人教版数学必修一1.3.1-1函数的单调性---教案、学案、课后练习

1、加油！加油!§ L 3.1函数的单调性与最大(小)值(1)第一课时单调性【教学目标】1 .通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义:2 .学会运用函数图象理解和研究函数的性质：3 .能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.【教学重点难点】重点：函数的单调性及其几何意义.难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性【教学过程】(一)创设情景，揭示课题1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:。随x的增大，y的值有什么变化？ 能否看出函数的最大、最小值？ 函数图象是否具有某种对称性？ 2. 画出下列函数的图象，观察其变化规

2、律： (1) f(x) = X 从左至右图象上升还是下降?在区间 上，随着X的增大，f(x)的值随着 . (2) f(x) = -x+2从左至右图象上升还是下降?在区间 上，随着X的增大，f(x)的值随着 . (3) f(x) = x2在区间 上，f(x)的值随着X的增大而 .在区间 上，f(x)的值随着X的增大而 . 3、从上面的观察分析，能得出什么结论？学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变 化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性 质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质函数的单调性(引出课题)。(二)研探

3、新知1、y二x?的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？学生通过现察、思考、讨论，归纳得出：函数y = x?在(0, +oo)上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于(0, +8) 上的任意的Xi, X2,当X|VX2时，都有x/Vx；.即函数值随着自变量的增大而增大，具有这 种性质的函数叫增函数。2.增函数一般地，设函数y=f (x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量xi, x2,当xX2时，都有 f （xi）<f（X2）,那么就说 f（x）在区间 D 上是增函数（increasing function）.3、从,函数图象上可以

4、看到，y=/的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你 能概括出减函数的定义吗？注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量X1, X2：当VX2时，总有f（Xi）f（X2）.4.函数的单调性定义如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f（X）在这一区 间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间：（三）质疑答辩，发展思维。根据函数图象说明函数的单调性.例1如图是定义在区间- 5, 5上的函数厅f（x）,根据图象说出函数的单解：略点评：从图像中看出函数的单调区间是立即单调性的基础。变式训练1

5、 函数/（x） = 2x在xel,2上的单调性为（）A.减函数 B.增函数.C.先增后减. D.先减后增例2物理学中的破意耳定律P=, （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体 枳V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。分析：按题意，只要证明函数P= +在区间（0, +8）上是减函数即可。证明：略点评：实际问题与函数模型之间的关联十分密切，我们常常借助函数的单调性解决问题。变式训练2 若函数y = "7X + Z?在（-s,+s）上是增函数，那么 （）A, b>0 B. b<0 C. m>0 D. m<0例3. 16.求证：函数x） = x +

6、，在区间（°）上是减函数解：设玉 £（0,1）则/ （玉）一 / （）=玉 + ； 一 42 一； 国A2=g)+黄= (A'l X1) 1-k 中2, (%左一1) =-3%1 < x2 Xj - x2 < 0xx2 e(OJ) xAx2 >0xx2 -l<0/&）-f >。.-./（x1）>/（x2）=在区间（0,1）上是减函数。点评：利用定义证明函数千（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取 Xi, x2GD,且 x<X2；作差 f（XI）-f（X2）；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f（xj

7、T（X2）的正负）:下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）.变式训练3.：画出反比例函数y = 1的图象.x这个函数的定义域是什么？ 它在定义域/上的单调性怎样？证明你的结论.四、归纳小结函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机, 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值T作差T变形T定号T下结论【版书设计】一、函数单调性二、典型例题例1:例2:小结：【作业布置】完成本节课学案预习下一节。§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）课前预习学案一、预习目标：1 .通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单

8、调性及其几何意义:2 .熟记函数单调性的定义二、预习内容：1 .观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:随x的增大，y的值有什么变化？能否看出函数的最大、最小值？函数图象是否具有某种对称性？2 .画出下列函数的图象，观察其变化规律：(1) f(x) = X从左至右图象上升还是下降?(2)在区间.上，随着X的增 大，f(x)的值随着 .(2) f(x) = -x+2从左至右图象上升还是下降?在区间 上，随着X的增大，f(x)的值随着 .(3) f(x) = x2在区间 上，f(x)的值随着X的增大而 L ，.在区间 上，f(x)的值随着X的增大而 .3 一般地,设函数

9、厅f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量不，x2, (1)当xX2时，都有f(xj f (xj,那么就说f(x)在区间D上是 函数(2)当xX2时，都有f(xj f(xj,那么就说f(x)在区间D上是 函数三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习“你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1 .通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2 .学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3 .能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.学习重点：函数的单调性及其几何意义.学习难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数

10、的单调性二、学习过程例1如图是定义在区间-5, 5上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单 调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：变1r式训练1函数/（x） = 2x在xe1,2上的单调性为（）A.减函数 B.增函数.C.先增后减. D.先减后增例2物理学中的玻意耳定律P二，（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体 积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。，证明：变式训练2若函数），= ?/ + 在（一叫+8）上是增函数，那么 （）A, b>0 B. b<0 C, m>0 D. m<0例3.证明函数y = x + L在（1, +8）

11、上为增函数x解：变式训练3.：画出反比例函数），=1的图象.x 这个函数的定义域是什么？它在定义域/上的单调性怎样？证明你的结论.三、当堂检测1、函数），=一/的单调增区间为（）A. （-8,0B. 0,4-oo）C. （8,+s） D. （-l,+oo）2、函数/（x） = 2/+ 3,当X £ 2,+8）时是增函数，当X £ （8,2时是减函数，则/等于（）A.-3 B. 13 C. 7 D.由m而定的常数k - x3、若函数/*） = -在（一匕0）上是减函数，则k的取值范围是 （）xA.攵=0B.A>0C.ZvO D.ANO4、函数/（x）=lxl的减区间是.

12、5、若函数/（x） = （2/-l）x +在（-8,+s）上是减函数，则？的取值范围是课后练习与提高一、选择题1、下列函数中，在区间(0, 2)上为增函数的是()A. y=-3x+ B. y = yx C. y = x2 -4x + 3 D. y = x2、函数y = Ji +2工一3的单调减区间是()A. (oo,-3 B,1,+s)C. (s,1D.1,+s)二、填空题：3、函数/(幻=3/-6工+ 1, xe (3,4)上的单调性是4、已知函数y = 8r+“x + 5在1,+8)上递增，那么的取值范围是. 三、解答题：5、设函数/(x)为R上的增函数，令尸(x) =/(x)-/(2-x)(1)、求证：厂(不)在R上为增函数(2)、若/(xJ + fX%)。，求证 X+x?>2参考答案例一略变式训练一B 例二略变式训练二C 例三解：设X 则/(内)一/(七)=内+'/-L % %=(.L2)+l中21、= (Xj -x2) 1I J中2%)< x2 X)-x2 < 0 XjX2 e(0J) xAx2 > 0X|X2 一 1 < 0变式训练三略当堂检沸1、A; 2 A; 3、C; 4、 （-co?0; 5、?2 5 ;2课后练习与提高1、B; 2、A;