圆锥曲线中的探索性问题

1、.专题圆锥曲线中的探索性问题1(2016 ·标全国乙课 )在直角坐标系xOy 中，直线 l ：y t(t 0)交 y 轴于点 M ，交抛物线C：y2 2px(p>0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为N ，连接 ON 并延长交C 于点 H .(1) 求 |OH |； (2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由|ON|x2 y22(2016 四·川 )已知椭圆 E：a2 b2 1(a>b>0) 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 l： y x 3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.(1)求椭圆 E 的方程及点

2、T 的坐标；(2)设 O 是坐标原点，直线 l平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点A、B，且与直线 l 交于点 P.证明：存在常数 ，使得 |PT|2 |PA| ·|PB |，并求 的值高考必会题型题型一定值、定点问题例1 已知椭圆 C：x2y21(a>b>0) 经过点 (0，3)，离心率为1，直线 l 经过椭圆 C 的右焦b22a2点 F 交椭圆于 A、B 两点(1)求椭圆 C 的方程；(2) 若直线 l 交 y 轴于点 M，且 MA AF ， MB BF，当直线 l 的倾斜角变化时，探求 ;.的值是否为定值？若是，求出 的值；否则，请说明理由变式训练1已知抛物线y

3、2 2px(p>0)，过点 M(5， 2)的动直线l 交抛物线于A， B 两点，当直线 l 的斜率为 1 时，点 M 恰为 AB 的中点(1) 求抛物线的方程；(2) 抛物线上是否存在一个定点P，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由题型二定直线问题例 2在平面直角坐标系xOy 中，过定点C(0， p)作直线与抛物线x2 2py(p>0) 相交于 A， B 两点(1) 若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点， 求 ANB 面积的最小值；(2) 是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存

4、在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由;.变式训练 2 椭圆 C 的方程为x2y2a2b2 1(a>b>0) ， F1、F 2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C 过点 (0,1)，且离心率2 2 e 3 .(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 如图，设椭圆的左、右顶点分别为A、 B，直线 l 的方程为 x 4，P 是椭圆上异于 A、 B的任意一点，直线PA、 PB 分别交直线 l 于 D、 E 两点，求 F 1D·F 2E的值；(3) 过点 Q(1,0)任意作直线 m(与 x 轴不垂直 )与椭圆 C 交于 M、N 两点，与 l 交于 R 点，RM ， RN yNQ，求证：

5、 4x4y 5 0.xMQ题型三存在性问题例 3(1) 已知直线ya 交抛物线y x2 于 A， B 两点若该抛物线上存在点C，使得 ACB为直角，则a 的取值范围为_223，以椭圆的左顶点(2) 如图，已知椭圆C： x2 y2 1(a>b>0)的离心率为T 为圆心作圆 T：ab2(x 2)2 y2 r2 (r >0)，设圆T 与椭圆 C 交于点 M， N.;. T 的方程；求椭圆 C 的方程；求 TM·TN的最小值，并求此时圆设点 P 是椭圆 C 上异于 M ，N 的任意一点，且直线MP， NP 分别与 x 轴交于点 R， S，O为坐标原点试问：是否存在使S PO

6、S·S POR 最大的点 P？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由变式训练 3 (2015 ·四川 )如图，椭圆 E： x2 y21(a b 0)的离心率是a22b2 2，点 P(0,1)在短轴 CD 上，且 PC ·PD 1.(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点是否存在常数 ，使得 OA ·OB 的值；若不存在，请说明理由PA·PB为定值？若存在，求;.高考题型精练x2y21.(2015 陕·西 )如图，椭圆E：a2 b2 1(a b 0)经过点 A(0 ， 1

7、)，且2离心率为2 .(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 经过点 (1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P， Q(均异于点A)，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为2.22F(1,0)，且点 P(1， 32 已知椭圆 C：x2 y2 1(a>b>0)的右焦点为)在椭圆 C 上， O 为坐标ab2原点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设过定点 T(0,2) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点A，B，且 AOB为锐角，求直线l 的斜率 k 的取值范围；22P，作圆 O： x2 y2 4的两条切线，切(3)过椭圆 C1： x2 y1 上异于其顶点的任一点ab25

