第四章 分割法实验设计课件

1、第四章 分割法实验设计§4.1 分割法概述在随机化区组实验设计中，是将各个因素的全部水平组合，按随机顺序进行实验。但是，在有些情况下，由于条件的限制，或者为节省费用与试验时间，以及提高某个和某些因素的试验精度，不便或不宜采用随机区组试验设计，这时可采用分割法实验设计。所谓分割法，就是在保证具备均衡搭配和综合可比的前提下，使重复取样操作难度大的因素水平变换的次数减少，对重复取样比较容易的因素保持正常水平变换次数。其中，各个因素在实验设计中的地位是不等的，减少水平变换次数的因素称为一次因素，一次因素的各个水平称为一次单位，分割一次单位所构成的实验单元称为二次单位，构成二次单位的因素称为二

2、次因素。表4-1 随机区组实验设计区 组R1R2R3试验顺序A2B1A1B2A3B1A1B2A3B1A2B1A3B1A3B2A1B2A1B1A2B2A2B2A3B2A1B1A3B2A2B2A2B1A1B1表4-2 分割法实验设计区 组R1R2R3试验顺序 B1A2 B2 B2A1 B1 B1A3 B2 B2A3 B1 B2A3 B1 B1A1 B2 B1A1 B2 B1A2 B2 B2A2 B1下面我们以两因素试验安排为例，对分割实验设计和随机区组实验设计进行比较，其中因素A为三个水平，因素B为二个水平，随机区组实验设计和分割实验设计的试验安排分别如表4-1和表4-2。表4-2分割法实验设计中

3、，同一区组内因素A的3个水平只需各自取样一次，但B的2个水平需要分别重复取样3次，这样，每个一次单位需分割成两份，分别与二次因素B1和B2搭配试验。在完成三个区组的重复试验中，一次因素A的每个水平只需反复3次取样，二次因素B的每个水平需要反复9次取样；而表4-1随机区组实验设计中，A因素的每个水平反复取样次数增加到6次。由此可见，如果在实验中，改变因素A难于实验，或者耗费较大，采用分割法实验设计就比采用随机区组实验设计具有明显的优越性。例如：用高温火焰原子吸收光谱法测定钛为例，改变高温火焰条件比调节燃烧器高度与试液提升量更麻烦，在这种情况下，将高温火焰条件作为一次因素，按分割法实验设计安排试验

4、更为方便。分割法实验设计具有明显的优点：第一，节省实验费用。如在人造丝加工中要考察人造丝原液组成（因素A，三个水平）与加工工序（因素B，三个水平）对人造丝强度影响，重复试验3次，总共进行27次试验，在工业生产上生产27批人造丝来进行试验，将耗费大量的原材料与经费，因为每改变因素A一次，就要生产一批人造丝，耗费大，而因素B是加工工序，只是将同一批人造丝分为n份进行加工工序试验，耗费的试验材料与经费少。如果采用分割法实验设计，将原液组成作为一次因素，将加工工序作为二次因素，每生产一批人造丝，再分为三份进行加工工序试验，依此类推，完成全部试验。这样一来，如采用随机区组实验设计安排试验，需生产27批人

5、造丝，而采用分割法实验设计，则只需生产9批人造丝，可以大大节省试验费用。第二，提高欲考察因素试验精度。当要着重考察某一因素（比如因素B）的主效应，且因素B与其他因素（如因素A）的交互效应显著，或者因素B的主效应较不明显，易受因素A变动的影响，在这种情况下，将因素A作为一次因素，将因素B作为二次因素，按分割实验设计进行试验是有利的，与随机区组实验相比，尽管因素A的主效应因重复次数减少使其试验精度下降了，但由于因素A对因素B试验的影响减少了，而使因素B的主效应及因素A与因素B之间的交互效应试验精度提高了，更符合欲达到的试验目的。分割法实验设计对重复取样操作难度大的因素采取分割样品的方式进行试验，虽

