP得出BD的长，由DE=BD?tan30得出DE的长，再根据线段的和差， 由AE=AD -DE即可得出答案。6 .【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：SC tanA=C , AC=5 , A=% BC=5tan %故选B.【分析】利用的正切值进行计算即可.考查解直角三角形的知识；掌握和一个锐角的邻边与对边有关的三角函数值是正切值的知识是解决本题的关键.7 .【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】根据三角函数的定义就可以解决.【解答】在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边， tan故选A .【点评】本

11、题考查了锐角三角函数的定义8 .【答案】C【考点】锐角三角函数的定义，锐角三角函数的增减性【解析】【分析】阅读理解：240 =180 + 6蚓而sin240就可以转化为60 的角的三角函数值. 根据特殊角的三角函数值，就可以求解.【解答】当“为锐角时有sin (180 +”-骈 品亚 sin240 =Sin80 +607冶60 -3 .故选C.【点评】此题为阅读理解题，考查学生自主学习的能力及对特殊角度的三角函数值的运用.9 .【答案】D【考点】解直角三角形的应用3r【解析】【解答】解：过 A作ADA CE于D,S ABA BE, DEA BE, ADA CE ,四边形ABED是矩形， BE=

12、5m, AB=1.5m, AD=BE=5m, DE=AB=1.5m .在 Rt ACD中, CAD=30, AD=5m ,也沿 CD=AD?tan30 =5x3 =3 ,生 近3 CE=CD+DE= + +1.5= (& + ? ) m.第3答：这棵树高是(+ + - ) m.故答案为：D .【分析】根据题意得到四边形ABED是矩形，再由解直角三角形中正切的定义，得到CD=AD?tan30 的值，求出树高 CE=CD+DE的值.10 .【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】由图可知， ”的对边为3,邻边为4,斜边为停工=5,则sin X. 故选C.【分析】本题在网格中考查锐角的正

13、弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长.一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1.本题考查锐角三角函数的定义即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边， 余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边. 二、填空题也11 .【答案】2【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：AB=2BC, AC33GL乖 BCAC 4 EC 更 sinB=)RC = 2 .故答案为2 .【分析】利用勾股定理求出 AC的长(用BC表示)，然后根据正弦函数的定义求比值即可. 512 .【答案】【考点】锐角三角函数的定义_ 60【解析】【解答】4P (12, a)在反比例函数 3=丁图象上，60 a=

14、=5 =5, PHAx轴于 H, PH=5, OH=12,5 tan POH=2 ,5故答案为：12 .【分析】将点P (12, a)在反比例函数图象解析式，易得 P点坐标，利用三角函数性质可 5得，tan POH？.1513 .【答案】4【考点】解直角三角形【解析】【解答】 BC=6, sinA=3-5 AB=10, acT = 8第11页/共16页D是AB的中点，1 AD=）AB=5 , AD ACBDE AD 成1 ac ,DE 5即 6 1 ,15解得：DE= 4 .【分析】在 Rt ABC中，先求出 AB , AC继而得出AD ,再由 ADEA ACB利用对应边 成比例可求出DE.1

15、4.【答案】（10-2占）【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：如图，过点 B作BFCE于点F,贝U BF=DE=2m ,在 Rt ABF中, BAE=30；2-f i- AF= 1ali3 疗=3 =2丫3 （ m）,在Rt BC冲, BF: CF=1 : 5, CF=5X 2=10则 AC=CF-AF= （10-2向）m.【分析】过点B作BFA CE于点F,分别根据 BAE=30 ,斜坡BC的坡度i=1 : 5,在Rt ABF 和Rt BC冲求出AF、CF的长度，然后求出 AC的长度.15 .【答案】28【考点】计算器 一三角函数【解析】【解答】解： sin “3 =0.4714故

16、答案为：28.【分析】直接利用计算器求出a的度数即可.16 .【答案】2【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：作 EHIA BC于H,设线段DE的垂直平分线交 DE于G.再口 c ABC是等边三角形， C=60. 在 RtEHC中，EC=2t, CH=t, EH=2 出 t.在 Rt DEH中， tan CDE=*H = 2 , DH=4t. BD=t, BC=8 , t+4t+t=8, t= & , DH= &EH= & , CH= 3 . GF垂直平分线段 DE, DF=EF,设 DF=EF=x .在 RtEFH中,1614 eF=eh2+fh2 , Ax2= ( * ) 2+ ( 3

17、- x) 2 ,解得：x= 3 , ACF= 3 - 3 4+ 3 =2.故答案为：2.【分析】由题意可作辅助线，作EHIA BC于H,设线段DE的垂直平分线交 DE于G.当 tan CDE=-,运动了 t秒，DF=EF=x。贝U BD、CD、CE的长可用含t的代数式表示，BC=BD+DH +HC 可得关于t的方程，即可求得t的值，则DH、EH、CH可求解。在直角三 角形FEH中，用勾股定理可得关于 x的方程，解方程即可求解。【考点】锐角三角函数的定义连接CD.机CD + 1贝U tanA= 一 =7一=故答案是：乏.【分析】连接 CD可知，三角形 ADC为直角三角形，而 tanA为4A的对边

18、与邻边的比值, 即可求得。18.【答案】10第17页/共16页【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：如图所示：根据题意得： B=60； AB=10m , BC=20m,在 RtABD 中，AD=AB?sin60=5 (m), BD=AB?cos60 =5( m), CD=BC-BD=15 (m).在 RtCDA中，AC=:切+ 匚斤=1。 (m).故答案为:【分析】首先根据题意画出图形， 在RtABD中，利用三角函数的知识即可求得 AD与BD 的长，继而求得 CD的长，然后由勾股定理求得答案.19 .【答案】6【考点】锐角三角函数的定义2【解析】【解答】解：sinBd , AB=6.故答案是

19、：6.【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解.三、计算题.20 .【答案】解：ACOSl a -诈2 , a -15=30A , = =45 ,m -3 亚-6乂 +141-2=0则原式=【考点】特殊角的三角函数值【解析】【分析】由cos( a -15的值，根据特殊角的函数值求出a的度数，代入算式，求出式子的值. 更21.【答案】解：原式=3x2 -2x2【考点】特殊角的三角函数值【解析】【分析】把特殊角的三角函数值代入原式计算即可.乖4百=2+-=2.【考点】特殊角的三角函数值【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解.四、解答题23.【答案】解：延长 AB交MN于点D,由题意知ADA M

20、N ,设 AB=x ,贝U BN= (75-x),BD_在 Rt BDN中，sin BND=5jV , cos bnd=卧,即：sin37 = , cos 37 后 BD=45- 0.6x, DN=60 -0.8x, AD=AB+BD=0.4x+45 , MD=MN - DN=15+0.8x ,在Rt AMD中MD1540&tan MAD=，即：tan37 =口 ，解得，x=37.5 =38答：桌面宽 AB的长为38cm.【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】延长AB交MN于点D,设AB=x ,根据正弦、余弦的概念用x表示出BD、 DN,利用正切的定义计算即可.24.【答案】（1）解：如图所作 DC为所求五、综合题BDA=A DAB=30 ； DB=AB=140 （米）.在 Rt DCB=70 （米）.DC中，C=90； sin dbc=DB , DC=140sin60【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【分析】（1）首先以点D为圆心，画弧交AB于两点，再分别以这两点为圆心画弧，两弧交于一点，连接 D与交点，即可求得所作垂线；（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得ADBCS A+ADB,则 BDAm DAB=30 ,所