大纲版高中高一数学全套教案：不等式

1、第三章不等式小结：步骤：作差一变形一判断一结论第一教时教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本 性质I n。过程：一、引入新课1 .世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。2 .过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题二、几个与不等式有关的名称(例略)1. “同向不等式与异向不等式”2. “绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系(充要条件)1 .从实数与数轴上的点对应谈起a b 二 a-b 0a=b= a-b=0a b= a-b：02 .应用：例一 比较(a+3)(a5)与(a + 2)(a 4)的大小解：(取差)(a 3)

2、(a -5) - (a 2)(a -4)2_2_=(a -2a -15) -(a - 2a - 8) - -7 :二 0. (a 3)(a -5)<(a 2)(a -4)例二 已知x#0,比较(x2 +1)2与x4 +x2 +1的大小解：(取差)(x2 ,1)2-(x4 x2 1)4c 2/42,2=x 2x 1 - x - x 1=x1例二比较大小1.=和103- . 2解:=3. （. 3 , 2）2 - （.10）2 = 2, 6 - 5 = , 24 - . 25 :二 01< ,103-22. E 和小（a,bMR+）a a m解：（取差）上一口;独二回 a a m a（

3、a m）. （a, b,m R ）bbmbbm、 .当 b a a 时一 >；+ b = a 时一=；当 b< a 时aamaam1- t 1 ,3.设 a>0 且 a#1, t A 0 比较一 log a t 与 log a的大221 t 11.当 a> 1 时一 log a t < log a；当 0< a < 1 时一 loga t > loga2 22四、不等式的性质1 .性质1:如果a> b ,那么b< a ；如果b< a ,那么a> b证：:aAba-b> 0由正数的相反数是负数一（a - b）：二 0

4、b-a ：二 0 b :二 a2 .性质2:如果ab, b> c那么a>c （传递性）证：: a> b , b > ca- b> 0 , b- o 0 x#0x2 >0 从而（x2+1）2>x4+x2 +1;两个正数的和仍是正数(a - b) + (b- c)> 0b < b+ ma a mt 12（对称性）a -c 0.a c过程:一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2二、1.性质3:如果a>b,那么a+ob+c （加法单调性）反之亦然证：/ （a + c） - （b + c） = a - b > 0a+ c&g

5、t; b+ c由对称性、性质2可以表示为如果c<b且b<a那么c<a五、小结：1.不等式的概念 2, 一个充要条件3.性质1、2六、作业：P5练习 P8习题6.1 13补充题：1.若2x+4y=1 ,比较x2+y2与1的大小20从而可得移项法则：a bc= a b (-b) . c (-b)= a c- b推论：如果a a b且ca d ,那么a+ c> b+ d（相加法则）、- a b- 证：c d =2,比较 2sinu与 sin2u的大小(0<*2 二)略解：2sinr-sin2 尸2sini(1 -cosF)当日w (0时 2sin0(1 -cos6) &

6、gt; 02sine> sin2日当n(二,2二)时 2sin/1 -cosu)<02sin*sin2u推论：如果a a b且c< d ,那么a- c> b- d （相减法则）证：< c< d -c> -d_ a b=a-c b-d-c -d2,解：x=T x2+y22r=° "7、又或证：(a - c) - (b - d) = (a- b) - (c- d)3.设 a>0 且 a=1 比较 loga (a3 +1)与 log a (a2 +1)的大解：(a3 1) - (a2 1) = a2(a -1)当 0 < a

7、<1 时a3 +1 < a2 +1 loga(a3 + 1) > loga(a2 + 1)当 a >1 时 a3 +1 >a2 +1 loga(a3 +1) > loga(a2 +1),总有 loga(a3 - 1)>log a(a2 1)a bab 0c ： dc - d ： 0J二上式>02.性质4：如果a> b且c> 0,那么ac> bc；如果a> bHc< 0那么ac< bc （乘法单调性）证：ac - bc = (a - b)c, , a> b 二 a- b> 0根据同号相乘得正，异号相乘