8、33点分别为M， N(M， N 不在坐标轴上 )，若直线 MN 在 x 轴， y 轴上的截距分别为m，n，证明：11 为定值3m2n2223 (2016 山·东 )已知椭圆 C： x2 y2 1(ab 0)的长轴长为4，焦距为ab22.;.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 过动点 M(0，m)(m0)的直线交 x 轴于点 N，交 C 于点 A，P(P 在第一象限 )，且 M 是线段 PN 的中点过点P 作 x 轴的垂线交C 于另一点Q，延长 QM 交 C 于点 B.设直线 PM ， QM 的斜率分别为k， k，证明 k 为定值；k求直线 AB 的斜率的最小值x2y24已知椭圆 C：

9、a2 b2 1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0)，短轴的一个端点 B 到 F 的距离等于焦距(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，是否存在直线 l，使得 BFM 与 BFN 的面积比值为 2？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由圆锥曲线中的探索性问题1 (2016 课·标全国乙 )在直角坐标系xOy 中，直线l ：y t(t 0)交 y 轴于点 M，交抛物线C：y2 2px(p>0) 于点 P，M 关于点 P 的对称点为N，连接 ON 并延长交C 于点 H .(1) 求 |OH |； (2)除

10、 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由|ON|22解 (1) 由已知得 M(0， t)， P t ， t ，又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故Nt ， t，ON 的方2ppp2t22t2程为 y t x，代入 y2 2px 整理得 px2 2t2x 0，解得 x1 0， x2 p，因此 H p， 2t .|OH |所以 N 为 OH 的中点，即 |ON|2.(2) 直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点，理由如下：直线MH 的方程为 y t p x，即 x2t;.2t p (y t)代入 y22px 得 y2 4ty 4t2 0，解得 y1 y2 2t，即直线

11、MH 与 C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与 C 没有其他公共点x2 y22(2016 四·川 )已知椭圆 E：a2 b2 1(a>b>0) 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l： y x 3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.(1) 求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；(2) 设 O 是坐标原点，直线l平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A、B，且与直线 l 交于点 P.证明：存在常数 ，使得 |PT|2 |PA| ·|PB |，并求 的值22解 (1) 由已知，得 a2b，则椭圆 E 的方程为x 2 y2 1.2bb

12、x2 y2由方程组2b2 b2 1，222得 3x 12x (18 2b) 0. 方程 的判别式为 24(b 3)，由y x 3， 0，得 b2 3，此时方程 的解为 x 2，所以椭圆x2y2E 的方程为6 3 1.点 T 的坐标为 (2,1)1(2) 由已知可设直线 l 的方程为 y 2x m(m0) ，12mx 2 3 ，y 2x m，2m2m28 2由方程组可得2mP 点坐标为23， 13，|PT| 9m .y x 3，y1 3 .x2y26 31，22设点 A，B 的坐标分别为A(x ，y)，B(x ，y )由方程组可得 3x 4mx (4m11221y 2x m， 16(9 2m2)

13、，由323212) 0. 方程 的判别式为>0，解得2<m<2 .4m4m2 122m22m2由 得 x1 x2 3 ， x1x23.所以 |PA|2 3 x113 y1 25 22m3x1 ，同理 |PB| 25 2 2m3 x2 .所以 |PA| |PB|· 109m2.故存在常数 45，使得 |PT|2 |PA| |PB· |.题型一定值、定点问题221，直线 l 经过椭圆 C 的右焦例 1已知椭圆 C：x y1(a>b>0) 经过点 (0，3)，离心率为a2b22点 F 交椭圆于A、B 两点 (1)求椭圆 C 的方程；;.的倾斜角变化时

