矩形菱形正方形

1、第 25 课时矩形、菱形、正方形一、【教学目标 】1、掌握矩形、菱形、正方形的概念及它们与平行四边形之间的关系；2、掌握矩形、菱形、正方形的性质及判定；二、【重点难点 】重点：矩形、菱形、正方形的性质及判定难点：矩形、菱形、正方形的判定三、【主要考点 】（一）、矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.（ 1）具有平行四边形的所有性质；（ 2）矩形的四个角都是直角；性质（ 3）矩形的对角线互相平分且相等；（ 4）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形.（ 1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）；判定（ 2）有三个角是直角的四边形是矩形；（ 3）对角线相等的平行四边形是矩形.（ 1）矩形的

2、两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形；拓展（ 2）矩形的面积长×宽 .（二）、菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（ 1）具有平行四边形的所有性质；（ 2）菱形的四条边都相等；性质（ 3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（ 4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形.（ 1）有一组邻边相等的平行四边形是矩形（定义）；判定（ 2）四条边都相等的四边形是菱形；（ 3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（ 1）菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形；拓展（ 2）菱形的面积底×高两条对角线乘积的一半.（三）、正方形定义有一组邻边相等，且

3、有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.（ 1）具有平行四边形的所有性质；（ 2）正方形的四边都相等；性质（ 3）正方形的四个角都是直角；（ 4）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；（ 5）正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.（ 1）有一组邻边相等， 且有一个角是直角的平行四边形是正方形（定义）.判定（ 2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（ 3）有一个角是直角的菱形是正方形.（ 1）正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形；拓展（ 2）正方形的面积等于边长的平方.1四、【经典题型 】【 25-1A 】如图 25-1，四边形 ABCD 的对角线AC、BD 交

4、于点 O，已知 O 是 AC 的中点，AE=CF ， DF BE（ 1）求证： BOE DOF ；（ 2）若 OD = 1 AC，则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请证明2你的结论图25 1（ 1）证明： DF BE， FDO = EBO， DFO = BEO .O 为 AC 的中点， OA=OC. AE=CF ， OA AE=OC CF ，即 OE=OF .FDO，EBO在 BOE 和 DOF 中，DFO， BOE DOF （ AAS） .BEOOE OF.（ 2）解： 若 OD = 1 AC，则四边形 ABCD 是矩形 . 2理由如下：证明：BOE DOF ， OB=OD，又 OA=O

5、C，四边形 ABCD 是平行四边形 .OD= 1AC，OD=1BD ， BD=AC，平行四边形ABCD 是矩形22温馨提示： 证明一个四边形是矩形的基本思路：（ 1）若四边形是平行四边形或可证为平行四边形，则再证一个角是直角或对角线相等；（ 2）若直角较多，可证三个角是直角.【 25-2B 】如图 25-2，在 ABC 中， D 、E 分别是 AB 、AC 的中点，过点 E 作 EF AB，交 BC于点 F（ 1）求证：四边形DBFE 是平行四边形；（ 2）当 ABC 满足什么条件时，四边形DBFE 是菱形？为什么？（ 1）证明： D 、E 分别是 AB、 AC 的中点， DE 是 ABC 的

6、中位线， DE BC.又 EF AB，四边形 DBFE 是平行四边形 .图25 2（ 2）解： 当 AB=BC 时，四边形 DBFE 是菱形理由如下：D 是 AB 的中点， BD= 1 AB.2 DE 是 ABC 的中位线， DE = 1 BC.2 AB=BC， BD=DE .又四边形DBFE 是平行四边形，四边形DBFE 是菱形温馨提示： 证明一个四边形是菱形的基本思路：（1）若四边形是平行四边形或可证为平行四边形， 则再证一组邻边相等或对角线互相垂直；（ 2）若相等的边较多 （或容易证出） 时，可证四条边相等.【 25-3B 】如图 25-3，已知在 ABC 中，AB AC，D 为 BC

7、边的中点，过点 D 作 DE AB，DF AC，垂足分别为E、F .（ 1）求证： BED CFD .（ 2）若 A 90°，求证：四边形 DFAE 是正方形证明：（ 1） DE AB， DF AC， BED CFD 90°.2图253 ABAC ， B C. D 是 BC 的中点， BD CD . BED CFD .（ 2） AED AFD A90°，四边形 DFAE 是矩形 . 由 BED CFD ，得 DE DF . 四边形 DFAE 为正方形温馨提示： 证明一个四边形是正方形可按以下两步进行：（ 1）先证明它是矩形， （ 2）再证明有一组邻边相等；或（ 1