8、得负，得:c > 0 时(a b)c a 0 即：ac> bc第二教时教材：不等式基本性质（续完）c < 0 时(a - b)c < 0 即：ac< bc推论1如果a> b> 0且c> d a 0 ,那么ac> bd (相乘法则)目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学 生清楚事物内部是具有固有规律的。、十 a b,c 0= ac bcl - ac bdc d,b 0=bc bdabc ： 0二 ab ac bc ： 04. ab > 0,| a |>| b |推论1 '（补充）如果a>b

9、>0H0<c<d ,那么a a P （相除法则） c d11证：. d >c>0 c >d>0>n a>-a b 0 c dJ推论2如果abA0,那么an > bn （nN且n > 1）3.性质 5:如果 a > b > 0 ,那么 x'a > Vb （n w N且n > 1） 证：（反证法）假设na <n.b,1J J = ab bc ca abc abcabc1 , 1 ,比较-与-的大小a b11 b - a解：一一一=当 a a 0,b a 0 时 : | a 卜| b | 即 a

10、a ba b abb-a -.11b a < 0 ab > 0 -<0 一<一aba b当 a < 0,b < 0 时,| a |>| b | 即a < b则:n,a :二n-.b=Vb=a < b这都与a > b矛盾a = b三、小结：五个性质及其推论口答P8练习1、2 习题6.1 4四、作业 P8练习3 习题6.1 5、6五、供选用的例题（或作业）e e1.已知 a >b >0 , c<d<0, e<0,求证：>a - c b - d11、 a b 0:二 e ea-rb-d 0= a -c b

11、 -d =c ：二 d ：二 0e 0a - c b - db - a11b-a>0 ab>0 .-ba > 0.">aba bb5.右 a,b0 求证：>1u b > aa- b , b - a斛：一一1=> 0 a> 0 b- a > 0 . a< ba ab-ab ,八 b ,ba= b- a > 0. a > 0 .=一1>0 . .一>1aaalog sin 10gsin”.6. 右 aAbA0,ccdc0 求证： >a - c b - d证：: 0 ：二 sin： ：1 二>1

12、 . . logsin：.二：二 0一.一 一，、11 一 2.右a,bR,求不等式a >b,a-同时成立的条件 a b1 1 _ b -a解：a b ab 二 ab : 0a b = b - a ： 0X -' a > b > 0,-c> -d > 0aobda- c b- d;原式成立3.设 a,b,c R ,a b c = 0, abc : 0,111求证一一 一 0abc第三教时证：a b c = 0a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc = 0教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推

13、导过程。过程:又abc 0 二 a2 +b2 +c2 >0 二 ab + ac + bc< 0指出:、定理：如果a,bw R,那么a2 +b222ab （当且仅当a = b时取“二”这里a,b,cw R = a+b+c< 0就不能保证222证明：a b -2ab = (a -b)推论:当 a=b 时,(ab)2 =0：当a # b时,(a -b)2 >0'=a2 b2 _ 2ab证明:如果 a,b, cw r+,那么b一c 之 3 abc3（当且仅当a=b=c时取“二”(3 a)3(3b)3(3c)3_ 33a 3 b 3 c= a b c_33abc1 .指出

14、定理适用范围：a,bWR2 .强调取“二”的条件a = b、定理：如果a,b是正数，那么亘至之&E （当且仅当a = b时取2abc 3 - .abc3四、关于“平均数”的概念1.如果 a1,a2，anw +,门>1且门亡 N'J®:证明：(4万)2+(Jb)2 之 2J06/.a+b >2vabai a2 n目叫做这n个正数的算术平均数n'a1a2”, an叫做这n个正数的几何平均数2 .点题：算术平均数与几何平均数即： a一b之Vab当且仅当 a = b时 b = V ab22注意：1 .这个定理适用的范围：aWR2 .语言表述：两个正数的算术

15、平均数不小于它们的几何平均数。 三、推广：3 .基本不等式:定理：如果 a,b, ce R*,那么 a3 +b3 +c3 之 3abc（当且仅当a = b = c时取证明：a3 b3 c3 -3abc = (a b)3 c3 - 3a2b -3ab2 - 3abc这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略） 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4.亘口之鼐的几何解释：2二(a b c)( a b)2 -(a b)c c2 -3ab(a b c).222_=(a b , c)a 2ab b -ac-bc c -3ab二(a b c)(a2 b2 c2 - ab - b

