刚体定轴转动教材

1、Lecture Notes for University PhysicsBy Prof. Dr. Wang Yi第5章刚体定轴转动(Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis)§ 1刚体的运动一、刚体（rigid body）1.刚体刚体是受力时形状和体积不改变的物体-理想化模型-刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变2. 刚体的运动形式平动（translation）:可用质心的运动代表转动（rotation）:分L定轴转动（本章讨论）L定点转动（如陀螺的运动）平面运动（如车轮的运动）一般运动：可分解为两种运动随质心的平动绕通过质心的

2、轴的转动-转动平面：过刚体上某点 P垂直于转轴的 平面。转动中心：转动平面与轴的交点Op在转动平面内绕O作圆周运动-可用圆周运动的角量描述刚体的运动。(1)角位置:3Lecture Notes for University PhysicsBy Prof. Dr. Wang Yi（2）角位移：a e（3）角速度：（矢量）大小：=d" dt方向：沿轴（指向由右手确定）角加速度：:（矢量）大小:=缶=嘿 方向：沿轴Tf f"（加速转动）；B（减速转动）2.角量和线量的关系 （1）P点的线速度r : p点的矢径（由转动中心o引出）p点的线加速度f d df r )a = dt =

3、dt=d r + dr-dt LJ dlL切向加速度：at = - r法向加速度：an =3. 典型定轴转动(1) 匀速转动：=0=const.p - 710 = t(2) 匀加速转动：=const.=0 + te - % = w ot + 寺 t 22 - 02 = 2 C - 5)§ 2转动定律一、力矩lzM轴Lecture Notes for University PhysicsBy Prof. Dr. Wang Yi1 .力对轴的矩设力F在转动平面内，作用点在pM 轴=r F方向：沿轴（由右手定）；r是op 思考如 F不在转动平面内，M轴方向如何确定？2.力对固定点的矩kf

4、fM 点=r Ffr是o p （ o是某定点）可以证明：M轴是M点沿z轴的投影以下把M轴记作M1、转动定律1 .推导刚体看作是由很多质元组成-质元 i :质量 mi矢径ri （由转动中心引出）t外力Fi内力fiFj心mi有Fi-由牛顿定律，对质元-k kF i + fi = mi ai，(ai = ain + ait )-以ri对等式作叉积(从左侧)ri Fi + ri fi = mi ri ( ain +it )ri % ain = 0(为什么?)2 - *ri ait = ri ( ri) = ri利用了 a (b c) = (a c)b - (a b)c2 * 于是有 ri F i +

5、ri fi = mi ri-对所有质元求和有fk *p =z (ri Fi) + z ( ri fi) = ( mi ri )-各项意义z (ri Fi ):各质元所受的外力矩之和即刚体所受的外力矩-(ri fi):各质元所受的内力矩之和可证-(ri fi) = 0(见下)* ('mi ri2):称刚体的 转动惯量(见下)，2写作 J = y C mi ri )证明 z( ri fi) = o每一对内力的内力矩之和都为零ri fi + rj fj对质元i和j，其内力矩之和为=ri fi + rj (-fi )=(左-7j) fi = o(r； - Fj)|fi 可知所有内力矩之和为零-

6、可得转动定律M = jr另一证法在刚体上任取一质元 i :质量 mi矢径ri （由转动中心o引出）外力Fi；内力fi（设均在转动平面内）-由牛顿定律，对质元 mi有*卜Fi + fi = mi ai-其切向分量式为Fi sin i + fi sin i = mi ait = mi r-等式两端同乘以ri有F i r sin i + f r sin i = mi r(式中Fi ri sin i为外力Fi对轴的力矩； fi ri sinr为内力fi对轴的力矩)对每一个质元都可以列出相应的式子-对所有质元的式子相加有:iFi ri sin i + i fi ri sin i2=-i ( mi ri

7、)上式中1 iFi ri sin i为刚体所受的各外力对 轴的力矩之和，即刚体所受的合外力矩(对 轴)，记作M ;因为内力成对出现，每一对内力的力矩之和应为零，故上式中-1 fi r sin i = 0。-三i ( mi ri 2)是刚体的转动惯量J,故有转动定律M = J2.意义：刚体所受的合外力矩等于转动惯量与角加速度的乘积。女口 M 一定，则 J三、转动惯量(moment of inertia)2 i定义J =匚 f mi ri )如刚体为连续体，则为J = r2dm2.意义：反映刚体转动惯性的大小J大二转动惯性大J和下列因素有关:刚体的质量-刚体的质量分布-轴的方位轮（断面）31111

8、2棒mi= m2谁的J大？3计算例1求小球m的 转动惯量。解：m看作质点2J = mR2Ji、J2、J3谁大？例2质量为m的细圆环，求J解：把环分成无限多个质量为dm的小段，对每个 dm 有 dJ = R2dm对整个环有J = R2dm = mR2例3薄圆盘（质量m,半径R），求J解：把盘分成无限多个环。取其中 一个环（半径r，宽dr，质量dm），其转动惯量dJ = r2dmdm = （ m 2）2 rdrR 整个盘的转动惯量R 22J = b r2dm = ；mR2转动惯量表（见教材）4.平行轴定理2J = Jc + mdJ对oo轴的转动惯量Jc对通过质心C的轴的转动惯量 d两平行轴间的距离