14、，探求 (2) 若直线 l 交 y 轴于点 M，且 MA AF ， MB BF，当直线 l的值是否为定值？若是，求出 的值；否则，请说明理由解(1) 依题意得 b3， e c1222x2y2a2， a b c ， a2， c 1， 椭圆 C 方程为4 3 1.(2) 直线 l 与 y 轴相交于点 M，故斜率存在，又F 坐标为 (1,0)，设直线 l 方程为yk( x1)，求得 l 与 y 轴交于 M(0， k)，设 l 交椭圆 A(x ， y )， B(x ， y )，1122由yk x1 ，消去 y 得(32 22212 0， x1 28k2，x1 24k2 124k)x 8kx4k，x2y

15、2 x x 3 4k23 4k24 31，x1，同理 x2，又由 MA AF， (x1111，y k)(1 x ， y )， 1 x1 x128k22 4k2 12 12x1 x22x1x23 4k2 3 4k28xx12122 3.1228k4k 121 x 1 x1 x xx x13 4k23 4k2当直线 l 的倾斜角变化时， 的值为定值 83.点评(1)定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x， y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 x， y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就

16、是直线或曲线所过的定点(2) 定值问题的求解策略在解析几何中， 有些几何量与参数无关，这就是 “ 定值 ” 问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定 “定值 ” 是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值变式训练1已知抛物线y2 2px(p>0)，过点 M(5， 2)的动直线l 交抛物线于A， B 两点，当直线 l 的斜率为 1 时，点 M 恰为 AB 的中点(1) 求抛物线的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点P，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由解(1) 当直

17、线 l 的斜率为 1 时，直线l 的方程为x y 3 0，即 x 3 y，;.y y2代入 y2 2px(p>0)得 y2 2py 6p 0，1y2 4x.2 p 2， p 2，抛物线的方程为(2) 设直线 l 的方程为 x m(y 2) 5，代入 y24x 得 y2 4my 8m 20 0，22yy12设点 A( 4 ， y1)， B( 4 ， y2)，则 y1 y2 4m， y1y2 8m 20，2 2222y0y1y0y2y0假设存在点 P( 4 ， y0) 总是在以弦 AB 为直径的圆上，则 PA·PB(4 4)(4 4)( y1 y0)(y2 y0) 0，当 y1 y

18、0 或 y2 y0 时，等式显然成立；当 y1 y0 或 y2 y0 时，则有 (y1 y0)( y2 y0) 16，即 4my0 y20 8m20 16，(4m y0 2)(y0 2) 0，解得 y0 2， x0 1，所以存在点P(1,2)满足题意题型二定直线问题例 2在平面直角坐标系xOy 中，过定点C(0， p)作直线与抛物线x2 2py(p>0) 相交于 A， B 两点(1) 若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点， 求 ANB 面积的最小值；(2) 是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，

19、请说明理由解方法一(1) 依题意，点N 的坐标为 (0， p)，可设 A(x1， y1)， B( x2， y2)，x2 2py，直线 AB 的方程为 y kx p，与 x2 2py 联立得消去 y 得 x2 2pkx 2p20.y kxp，1由根与系数的关系得x1 x2 2pk， x1x2 2p2.于是 SABN SBCN S ACN 2·2p|x1 x2|p|x1 2| p122 4x124p2k2 8p22p22 2， 当 k 0 时，(SABN )min 2 2 xx xx pkp2.(2) 假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 y a，AC 的中点为 O ， l 与以 AC

20、 为直径的圆相交于点P， Q， PQ 的中点为 H，x1y1 p1122122则 OH PQ，O 点的坐标为 ( 2，2) |O P|2|AC|2x1 y1 p2y1 p ，|O H| a y1 p 1|2a y1 p|， |PH|2 |O P|2 |O H|22214(y21p2) 14(2ay1 p)2 (ap2)y1 a( p a)， |PQ|2 (2|PH |)2;.ppp 4( a2)y1 a(pa) 令 a 2 0，得 a 2，此时 |PQ| p 为定值，故满足条件的直线l 存在，p其方程为y2，即抛物线的通径所在的直线方法二(1)前同方法一，再由弦长公式得|AB|1 k2|x1x