16、c - ca)从而CD = ab以a+b为直径作圆，在直径AB上取一点C,过 C 作弦 DDAB 贝U CD 2 = CA CB = ab1222(a b c)( a -b) (b - c) (c - a) 2而半径且一b _ CD = . ab2a,b,ce R+. .上式 >0 从而 a3+b3 + c3 主3abc五、例一已知a,b, c为两两不相等的实数，求证： a2 + b2 + c2 > ab+bc+ca加权平均；算术平均；几何平均；调和平均证：a2 b2 . 2ab b2 =c2 . 2bc c2 a2 2ca以上三式相加：2(a2 b2 c2) . 2ab 2bc

17、2ca证：T)2222222x y 2xy x y x y22-y-之二即：Q(x, y)之A(x, y)(俗称幕平均不等式) 22由平均不等式A(x, y). G(x,y)六、小结：算术平均数、几何平均数的概念基本不等式(即平均不等式)七、作业：P11-12练习1、2 P12习题5.2 1-32.补充：1.已知6<a<8,2<b<3,分别求a + b,ab,a的范围 b(8,11) (3,6) (2,4)xWR试比较 2x4+1 与2x3+x2 (作差 2x4 +1>2x3+x2H (x, y) = -2y E-2X =%：石=G(x,y)即：G(x,y)之 H

18、 (x, y)x V2、xy综上所述：Q(x, y) , A(x, y) , G(x, y) H (x, y)3.求证： a2 b2. b2 c2c2 a2 _ . 2(a b c)1 21 2例一、右 a + b = 1,a,b R 求证(a + )+ (b+) > ab证: f I f222 2.22222, 2. a b (ab) b c(b c) c a(ca)222证：由幕平均不等式:1 21 2(a -) (b b) -三式相加化简即得第四教时a b(1 二二 a2四、极值定理)2a(3 - -)2a b2(a - a2(3 2)2一 22522521 2 b -)b教材：极

19、值定理目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。过程：二、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式已知x,y都是正数，求证:1 "如果积xy是定值p ,那么当x = y时和x+ y有最小值27 P1 O2如果和x+y是止值s,那么当x= y时积xy有取大值-s 422x Vx V一、右 x,y = R，设 Q(x,y)=J2A(x,y)=2 G(x,y) = qxy证：x, y = RH(x, y)=彳2,、一j-求证：Q(x, y)A(x, y)之G(x, y)之 H (x, y) + y俨当xy= p (定值)时,上式当x = y时取x y2x

20、y2一 xy当 x = y 时有(x+ y) min = 2/ p427)34272口当 x + y=s (定值)时，Jxyxy <1s219.上式当 x = y时取 =.当x = y时有(xy)max =一 s4注意强调：1限值的含义(” 二”取最小值，取最大值)2 口用极值定理求最值的三个必要条件：一 “正”、二“定”、三“相等”五、例题1 .证明下列各题：(1) lgx log x 10 -2 (x . 1)证：x >11g x >0 log x 10 > 0于是 lgx 10gx 10 -2,1g xlgx 10 =2若上题改成0 < x < 1 ,

21、结果将如何？解：: 0 : x :： 1 lg x :二 0 log x10 :二 0于是(-lgx) (-logx10) -2从而 lg x log x 10 - -21右a+b=1 则abW-4解：若a,b w R +则显然有0<ab W14x 彳1 x 42右a,b异方或一个为0贝UabM0 ab <42.求函数y =x2(1 -x)的最大值(0 <x父1)求函数y =x(1 x2)的最大值(0 <x <1)x2 .解：< 0<x<11 -x>0 .二当一=1 一*即 x=时 3)=即 x =一时 ymax3273: 0cx<1

22、.-.0<1-x2<1 y2 = x2(1 x2)2 =12x2 (1 x2)(1 x2)21 2x2 (1 - x2) (1 - x2)- 2(3I-22-1 y2 吏日寸 2_ 4 2 2x I x , x Uy max -3273.若x>-1,则x为何值时x +，有最小值，最小值为几?x 11 一解：x> -1 . . x + 1 A 0 > 0x 1111=x 1 -1-2, (x 1)1 = 2- 1 = 1x 1x 1; x 1一 .i1 一一一1当且仅当x + 1=即x=0时(x +) min =1x 1x 1六、小结：1.四大平均值之间的关系及其证