6、然降低了实验成本和缩短了实验周期，但降低了该因素的估计精度，可以说，它是一种以牺牲部分因素的估计精度来换取低成本的一种实验方法，并且采用这种实验方法进行实验所得的实验数据彼此之间不是相互独立的，而是相互牵连的。在表4-2中，在区组R2内，A1B2和A1B1两个实验条件的结果都会由于A1的质量的优劣而受到同步的影响，A1的质量高，则A1B2和A1B1的质量同时提高，反之亦然。也就是说，因素B的试验效果有赖于因素A所处的水平。多因素的分割实验，不仅可以把因素分为一次因素和二次因素，根据实验要求，还可以分割为3次和4次因素等。但分割的层次越多，各次因素的实验精度差异也就越大。分割法实验设计有各种不同

7、的基本类型，可以是一段分割法实验设计，如表4-2所示的实验安排，也可以是二段分割法实验设计，如图4.1的示的实验安排。一次因素和二次因素可以是单因素，也可以是组合因素，如图4.2所示的一次因素为组合因素的一段分割实验安排。分割法实验设计是一种系统分组实验法。图4.1 二段分割实验设计图4.2 组合因素一段分割实验设计§4.2 一段分割法实验设计4.2.1 一段分割法11.数据构造模型现假定一次因素A的水平数为a=2，二次因素B的水平数为b=3，反复数为2，在实验中，一次因素A的重复是按随机区组法进行的，二次因素B则完全随机化，实验安排如图4.3所示。图4.3 分割法示例设第K次反复A

8、iBj的实验数据记为Xijk，其数据构造模型可以表达为： (4.2.1)式中：是一般平均，分别为一次因素A，二次因素B的水平效应及其交互效应；vk为一次因素体现区组差异的重复效应；是一次单位的实验误差；是二次单位的实验误差。2.实验方差分析与显著度检验根据实验数据的结构模型，该分割实验的方差分析必须将总变差平方和ST分解为一次分割实验变差平方和SAK与二次分割实验的变差平方和SABK，即：ST=SAK+SABK(4.2.2)一次分割实验变差平方和SAK包括一次因素A效应的变差平方和SA，重复实验变差平方和SK及一次误差效应变差平方和Se1，即：SAK=SA+SK+Se1(4.2.3)二次分割实

9、验变差平方和SABK，包括二次因素B效应的变差平方和SB、一次因素A与二次因素B交互效应变差平方和SAB及二次误差效应变差平方和Se2，即：SABK=SB+SAB+Se2(4.2.4)因此，总变差平方和ST的分解公式可以写为：ST=SA+SK+SB+SAB+Se1+Se2(4.2.5)其中，各项变差平方和分别按下列公式进行计算： (4.2.6) (4.2.7) (4.2.8) (4.2.9) (4.2.10) (4.2.11) (4.2.12) (4.2.13)其中： 上述各项公式中，a，b分别为一次因素A、二次因素B的水平数，n为重复实验次数，为所指明下标的测定平均值，T与分别为全部测定值的

10、总和与平均值。SA，SK，SB，SAB，Se1和Se2等各项变差平方和的自由度分别为（a-1），(n-1)，(b-1)，(a-1)(b-1)，(a-1)(n-1)和a(b-1)(n-1)，则方差估计值分别为：(4.2.14)(4.2.15)(4.2.16)(4.2.17)(4.2.18)(4.2.19)实验数据方差分析表见表4-3所示。表4-3 一段分割实验设计的实验数据方差分析表方差来源变差平方和S自由度f方差估计值F值方差期望值E（）一次因素SAa-1 / +b+bn重复实验SKn-1/ +b+ab一次误差Se1(a-1)(n-1)/ +b 二次因素SBb-1/ +an交互效应SAB(a-

11、1)(b-1)/ +n二次误差Se2a(b-1)(n-1)总 和STabn-1根据方差分析表中的均方期望值，就可以对各个因素的效应进行假设检验，检验顺序为：先用试验的二次误差的方差估计值检验一次误差的方差估计值，如果有显著性差异，就按表4-3中所列顺序检验各因素的效应，这里，用去检验一次因素A效应与重复试验效应；用去检验二次因素B效应与一次因素A和二次因素B的交互效应。这种检验方法称为普通检验方法。如果用去检验时没有显著性的差异，则必须采用另一种合并的检验方法，这时可以认为=0，与 哪一个都可以作为的估计值，所以将与合并。合并的方法如下：变差平方和：Se1+ Se2Se自 由 度：fe1+fe