8、）先证明它是菱形， （2）再证明有一个角是直角 .五、【点击教材 】【 25-4A 】（八下 P74）如图 25-4，在正方形 ABCD 的外侧作等边 ADE，求 AEB 的度数 .解： 四边形 ABCD 为正方形， ADE 为等边三角形， AB=BC=CD =AD =AE=DE ， BAD =90°， DAE =60°， BAE= BAD +DAE =90°+60°=150°，又 AB=AE， AEB= 180 150图25 4=15 °2【 25-5B 】（八下 P63）如图 25-5，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于

9、点 O， AOB 60°， AB 2， AC 4，求 ABCD 的面积 .解： 四边形 ABCD 是平行四边形，AC=4， OA= 1 AC =2，2又 AB=2 ， OA=AB ，又 AOB 60°， AOB 是等边三角形， OA=OB，又 OA= 1 AC ，OB= 1 BD ，22图255 AC=BD， ABCD 是矩形， ABC 90°，在 Rt ABC 中， AB=2，AC=4 ， BC=AC 2AB242222 3 ， ABCD 的面积 =AB BC=2× 2 3 =4 4.【 25-6B 】（八下 P71）如图 25-6 ， ABCD 的两

10、条对角线相交于点O， OA=3 ，OB=2 ，AB=13 .（ 1） AOB 是直角三角形吗？为什么？（ 2） ABCD 是菱形吗？为什么？解：（1 ）在 AOB 中，图25622222213 =13， OA+OB =3 +2 =13，AB = OA2+OB2= AB2， AOB 是直角三角形，且 AOB=90 °.（ 2） AOB=90°， ACBD，又四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABCD 是菱形六、【链接 中考 】【 25-7B 】（ 2015?娄底）如图 25-7，在 RtABC 中， ACB=90°，以点 A 为圆心， AC为半径，作 A，交 AB

11、 于点 D，交 CA 的延长线于点 E，过点 E 作 AB 的平行线 EF 交 A 于点 F，连接 AF，BF，DF （1）求证： ABC ABF ；（2）当 CAB 等于多少度时，四边形ADFE 为菱形？请给予证明3图257（ 1）证明： EF AB， E= CAB， EFA= FAB ，又 AE=AF ， E= EFA， FAB= CAB，AFAC在 ABC 和 ABF 中，FABCAB ， ABC ABF ；ABAB（2）解：当 CAB=60°时，四边形ADFE 为菱形证明： CAB=60°， E= EFA=60°， AEF 是等边三角形， EF=AE，又

12、AE=AD， EF = AD，又 EF AD ，四边形 ADFE 是平行四边形，又 EF=AE，四边形 ADFE 是菱形【 25-8C】（2015?甘南州） 如图 25-8 中的图 1，在 ABC 和 EDC 中，AC=CE=CB=CD ； ACB = DCE =90°， AB 与 CE 交于 F， ED 与 AB，BC，分别交于 M， H（1）求证： CF=CH；（ 2）如图 25-8 中的图 2， ABC 不动，将 EDC 绕点 C 旋转到 BCE= 45°时，试判断四边形 ACDM 是什么四边形？并证明你的结论图258（ 1）证明： AC=CE=CB=CD ， ACB

13、= ECD=90°， A= B= D = E=45°BE在 BCF 和 ECH 中，BCEC， BCF ECH （ASA）， CF =CH ；BCEECH（2）解：四边形 ACDM 是菱形证明： ACB= DCE=90°， BCE=45°， 1=2=45° ACD = 1+BCE+ 2=45° 45°45°=135°，又 A= D=45°， ACD A=180°， ACD D=180°，AMCD，ACDM，四边形 ACDM 是平行四边形又 AC=CD，四边形ACDM 是菱形七

14、、【课时检测 】（一）、选择题 : （时量： 8 分钟，满分： 24 分，每小题3 分）【 25-9A 】菱形的两条对角线长分别是6 和 8，则此菱形的边长是（）A10B8C6D5【 25-10A 】如图 25-10 ，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， ACB=30°，则 AOB 的大小为（）A 30°B 60C 90D 1204图2510图2512图2514图2516【 25-11A 】平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A 对角线互相平分B对角线互相垂直C对角线相等D对角线互相垂直且相等【 25-12A 】如图 25-12，菱形 ABCD