23、明2.极值定理及三要素七、作业：P12练习3、4 习题6.2 4、5、6补充：下列函数中x取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少?1 -11 y = x(2 3x)x =时 ymax = ；3312 y = 1 - 4x x = 1, ymin - -25- 4xI一.3. 63 x<0时 y = 1 2x x = ,ymin = 1 +、'6 x2第五教时教材：极值定理的应用目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。过程：八、复习：基本不等式、极值定理3九、例题：1.求函数y=2x2 +±,(x >0)的最大值，下列解法是否正

24、确？为 x什么？解一：y =2x2 3 2x2 - - _ 33 2x2 1 2 =33 4 xx x ' x x-3 -；ymin =33 4解二：y =2x2 +- >2r2x2 - =2可辰当 2x2 = ? 即 x =H2 时xxx 2!3ymin =2： 612 = 2 33 12 = 26 3242答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“二”，即不存在x使得9122x =一；解二错在2v6x不是止值(吊数)x x正确的解法是：232332 3393 3 y =2x =2x 一 33 2x333 36x2x 2x . 2x 2x 122c3 cc当且仅当2x2 =3即

25、x=时ymin =33/362x 2222,若-4<x<1,求x 2x 2的最值2x -2解：x2-2x 2 J2x- 2从而-(x- 1) 即(T-(x-1)jx-12x-12- (x-1)1.一(x 1) . 0 10-(x-1)-(x-1)x2 -2x 2、 d)=-1min2x - 2解：;11_2 -(x-1) -< -12-(x-1)2R+且x2+： = 1,求xj1+y2的最大值2 c 2,1 y2、x > 0x 1 十 y = 4 2 J x 弓 +力)"El)=(x2三十累:21 3x 1 y2 <、. 2():2 2即(x. 1 y2

26、)3、, 2max3、. 24,已知a,b,x, yw R+且且+2=1,求x+y的最小值x y解：x y = (x y) 1 = (x y)( ) = a b -ay -xb x yx yiay xb , 仆2-a b 2( , a b):x ya,b,m都是正数，并且 a<b, b + m > 0 , b- a > 0当且仅当曳=独即2但时(x + y* =(« +«)2 x y y 、b十、关于应用题1 . P11例(即本章开头提出的问题)(略)2 .将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角(四个全等的正方形)， 作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪

27、去的小正方形的边长为多 少？最大容积是多少？ 解：设剪去的小正方形的边长为x则其容积为 V =x(a-2x)2,(0 ： x ： a) 21V 4x (a -2x) (a -2x) 41 4x (a -2x) (a -2x) 32a373-五当且仅当4x=a-2xiPx=-时取“二”6即当剪去的小正方形的边长为 反时，铁盒的容积为过 627一、 作业：P12练习4 习题6.2 7 补充：1 .求下列函数的最值：2 4.1 y =2x , (x R ) (min=6) x一2a . 2a2 y = x( a - 2x) , (0 ： x ) (max =)2272. 1 °x >

28、0时求y =9+3x2的最小值，y = g+3x的最小值(9,93A4) xx2一、r 1,、x2 设 x c -,27,求 y = log 3 log 3(3x)的取大值(5) 92742 33,右 0<xc1,求 y = x (1 - x )的取大值(一，x =)273114口右x, yWR 且 2x+y = 1,求一 +的取小值(3+2i； 2)x y.一13 .右ab0,求证：a+的取小值为3b(a - b)4 .制作一个容积为16兀m3的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？(不计加工时的损耗及接缝用料)(R = 2m,h = 4m)第六教时教材：不等式

29、证明一(比较法)目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一一一比 较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。过程：一、复习：1 .不等式的一个等价命题2 .比较法之一(作差法)步骤：作差一一变形一一判断一一结论二、作差法：(P13-14)1,求证：x2 + 3 > 3x、一2O3 O 3 O3 O 3证：.(x + 3) - 3x = x -3x (-) - (- ) 3 = (x - -) - 02224x2 + 3 > 3x2 .已知a, b, m都是正数，并且a < b,求证：m >-b m b、十 a m a b(a m) - a