9、亠O*证明：J = z=z mr ri=z mi(rCi + d ) (rCi + d )22f=z mi rd + z mid +2 (d r&) mi2f=Jc+md +2d p mirci)m第3项中一 mi rci = 0 （为什么?）o例求环对oo轴的转动惯量。解：J = Jc + mR2 o=2mR2四、转动定律的应用例1如图滑轮系统，图中各量已知。求绳中张力及物体加速度（设m2>mi）。解：画受力图T2 |Tirnm2mi!k一,migm2g列动力学方程对m1:Ti -mig = mia(i)对m2:m2g-T2 = m2a(2)对m:T2R -TiR = i mR

10、2a = R-联立各方程可得（m2- mi）ga = 1 mi+m2+ 2 mmig（2m2+ 十 m） =1mi+m2+mi m2g（2mi+ 三 m） T2=1mi+m2+ 2 m注意：Ti T2例2质量为m、长为I的棒可绕轴17转动。棒由水平自静止释放。求：（1）棒摆至二角时的->；棒在竖直位置时所受的轴力。M = mg（由转动定律可得解：（1）求卩：棒在日位置时所受的力矩2 ）cos-mg I cos=2J求=d = ( d)( d ) = ddt v d 八 dt 丿d9。d =書° d =卩 d日=(mg 1 coS )d9 2JQocos d"午叮2 =

11、 _mgLsjn22J-3gsin 1/2=l 2其中用了 J = 3 ml (3)求棒在竖直位置时所受的轴力设轴对棒的力为Nx、Ny(外力)，由 质心运动定理No#Nxc mg yIh. Lalxy 向 Ny - mg = macnx 向 Nx = mact二=/2 时，-=0,Lecture Notes for University PhysicsBy Prof. Dr. Wang Yiact = acn =2 = 02 I = 3g2=2y =5mg§ 3定轴转动中的功能关系亠、力矩的功外力F的元功dW = F dr=F cos dr=Fcos rd"力矩M的功末W

12、=初 M d°反映力矩的空间积累作用效果。、转动动能整个刚体的动能应等于各质元的动能之和Ek = Hmr i2)=茫( mi尸2Ek =22Lecture Notes for University PhysicsBy Prof. Dr. Wang Yi1、定轴转动的动能定理由转动定律dt25末末初M =初J d末42丄 2初M d =2 J 末-2 J 初W外=Ek末-Ek初合外力矩的功等于动能的增量 思考：在第四章的“质点系的动能定理”的左端，除有 W外一项外，还有一项 W内。而在上面的动能定理式中为何没有 W内一项了 ？ox四、定轴转动的功能原理1.刚体的重力势能在重力场中的刚体

13、质量为m-重力势能Ep = z mighi = gC mihi)质心的高度hc =3mihim有Ep = mghc-机械能1 2E = 2 J + mght2功能原理对于包括有刚体的系统，功能原理形式 仍为W外+ W 非保内= E末-E初若系统内只有保守内力作功，其机械能 亦守恒。练习：用机械能守恒再解棒下摆问题，并对比两种解法§ 4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 讨论：力矩对时间的积累效应亠、刚体对轴的角动量1.质点系对固定点的角动量质点对点的角动量定义是L = r m质点系对某固定点的角动量为系内各>Lz质点对该固定点的角动量的矢量和如图刚体对固定点 O的角动量为

14、L 点=z r imi i2.刚体对轴的角动量-刚体上各质元对各自转动中心的角动量的矢量和L 轴=5 ( mi i)=5 ( ri) mi ,利用2 (bC)2 =z ( mi ri )L 轴=Jw可以证明：L轴是L点沿z轴的分量（以下L轴记作L ）】、刚体对轴的角动量定理1.微分形式由转动定律，M=J = J dtJ不随t变，d(J )dtM = dL刚体所受的（对轴的）外力矩等于刚体（对轴的）角动量的时间变化率或写作 M dt = dL2.积分形式对于一段时间过程有末 i一初M dt = L末-L初二、（对固定轴的）角动量守恒定律1如合外力矩等于零k 贝uL = J = const.即转动

15、过程中角动量（大小、方向）保持不变或 L末=L初J末末=J初初Lecture Notes for University PhysicsBy Prof. Dr. Wang Yi角动量守恒定律比转动定律适用范围更广泛，这里可以有J末"J初2转动系统由多个物体（刚体或质点）组成同样可得角动量守恒定律但系统内各物体的角动量必须是对同一固定轴而言的。演示茹可夫斯基凳回转仪录像：“角动量守恒 ”例小球m以速度o撞击质 量M长I上端 悬挂的棒，碰 后两者粘在一Mgm(m+M)g026Lecture Notes for University PhysicsBy Prof. Dr. Wang Yi起转

16、动。求棒端升起的最大高度 ho解：两过程题-过程1: m M非弹性碰撞系统：m M条件:外力一轴力、重力系统动量不守恒外力矩为零系统角动量守恒m I o = m 1(1) + 3 M l(1)过程2： m M上摆条件:系统：mM-地球外力-轴力，但W外=0内力-重力(保守内力)E守恒选择棒最低端Ep = 01 m( I )2 + 1 1 M I2 2=mgh +Mg(丄 +联立、可得h （略） * § 5旋进（进动）一、进动 （Precession）1.进动：高速自转的物体其自转轴绕另一轴转动的现象。飞轮轴的一端 放在支架上O点，当飞轮 高速旋转时，在重力矩的作用下，飞轮 轴在水平面内绕O旋转。属非固定轴转动问题演示:车轮的进动2.进动角速度on rGLdLL（俯视）mg25Lecture Notes for University PhysicsBy Prof. Dr. Wang Yi-飞轮对点o的角动量为L（飞轮对定点o的角动量应为自转角动量