15、 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为28，则 OH 的长等于（）A3.5B4C7D14【 25-13A 】已知四边形 ABCD 是平行四边形， 再从 AB=BC， ABC=90 °， AC=BD，AC BD 四个条件中， 选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形， 现有下列四种选法，其中错误的是（）A选B 选C选D选【 25-14A 】（ 2015?益阳）如图 25-14，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，以下说法错误的是（）A ABC=90°B AC=BDCOA=OBD OA=AD【 25-1

16、5A 】（ 2015?泸州）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A 两组对边分别平行B两组对角分别相等C对角线互相平分D对角线互相垂直【 25-16A 】（ 2015?黔西南州）如图 25-16 ，在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，AC=8，BD =6，则菱形的边长AB 等于（）A10B 7C 6D 5（二）、填空题 : （时量： 16分钟，满分： 24 分，每小题3 分）【 25-17A 】如图 25-17，菱形ABCD 中， A=60°，BD =7，则菱形 ABCD 的周长为图2517图2518图2519【 25-18A 】如图 25-18，要使平行四边形AB

17、CD 是矩形，则应添加的条件是（只填一个）【 25-19B 】（ 2015?黑龙江）如图 25-19，菱形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 _ ，使四边形 ABCD 是正方形（填一个即可）【 25-20A 】（ 2015?甘孜州）若矩形ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程x2-7x+12=0的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为_.【 25-21B 】（2015?攀枝花）如图 25-21，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 矩形 OABC 中， A（ 10， 0），C（ 0，4）， D 为 OA 的中点， P 为 BC 边上一点若

18、POD 为等腰三角形，则所有满足条件的点 P 的坐标为 _.5图2521图2523图2524【 25-22A 】（ 2015?湘潭）已知菱形 ABCD 的面积为 24cm2，若对角线 AC=6cm ，则这个菱形的边长为 _cm.【 25-23B 】（ 2015?凉山州）菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图25-23 所示，顶点 B（ 2，0）， DOB=60°，点 P 是对角线 OC 上一个动点， E（ 0， -1），当 EP+BP 最短时，点 P 的坐标为 _.【 25-24A 】（ 2015?南宁）如图 25-24 ，在正方形 ABCD 的外侧， 作等边 ADE ，则 B

19、ED的度数是 _.（三）、解答题：（时量： 35 分钟，满分：36 分，每小题9 分）【 25-25A 】如图 25-25 ，已知点E、F 在四边形ABCD 的对角线延长线上，AE=CF ，DE BF， 1= 2（ 1）求证： AED CFB；（ 2）若 AD CD，四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由图25 25【 25-26A 】如图 25-26 ，在四边形 ABCD 中， AB =AD ，BC=DC ， AC、 BD 相交于点 O，点 E 在 AO 上，且 OE=OC（ 1）求证： 1= 2；（ 2）连结 BE、 DE，判断四边形 BCDE 的形状，并说明理由图2526【 25

20、-27B 】已知：如图 25-27 ，在 ABC 中， AB=AC，AD BC ，垂足为点 D ，AN 是ABC 外角 CAM 的平分线， CEAN，垂足为点E，（ 1）求证：四边形ADCE 为矩形；（ 2）当 ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明6图2527【 25-28C】如图 25-28 ，在 ABC 中， D 是 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F，且 AF=BD，连接 BF（1）求证： AEF DEC ；（2）当 ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？请说明理由图2528【课时检测答案

21、】（一）、选择题 : （时量： 8 分钟，满分： 24 分，每小题3 分）【 25-9】 D；【 25-10】B ；【 25-11】 A ；【25-12】 A ；【 25-13】 B；【 25-14】D ；【 25-15】D ；【 25-16】 D.（二）、填空题 : （时量： 16 分钟，满分： 24 分，每小题3 分）【 25-17】 28； 【25-18 】 ABC=90°或 AC=BD （不唯一）【 25-19】 AC BD 或 ABC=90°（不唯一）；【25-20 】 5；【 25-21】（2.5， 4），或（ 3，4），或（ 2， 4），或（ 8， 4）； 【 25-22】5；【 25-23】（ 233 ， 23 ）【 25-24】60°，（三）、解答题：【 25-25】（1） DE BF， E= F.EF ，在 AED 和 CFB 中，1=2， AED CFB （ AAS）AECF .（ 2）四边形ABCD 是矩形理由如下： AED CFB ， AD=BC， DAE = BCF ， DAC= BCA， AD BC，四边形 ABCD 是平行四边形，又 A