30、(b m) m(b - a)证：-一=b m b b(b m) b(b m)m(b -a) 0 b(b m)即:变式：若a > b,结果会怎样？若没有“ a < b”这个条件，应如何判断？3 .已知a, b都是正数，并且a*b,求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )=a3 (a2 - b2 ) -b3 (a2 一 b2) = (a2 一 b2 ) (a3 一 b3)=(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) a, b 都是正数，.二

31、a + b, a2 + ab + b2 > 0X -' a b, (ab)2 > 0 .(a + b)(a -b)2(a2 + ab + b2) > 0即：a5 + b5 > a2b3 + a3b24 .甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度 n行走；有一半路程乙以速度 m行走, 另一半路程以速度n行走，如果m卉n,问：甲乙两人谁先到达指定 地点？解：设从出发地到指定地点的路程为 S,甲乙两人走完全程所需时间分别是tl, t2,t.t.SS则：tlm+tln=s, a+R=t2 可得:222m 2n2sm nt2S(m

32、 n)2mn_ _2_2,x x 2SS(mn) S4mn。(mn) S(mn), , ti - t2 二一 " 二 '二一''m n 2mn 2( m n)mn 2mn(m n)S m, n都是正数，且 m#n, ti -12 < 0 即：ti < t2 从而：甲先到到达指定地点。变式：若m = n,结果会怎样？、作商法a力5.设 a, b e R+,求证：aabb 之(ab) 2 2 abbaa ba_b b_aa-b证：作商：二 ab=(-)- a b(ab) =a_b当a = b时，(刍)丁 =1ba_ba a ba -2-当 a >

33、 b > 0 时，>1, > 0, (-) 2 >1b 2ba-baa ba 2当 b > a > 0 时，0<<1, <0, (-)2 >1b 2ba-b. aabb之(ab)丁 (其余部分布置作业)作商法步骤与作差法同，不过最后是与 1比较。四、小结：作差、作商五、作业：P15练习P18 习题 6.3 14第七教时教材：不等式证明二(比较法、综合法)目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。过程：二、比较法：a)复习：比较法，依据、步骤比商法，依据、步骤、适用题型b)例一、证明：丫=2、2口

34、-3在2,收)是增函数。为2 -4为-3证：设 2<X1<X2,则 V j = 2x=2 -Vi0 , X2 xi > 0, xi + x2 - 4 > 02 =1V22又yi > 0, . .yi > y2 . y = 2在2,+)是增函数、综合法：定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证 明的不等式，这个证明方法叫综合法。i. 已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc证：b2 + c2 > 2bc , a > 0 , a(b2 +

35、 c2) > 2abc同理：b(c2 + a2) > 2abc , c(a2 + b2) > 2abca(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abcii. 设 a, b, c R R,jf1 咏证：、a2+b2 之二'(a + b) 22米证：Va2 +b2 +db2 +c2 + Jc2 +a2 "2(a + b + c)ii3方 a + b = i

36、,求证：q a + + b + < 2 22222.2证：i-a)20.Ja耳W户山22,22222. 2. .a2 b2 (a b) I f J 一一 oo.2oo-.22 同理：b b +c 至(b+c), Vc + a 至(c + a) 22iii.三式相加：,a2 - b23 口由幕平均不等式:222.b2 c2, c2i i(a+2)+(b+2)a2 _ , 2(a b c)(a b i) 2ia , b, c= R,求证：i (a + b+c)( a2 (a b c)( i i i i证：i 口法一：a + b+ c之3； abc , 十 一十一之帮,两式相乘即得。a b c

37、abc、不一田 abc abc abc法一：左边=- -2°v-3 (a b)(b c)(c a) 2*N(a+b)(b+c)(c+a)两式相乘即得3n 由上题：(a+b+c)(.i i -a- i ba b b c即：上上，、小结：综合法四、作业：P1516练习 1, 2P18 习题 6.3 1, 2, 321已知a, b R+H a b,求证：（且十 bb"2"2()2 - a2b1 (取差)2.3.已知a, bR+,求证：（），3,3a b22设o(w R, x, y= R,求证：x a y "<x+y (取冏)证：. a, b三 R+(a-