21、2| 1 k2· x1x2 2 4x1x2 1 k2· 4p2k2 8p22p 1 k2· k2 2，2p1又由点到直线的距离公式得d 2. 从 而SABN 2·d·|AB| 1k1·2p 1k2· k2 2 ·2p21 k22p22时， (S2k 2. 当 k 0) 2 2p . ABN min(2) 假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 y a，则以 AC 为直径的圆的方程为(x 0)(x x1) (y p)(y y1) 0，将直线方程y a 代入得 x2x1x (a p)( a y1)0，2p则 x1 4(

22、a p)( a y1) 4( a2)y1 a( p a) 设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为P(x3 ，y3)，Q(x4， y4)，p则有 |PQ| |x3 x4 |4 a2 y1 a p a ppp2a 2 y1 a p a .令 a2 0，得 a 2，此时 |PQ| p 为定值，p故满足条件的直线l 存在，其方程为y 2，即抛物线的通径所在的直线点评 (1)定直线由斜率、截距、定点等因素确定(2)定直线为特殊直线 x x0， y y0 等椭圆 C 的方程为 x22变式训练 22 y21(a>b>0) ， F 1、 F2 分别是它的左、右焦点，已知椭圆ab22C 过点 (

23、0,1)，且离心率 e3 .(1) 求椭圆 C 的方程； (2)如图，设椭圆的左、右顶点分别为A、 B，直线 l 的方程为 x 4， P是椭圆上异于A、B 的任意一点， 直线 PA、PB 分别交直线 l 于 D、E 两点， 求F1D ·F2E的值；(3) 过点 Q(1,0)任意作直线 m(与 x 轴不垂直 )与椭圆 C 交于 M、N 两点，与 l 交于 R 点，RM ， RN yNQ，求证： 4x4y 5 0.xMQ;.c22(1) 解由题意可得b 1，a3 ，2a 3，椭圆 C 的方程为 x9 y2 1.(2) 解 设 P(x0， y0)，则直线 PA、PB 的方程分别为yy0(x

24、 3)， y y0(x 3)，x 3x 300将 x 4 分别代入可求得D， E 两点的坐标分别为D(4，7y0)， E(4，y0)x0 3x0 37y0y由(1) 知， F1(4 2 2，0212)·(42 2，)( 2 2， 0)， F (2 2， 0)， FD·F Ex0 3x0 3227y0，又 点 P( x ， y )在椭圆 C 上， x028 29 y 1?000x0 92165y02 9，F D·F E9 .12x0 9(3) 证明设 M(x1， y1 )， N(x2，y2)， R(4， t)，由 RM xMQ得 (x1 4， y1 t) x(1 x

25、1， y1)，4 xx1，1 x(x 1)，代入椭圆方程得(4 x)2 9t29(1 x)2，t1y 1 x 消去 t，得 x y 5，同理由 RN yNQ得 (4 y)2 9t2 9(1 y)2， 44x 4y 5 0.题型三存在性问题例 3(1) 已知直线 ya 交抛物线 y x2 于 A， B 两点若该抛物线上存在点C，使得 ACB为直角，则 a 的取值范围为 _解析以 AB 为直径的圆的方程为 x2( y a) 2 a，由y x2，得 y2 (1 2a)yx2 y a 2 a，a>0，a2 a 0.即 (y a)y (a 1) 0，由已知解得 a1.a 1 0，223，以椭圆的左

26、顶点(2) 如图，已知椭圆 C： x2 y2 1(a>b>0)的离心率为T 为圆心作圆 T：ab2(x 2)2 y2 r2 (r >0)，设圆 T 与椭圆 C 交于点 M， N.求椭圆 C 的方程；求 T 的方程；TM ·TN的最小值，并求此时圆;.设点 P 是椭圆 C 上异于 M ，N 的任意一点，且直线MP， NP 分别与 x 轴交于点R， S，O为坐标原点试问：是否存在使S POS·S POR 最大的点 P？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由c3解 由题意知a2，222解之，得 a 2， c3，由 c a b ，得 b 1，a 2，x2故