12、2fe方差估计值：（Se1+ Se2）/(fe1+fe2）方差期望值：这样，实验数据方差分析表变为表4-4所示。表4-4 一次误差与二次误差合并后的方差分析表方差来源变差平方和S自由度f方差估计值F值方差期望值E（）一次因素SAa-1/ +bn重复实验SKn-1/ +ab二次因素SBb-1/ +an交互效应SAB(a-1)(b-1)/ +n误 差Se(ab-1)(n-1)总 和STabn-1下面举一例说明方差分析的过程。例4.1 为了提高含油轴承材料的强度，考察烧结温度（因素A）与原料组成（因素B）对该材料强度的影响，在两周内重复进行两次试验，实验数据列表如下（见表4-5），试根据表中的数据评

13、价烧结温度与原料组成对含油轴承强度的影响。表4-5 含油轴承材料强度的分割试验数据区组烧结温度/（一次因素）原料组成（二次因素）一次单位合计区组合计B1B2B3R1A1：800A2：820A3：840A4：860-1470-512-3-120610-1851579R2A1：800A2：820A3：840A4：860131-3-240-6-11055-1276-4-3R1+R2A1：800A2：820A3：840A4：860078-3-752-9-2301115-30122136B合 计12-936注：为便于计算，表中列出的数据为经过变换后的数据。解：根据公式（4.2.6）（4.2.13）计算各

14、项因素的变差平方和如下：Se1=SAK-SA-SK=287.8-247.5-13.5=26.8Se2=ST-SA-SK-Se1-SB-SAB=630.5-247.5-13.5-26.8-27.8-301.2=13.7根据公式（4.2.14）（4.2.19）计算方差（估计值）如下：根据实验数据方差分析表4-3计算结果如表4-6所示。表4-6 分割试验样丕数据方差分析表方差来源变差平方和S自由度f方差估计值F计算值显著性烧结温度SA：247.53：82.5/：9.3重复试验SK：13.51：13.5/：1.5一次误差Se1：26.83：8.9/：5.2*原料组成SB：27.82：13.9/：8.2

15、*交互效应SAB：301.26：50.2/：29.5*二次误差Se2s：13.78：1.7总 和630.523注：表中*符号表示显著，*表示高显著。根据F检验方法和方差分析表的结果可知，原料组成，一次误差的效应在95%的置信度下是显著的，而烧结温度和原料组成的交互效应是高度显著的，一次误差效应显著，是因为它除了包括实验误差之外，还包括了因素变动的影响，比如试样在炉内位置的变化。烧结温度的检验统计量是一个相当大的值，在95%置信度下检验结果表明其效应是不显著的，这是因为一次误差效应的变差平方和比二次误差效应的变差平方和大，而自由度小，一次误差效应的方差估计值变大，导致检验灵敏度下降。如果按随机区

16、组试验设计安排设计，烧结温度、原料组成及两者交互效应变差平方和的计算结果与分割法实验设计的计算结果是一样的，但误差效应变差平方和的计算方法是不同的，是将一次误差与二次误差效应合并计算，计算结果为（26.8+13.7）/(3+8)=3.7，用所计算的方差估计值去检验烧结温度的效应，得到F=22.3。F>F0.01=6.22，烧结温度的效应是高度显著的。由此可见，在分割法实验设计中，一次因素的检验精度下降了，而二次因素的检验精度提高了。3.温度响应曲线的回归：虽然因素A在95%的显著性水平下不显著，表明从800至8604个级位的烧结温度对粉末冶金轴承的强度没有明显差异；但是由于A与B的交互作

17、用特别显著，所以仍然要选定好两因素的水平搭配。依照表4-5中的数值R1+R2作图4.4，对应B的3个水平的3条曲线称为温度的响应曲线。由此不难发现轴承强度的最佳水平组合是A4B3，与区组中的实验数据是一致的。根据图中B3曲线的形状，有必要建立一多项式模型作进一步分析。令X=(A-780)/20，则有x=1，2，3，4，h=1。但B的成份无法以等距取值的方法 表达，所以多项式的回归的自变量仅就x而言。设强度的变换值为Y，则 图4.4 强度-温度响应曲线y=b0+ b11(x)+ b22(x)+ b33(x) (4.2.20)根据表4-5中统计数据和n=4的正交多项式数据值列成表4-7计算多项式的