38、 b)2 > 0. . a2 - ab + b2 之 ab3322、 a b = (a b)(a - ab b ) _ ab(a b)3(a3 b3) _ 3ab(a b)4(a3 b3) - a3 3ab(a b) b3 = (a b)34.)3m3-3a b设 a>0, b>0,且 a + b = 11 21 2,求证：(a ) (b )-ab25证：.ab1 21 2.m) 兰11a十一十b十一二2'1+A±bab2ab2225补充:教材:不等式证明三（分析法）第八教时目的:过程:要求学生学会用分析法证明不等式。证二：（综合法）2 22、36622/2

39、2、663 3(x y ); x y 3x y (x y ); x y 6x y663333 2x y 2x y = (x y )介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充 分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。展开得:ab bc ca =例一、求证：.3,7 : 2 . 5证：= J3 + <7 > Q 2 J5 > 0综合法：II I 只需证明：(73+")1 (x2 y2)2 (x3 y3)3 <(2j5)2/2I < 25I I I 展开得： 10 +2721 <20.扬15I i 4即：2721 &l

40、t;10221 410I IIIV21 <510+2V21 <20I I I即： 21 < 25 (显然成立)a bj;3 +<7)2 <(2v'5)211例二、设 x > 0, y > 0,证明不等式：（x2 y2）万.（x3 y3V11x > 0, y > 0, (x2 + y2)2 > (x3 + y3)3例三、已知：a + b + c = 0,求证：ab + bc + ca< 0证一：(综合法)= a + b + c = 0 . . (a + b + c)2 = 0ab + bc + ca < 0证二：(分

41、析法)要证 ab + bc + ca < 0 a + b + c = 0 故只需证 ab + bc + ca < (a + b + c)2即证：a2 b2 c2 ab bc ca - 01222即：一(a + b) +(b + c) +(c+a)之 0 (显然)2;原式成立证三：a + b + c = 0- c = a + bab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab - (a + b)2 = - a2- b2 -ab号2证一：（分析法）所证不等式即：（x2 + y2）3 a （x3 + y3）2周长为1的正方形边长为-4截面积为-4即： x6 y6 3x2

42、 y2 (x2 y2) x6 y6 2x3y322223 3即：3x y (x y ) 2x y c c 2只需证：x y - xy 3.222x + y 之 2xy >-xy 成乂例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面 （指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方 形的水管流量大。证：设截面周长为1,则周长为 l的圆的半径为 ,截面积为2 二问题只需证：二-L > L2 二4即证：工（4 二 16两边同乘之，得：-l二 4因此只需证：4 > n （显然成立）> > -；也可用比较法（取商）证，也不困难。12 s44J三、作业：P

43、18练习13及 习题6.3余下部分补充作业：01 .已知 0 < 8 < 兀，证明：2sin2BMcot 21 cos 二略证：只需证：4 sin 0 cos 6 < < 0 < 日 < n sin0 > 0sin 二故只需证:4sin2 ucos >；1 cos -即证：4（1 + cos0）（1 -cosQ） cos0 < 1 +cos0 / 1 + cos9 > 0只需证：4（1 - cos ） cos 二 <1即只需证：4cos2 l - 4cos 1 , 1 ：二 0即：（2cos6-1）2 >0（成立）2 .已

44、知 a > b > 0, 8为锐角，求证：asecH -btanB 之da2-b2略证：只需证：（asec,二-b tan）2 - a2 - b2即：a2 tan2 9+b2 sec82 2abtan BsecB = （atanH bsecH）2 2 0 （成立）教材:目的:3 .设a, b, c是的 ABC 三边，S是三角形的面积，求证：c2 -a2-b2 4ab_ 4, 3S略证：正弦、余弦定理代入得：-2abcosC+4ab2 2j3absinC即证：2- cosC _ 2, 3sinC 即： 3sin C cosC < 2 即证：sin(C+-)< 1 (成立)

45、6第九教时不等式证明四（换元法）增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证 明问题。过程：四、提出课题：（换元法）五、三角换元：例一、求证：一二M x、. 1 - x2 _122证一：（综合法）2222|x .1- x |=|x|，1- x = . X (1- x ) M .11 Ix2 (1- x2)2即：|xM1-x2|W-< xv 1- x2 - 222证二：(换元法).,1ExE1 .令 x = cos ,日W0,叫1 .贝U x L x = cos - sin -二一 sin 2f21 1 1Wsin6W1. Wxv1 x W 2211例二、已知 x >

