初中几何中线段和与差最值问题

1、初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。基本图形解析：一）、已知两个定点：1 在一条直线 m上，求一点 P,使PA+PB最小; （1 ）点A B在直线m两侧：: m（2）点A B在直线同侧:22、在直线 m n上分别找两点 P、Q,（1）两个点都在直线外侧:使PA+PQ+Q最小。BPA'B(2)一个点在内侧，一个点在外侧:Q(3)两个点都在内侧:B'B'（4 ）、台球两次碰壁模型变式一：已知点 A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得 围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点 A位于直线m,n的内侧，在直线 m n分别上求点

2、周长最短.P、Q 点 PA+PQ+QAA"*3二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线 m上找一点P,使PA+PB最小（在图中画出点 P和点B） 1两点在直线两侧：2、两点在直线同侧:-：mA'（二）动点在圆上运动点B在O O上运动，在直线 m上找一点P,使PA+PB最小（在图中画出点 P和点B）1点与圆在直线两侧：B'P'2、点与圆在直线同侧:* m16AQh啓BB'三) 、已知A B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定 在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+Q的值最小。(原理

3、用平移知识解)(1 )点A、B在直线m两侧:A作法：过A点作AC/ m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为 P点，此时P、Q即为所求的点。(2)点A B在直线m同侧：1.如图1, / AOB45。，P是/人0呐一点，PO10, Q R分别是OA 0B上的动点，求厶PQR周长的最小值为3琶12、如图2，在锐角三角形 ABC中，AB=4, / BAC=45，/ BAC的平分线交 BC于点D, M,N分别是 AD和 AB上的动点，贝U BM+M的最小值为 .3、 如图3,在锐角三角形 ABC中，AB=52，/ BAC=45 BAC的平分线交 BC于D, M N分别是A

4、D和AB上的动点，贝U BM+MN勺最小值是 。4、如图4所示，等边 ABC的边长为6,AD是BC边上的中线，M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+C啲最小值为.5、如图 5,在直角梯形 ABCD中，/ ABC= 90°, AD/ BC, AD= 4, AB= 5, BC= 6，点 P是 AB上一个动点，当 PO PD的和最小时，PB的长为.6、如图6，等腰梯形 ABCD中, AB=AD=CD=1 / ABC=60 , P是上底，下底中点BEF直线上的一点，贝H PA+PB的最小值为 .7、如图7菱形ABCD中, AB=2, / BAD=6C° , E是AB

5、的中点，P是对角线 AC上的一个动点，贝U PE+PB的最小值为.8、 如图8,菱形ABC的两条对角线分别长 6和8,点P是对角线ACh的一个动点，点M N分别是边AB BC勺中点，贝U PM+P的最小值是 9、 如图9，圆柱形玻璃杯，高为 12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点 A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.10、 如图10所示，已知正方形 ABCD的边长为8,点M在DC上，且DM=2 N是 AC上的一个动点，则 DN+MN勺最小值为 11、如图11, MN是半径为1的O 0的直径，点 A在O 0上

6、， / AMN= 30°, B为AN弧的中点，P是直径 MN上动点，)则PA+ PB的最小值为(A)2(B)(C)1(D)2DL.110C解答题1、如图，正比例函数y1-X的图象与反比例函数2垂足为 M已知三角形点，过A点作x轴的垂线，(1) 求反比例函数的解析式；(2) 如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点 为1,在x轴上求一点 P,使PA+PB最小.ky(k丰0)在第一象限的图象交于x0AM勺面积为1.B与点A不重合)，且B点的横坐标2、如图，一元二次方程x2 2x 30的二根x1 , x2 ( x1 v x2 )是抛物线y ax2 bx c与x轴的两个交点B, C的横坐标

7、，且此抛物线过点A ( 3, 6).(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标；(3)在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标.a yJ/-/ A 门,6)P103、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1, 3 ) , AOB的面积是.3 .(1) 求点B的坐标；(2) 求过点A O B的抛物线的解析式；(3) 在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使厶AOC的周长最小? 若存在，求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由.3184. 如图，抛物线 y =匚x2 x+ 3和y轴的交点为A, M为0A的中点，若有一动点

8、P,自M55点处出发，沿直线运动到x轴上的某点(设为点 E),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F),最后又沿直线运动到点 标，并求出这个最短路程的长.A,求使点P运动的总路程最短的点E,点F的坐A5. 如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，直角梯形 OABC勺边0A在y轴的正半轴上，0C在 x轴的正半轴上，OA=AB=2,003,过点B作BDL BC,交0A于点D.将/ DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y轴的正半轴、x轴的正半轴于点 E和F.(1) 求经过A B C三点的抛物线的解析式；(2) 当BE经过(1)中抛物线的顶点时，求 CF的长；(3) 在抛物线的对称轴上