18、系数与方差。表4-7 多项式系数计算程序3YiBAB1B2B3Yi02123A1A2A3A4078-3-752-9-2301115-30122131111-3-1131-1-11-13-31b0b1b2b31.5-0.2-0.50.25-1.10.23-2.50.250.43.1-2.50.25412-9320-8-91254-18-23-1920-6756108-606由于因素B不是等距取值，所以计算因素A的多项式系数时，除常数项和一次项可直接采用的计算结果数值外，高次项都由相应的和数来计算。如在B3的条件下，有必须注意，计算一次项方差时不要直接应用公式Sj=bjBj，因为交互作用是显著的，

19、B的水平又无法区分，此时都选用和数计算为宜，所以以上sj为正交多项式数值平方和，s为因素B 的水平数，Bj为正规方程中的常数项。用一次因素的误差Se1=11.4分别检验各项的方差和，一次项和二次项的系数分别以90%和95%的置信度显著，三次项不显著，因素在B3作用下的烧结温度对轴承强度的影响为二次曲线关系，即求导数dy/dx=0知，当x=3.74时，y有极大值，还原为烧结温度，A=20x+780=854.8，此时轴承的烧结强度有y=7.37变换值，所以最佳生产条件是以第三种配方的粉末合金B3和A=855。4.2.2 一段分割法2现将分割法实验设计分以下三种情况进行讨论1.A作为一次因素，B作为

20、二次因素，一次因素A按完全随机化方法进行重复的分割试验。假设A的水平数a=2,B的水平数b=3，重复数n=2，进行实验的方法如图4.5所示。图4.5 分割法示例设Xijk表示Ai水平第K个重复时Bj水平的试验数据，其数据构造模型为：(4.2.21)式中，分别表示一般平均，A、B主效应和A和B的交互交应。分别表示一次误差和二次误差，它们都服从正态分布N.I.D（0,2）且相互独立。现对其实验数据进行方差分析。根据数据构造模型，总变差平方和ST可分解为一次单位变并平方和S1与二次单位变差平方和S2，即ST可分解为一次单位变差平方和S1与二次单位变差平方和S2，即ST=S1+S2(4.2.22)若只

21、看一次单位，是关于因素A的单因素试验，重复是按照完全随机化方法进行的，则可将一次单位变差平方和S1分解成A间平方和S与一次误差平方和Se1，即S1=SA+Se1(4.2.23)从二次单位平方和S2中分解出B间平方和SB、A×B平方和AAB与二次误差平方和Se2，即S2=SB+SAB+Se2(4.2.24)最后得出方差分解式：ST=SA+Se1+SB+SAB+Se2(4.2.25)式中Se1，Se2的计算式分别为：(4.2.26)其他平方和计算同前述一样。作实验数据方差分析表4-8所示。表4-8 实验数据方差分析表方差来源平方和自由度方差估计值F值均期望值一次因素SAa-1 / +b+

22、bn一次误差Se1a(n-1)/ +B二次因素SBb-1/ +AN交互效应SAB(a-1)(b-1)/ +N二次误差Se2a(b-1)(n-1)总 和STabn-12.A和B都作为一次因素，C作为二次因素，一次因素A、B没有重复的分割实验。实验进行的方法是随机地决定A和B的ab个水平组合，然后对应于各水平组合，按随机顺序对因素C进行c个水平试验。假设a=2，b=2，c=2时，实验安排如图4.6所示。图4.6 分割法示例实验数据的数据构造模型为：(4.2.27)式中，分别是一次因素A和B，二次因素C的主效应；分别是一次单位和二次单位误差，都服从正态分布N.I.D（0,2），且相互独立；是一次因素