46、 0 , y > 0, 2x + y = 1,求证：一+3+2,2 x y一 一元 - .一，. 0< 6 < , .0 < sin0 < 12、一 11 '2x yl -11l证一： 一十 (2x + y) =3 + +-23+ 272 即：一+ >3 + 272 x yy xx y122证一：由 x > 0 , y > 0, 2x + y = 1 ,可设 x = Sin a, y = cos a112199贝U = 2- 2- 二 2(1 cot ： ) (1 tan 二)x y sin : cos ;=3 (2cot2 : tan2

47、 : ) _ 3 2,2例三：若 x2 十 y2 W1 ,求证：| x2 +2xy - y2 |< <2证：& x = r sin a, y = r cosa, (0 < r < 1),贝U | x2 2xy -y21 =| r2 cos2 工 1例K:证明：右 a > 0,则 a ：-2 - 2 - a 2 ， aa 2r2 cos-：sin 二 一 r2 sin2 二：|nr 12 .-. U2一 n'】一匚 2 一匚=r | cos2a +sin2a |< V2r cos 2a - - I < V2r < V2I 4 ),2

48、 .2 .1 tan r sec .2二 sin 二sec s seci tan ?,1 j f 1 V 111 0 < a a '= | J b 十一=r I < 1a 1 a a 八. b小结：若 0<x< 1,则可令 x = sin9 (0< 9 <)m£ x = sin2e, 冗一一冗、(W 8三一)022若 x2 + y2 = 1 ,则可令 x = cos0 , y = sin9 (0< 0 < 2n： )0 若 x2 - y2 = 1 ,则可令 x = sec, y = tan9 (0< 8 M 2n )。若

49、x>1,则可令 x = sec (0< e <- )02若 xw R,则可令 x = tan日(-< 0 < )022六、代数换元：例四：若 x > 1, y > 1,求证： xy - 1 , (x -1)(y -1)22 :证：设 x = sec : , y = sec ', (0 :二：，-：)2贝U1. (x -1)( y -1) =1 tan 二 tan := cos() 1r = xycos .scos : cos 二:cos :例五：已知：a > 1, b > 0 , a-b = 1,求证：1厂厂1 Y厂1 70 <

50、;- Ma -kb +=l<1a . a . b证：a > 1, b > 0 , a - b = 1不妨设2 .2 ,. ”a =sec 耳 b =tan ， (0 :)211 丫 k , 111 (目 1 丫，0 . 1 1贝U va 一下 II vb +下 1=2 . sec8一 tan日 +alVa 人 Vb j sec H <sec6 人tan 9 J121证：设 x = a , y = a 2, (a . 0, x _ 2, y _ . 2) aa2 2则 x2_y2= a + 二 | _|Ja2+4! =2I aj Va2 1 o 1x+y = a + -+

51、Ja +1之 2 + 42 (当 a = 1 时取 =)aa2-2即y_J2之x - 2.原式成立七、小结：还有诸如“均值换元” “设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进1 < m < 2即原式成立步学习。八、作业:例二、当 n > 2 时，求证：logn(n- 1)logn(n + 1)< 1证：n > 2 - log n (n -1) 0, log n (n 1) 0221.右 a +b =1, 求证： asinx + bcosx <12.若|a| < 1, |b| <1,贝U |ab_ . (1-a2)(1-b2) |工1logn(n-1)

52、logn(n 1) . . logn(n- 1)logn(n 1)：二logn(n2 - 1) 223.若|x|<1,求证：(1 x)n (1 一x)n< 2nlog n n22二14.若 a > 1, b > 0 , a - b = 1,求证:0：a.1,b 1<1 n > 2 时,logn(n 1)logn(n + 1)< 15.例三、求证:12223219:二2 n6.已知 |at 1, |b|<1,求证：|a1b2 bj1 a2 怪 1证：口 :二n第十教时n(n-1) n-1 n教材：不等式证明五（放缩法、反证法）目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。过程：九、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法 提出课题：放缩法与反证法十、放缩法：例一、若 a, b, c, deR+,求证：,2八2 八2123111<11-2 2 3n 112-二 2n. ab1 :二证：记m =a- ：2 c