27、椭圆 C 的方程为4 y2 1. 点 M 与点 N 关于 x 轴对称，22x1设 M(x1， y1) ，N(x1， y1)，不妨设 y1>0，由于点 M 在椭圆 C 上， y1 1 4 .由已知 T( 2,0)，则 TM (x1 2， y1)， TN (x1 2， y1)， 222258 21x1TM ·TN (x1 2， y1) ·(x1 2， y1) (x1 2) y1( x1 2) 1 4 4 x1 5 5.8 1由于 2<x<2，故当 x1 5时， TM·TN取得最小值为5，838313当 x1 5时， y1 5，故 M 5，5.又点 M

28、 在圆 T 上，代入圆的方程得r2 25，故圆 T 的方程为 (x 2)2213P，设 P(x ， y )， y 25. 假设存在满足条件的点00y0 y1x1y0 x0 y1x1y0x0y1则直线 MP 的方程为 y y0(x x0)，令 y0，得 xR，同理 xS，x0 x1y0 y1y0 y12222故 xRx1y0 x0y12222·x 22.又点 M 与点 P 在椭圆上，故x 4(1y ) ， x 4(1 y ) ，S0011y0 y1222222得 xR4 1 y1y0 4 1 y0y14 y0 y1S222 4， |OR| |OS|· |xRSRS·

29、x 2| |x·| |x·x | 4 为定值y0 y1y0 y111122S POS·S POR|OS|yP| ·|OR|yP|× 4× yP yP，又 P 为椭圆上的一点，224要使 S POS·SPOR 最大，只要22的最大值为1，故满足条件的P 点存在，其坐yP 最大，而 yP标为 P(0,1)和 P(0， 1)点评存在性问题求解的思路及策略(1) 先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在(2) 策略： 当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推

30、出条件;.(2015 ·四川 )如图，椭圆 E： x22变式训练 32 y2 1(a b 0)的离心率是ab2，点 P(0,1)在短轴 CD 上，且 PC ·PD 1.2(1) 求椭圆 E 的方程； (2) 设 O 为坐标原点， 过点 P 的动直线与椭圆交于A，B 两点是否存 在常数 ，使得 OA·OB PA·PB为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由解 (1) 由已知，得点C，D 的坐标分别为 (0，b)，(0，b) ，又点 P 的坐标为 (0,1)，且PC ·PD1 b2 1，c2x2y2 1，于是a 2，解得 a 2， b 2，所

31、以椭圆 E 的方程为 4 2 1.a2 b2 c2，(2) 当直线 AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为x2y2ykx 1， A， B 的坐标分别为 (x1 ，y1)，( x2，y2 )，联立4 2 1，224kx 2得 (2k 1)xy kx 1， 0，其判别式 (4k)28(2k2 1) 0，所以 x1 x2 4k ，x1 x2 2 ，2k2 12 12k x1 21 21 212从而， OA·OB PA·PBx y y x x (y 1)(y 1)(1 )(1 k2) x1x2 k(x1 x2)1 2 4 k2 2 12k2 11 1 2 3， 2.所以当 1 时

32、，2k2 12k2 1 此时 OA·OB PA·PB 3 为定值当直线 AB 斜率不存在时， 直线 AB 即为直线 CD，此时，OA·OB PA·PB OC·OD PC ·PD 2 1 3.故存在常数 1，使得 OA·OB PA·PB为定值 3.高考题型精练2 y21.(2015 陕·西 )如图，椭圆E：x22 1(a b 0)经过点 A(0 ， 1)，且ab离心率为22 .(1)求椭圆 E 的方程；;.(2) 经过点 (1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P， Q(均异于点 A)，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.c