23、A和B的效互效应；分别是是一次因素A和B分别与二次因素C的交互效应；是A，B和C三个因素的交互效应。现对其实验数据进行方差分析。根据实验数据的数据构造模型，其总变差平方和的分解式是：ST=SA+SB+SAB+SC+SAC+SBC+Se(4.2.28)可以认为其中的SAB=Se1，即作为一次误差平方和处理，而把Se作为二次平方和Se2处理，其实验数据的方差分析表如表4-9所示。表4-9 实验数据方差分析表方差来源平方和自由度方差估计值均期望值ASAa-1 +b+bcBSBb-1+c+ac一次误差Se1(a-1)(b-1)+c+cCSCc-1+abACSAC(a-1)(c-1)+bBCSBC(b-

24、1)(c-1)+b二次误差Se2(b-1)(b-1)(c-1)+总 和STabn-1根据方差分析表，若假定三因素交互作用不存在，就能检验C、AC、BC的显著性；若假定二因素交互作用不存在的话，就能检验A与B了。如果两因素交互作用和三因素交互作用存在，分析实验数据就得不出正确的结论。如果不知道二因素和三因素交互作用是否存在，则该实验有必要进行重复。3.A和B作为一次因素，C作为二次因素。一次因素A、B的水平组合按随机区组法进行重复的分割试验。假定重复数为n，其试验方法就是将上述一种实验反复n次。如a=2 ,b=2,c=2，n=2。其实验安排如图4.7所示。图4.7 分割法示例设是第1次反复中Aj

25、BjCk的实验数据，其数据构造模型可看成是：(4.2.29)式中，和分别是一次误差和二次误差，都服从正态分布N.I.D（0, ），且相互独立；是重复效应。其变差平方和公式与前述不同的有：(4.2.30)Se1=SABK-(SK+SA+SB+SAB)(4.2.31)(4.2.32)然后对其实验数据作方差分析表，如表4-10所示。表4-10 实验数据方差分析表变差来源平方和自由度均方期望值反复KSKn-1+b+abcASAa-1+c+bcnBSBb-1+c+cnA与BSAB(a-1)(b-1)+c一次误差Se1(ab-1)(n-1)+cCSCC-1+abnA与CSAC(a-1)(c-1)+bnB与

26、CSBC(b-1)(c-1)+anA与B与CSABC(a-1)(b-1)(c-1)+n二次误差Se2ab(c-1)(n-1)总 和STabcn-1§4.3 两方分割法如前所述在人造丝生产工艺中，在考察人造丝原液组成A（四水平）和加工工序B（三水平）对人造丝强度的影响时，是将原液组成一次因素A分割成三份，分别用三种加工方法进行加工试验的，能够比按完全随机区组的实验设计方法大大节省实验费用，但是，这种实验方法必须频繁地变更加工条件，如果变化加工条件有时候有困难，或者需要费用高，那么这种实验方法也难于实验，必须考虑采用一种新的方法，这种方法叫两方分割法。如果将原液组成A所生产的人造丝原料分

27、割成三份，从各水平抽出一份，组成一组，其有三组，送往加工工序，这三组分别以B1、B2、B3的条件进行加工，这样为一个反复，同样地可进行n次反复实验。这样一来，水平的变更次数减少了，这种试验方法，分割是在两个方向上进行的，故称两方分割法。原料组成A和加工工序B都是一次因素，构成了两类一次单位，即X方向与Y方向。如果用表示K次反复中AiBj的实验数据，则实验数据构造模型为：(4.2.33)式中表示反复效应，表示X方向上的一次误差，且服从正态分布N.I.D（0, ），表示二次单位误差，且服从正态分布N.I.D（0, ），且相互独立。由于本实验法的方差分析比较复杂，这里只列出方差分析表4-11所示。表4-11 两方分割法方差分析表变差来源变差平方和自由度均方期望值反复KSKn-1+b+a+abASAa-1+b+bn一次误差Se1x(a-1)(n-1)+bBSBb-1+a+an一次误差Sely(b-1)(n-1)+aA与BSAB(a-1)(b-1)+ an二次误差Se2(a-1)(b-1)(n-1) 总 和STabn-1表中各平方和的计算公式为：Se1x=SAK-SA-SK(4.2.34)Se1y=SBK-SB-SK(4.2.35)Se2=ST-SK-SA- Se1k- SB- Se1y- SAB(4