9、取两点P、Q (点Q在点P的上方)，且PQ= 1,要使四边形 BCPQ的周长最小，求出 P Q两点的坐标.6. 如图，已知平面直角坐标系，A, B两点的坐标分别为 A(2 , - 3),0), D(a+3 , 0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC 的周长最短.J211B-2 1 0012345?£-3冲B（4，- 1）若 C（a ,7、如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点0在坐标原点，顶点 A B分别在x轴、y轴的正半轴上， 0A=3 0B=4 D为边0B的中点.(1) 若E为边0A上的一个动点，当 CDE的周长最小时，求点 E的坐标；E、F(2) 若E、F为边0A

10、上的两个动点，且 EF=2,当四边形 CDEF的周长最小时，求点 的坐标.艸丁*0、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析:1 在一条直线 m上，求一点 P,使PA与PB的差最大;(1 )点A B在直线m同侧: m解析：延长 AB交直线m于点P,根据三角形两边之差小于第三边，P' A P' Bv AB,而PAPB=AB此时最大，因此点 P为所求的点。(2)点A B在直线m异侧:A解析：过B作关于直线 m的对称点B',连接AB'交点直线 m于P,此时PB=PB , PA-PB最 大值为AB练习题1 2 -1. 如图，抛物线y= 4X x

11、 + 2的顶点为A,与y轴交于点B.(1) 求点A、点B的坐标； 若点P是x轴上任意一点，求证：PA- PBc AB当PA- PB最大时，求点P的坐标2. 如图，已知直线 y =+ 1与y轴交于点A,与x轴交于22点D,抛物线y = - x + bx+ c与直线交于 A、E两点，与x轴2交于B C两点，且B点坐标为(1 , 0).(1 )求该抛物线的解析式；(3) 在抛物线的对称轴上找一点M使| AM- MC的值最大，求出点M的坐标.3、在直角坐标系中，点 A B的坐标分别为(一4， 1 )和(一2, 5);点P是y轴上的 一个动点：点P在何处时，PA+ PB的和为最小？并求最小值(1) 求点

12、D的坐标；(2 )过O C, D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使线段PO与 PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标.若不存在，请说明理由.5、抛物线的解析式为 yx2 2x 3，交x轴与A与B,交y轴于C.在其对称轴上是否存在一点在其对称轴上是否存在一点P,使"APC周长最小，若存在，求其坐标；Q使I QB-QCI的值最大，若存在求其坐标6、已知：如图，把矩形 OCBA放置于直角坐标系中， 0C=3 BC=2取AB的中点M连接MC 把厶MBC沿x轴的负方向平移 0C的长度后得到 DAOc7、如图，已知抛物线 Ci的解析式为y=-x2+2x+8,图象与

13、y轴交于D点，并且顶点 A在双曲 线上.(1 )求过顶点A的双曲线解析式；2)若开口向上的抛物线 C与Ci的形状、大小完全相同，并且C的顶点P始终在C1上,4 28、如图，已知抛物线y X bx c经过A(3, 0) , B(0, 4).3(1) 求此抛物线解析式；(2) 若抛物线与x轴的另一交点为 C,求点C关于直线AB的对称点C'的坐标；(3) 若点D是第二象限内点，以 D为圆心的圆分别与 x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、 H,问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P,使得| PH- PA的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。三、其它非基本图形类线段和差最值问题1

14、、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其 他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。1、如图12,在厶ABC中，/ C=90°, AC=4, BC=2,点A C分别在x轴、y轴上, 当点A在x轴上运动时，点 C随之在y轴上运动，在运动过程中，点 B到原点的 最大距离是()A. 2 2 2 B . 2.5C。 2 ： 6 D .6

15、2、已知：在厶ABC中, BC=a, AC=b,以AB为边作等边三角形 ABD.探究下列问题：(1) 如图13，当点 D与点 C位于直线 AB的两侧时，a=b=3，且/ ACB=60°,贝UCD=;(2) 如图 14，当点 D与点 C位于直线 AB的同侧时，a=b=6，且/ ACB=90°,则CD=;(3) 如图15,当/ ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的/ACB的度数.B13图 14glS3、在 Rt ABC中, / ACE=90°, tan / BAC丄点 D在边 AC上 (不与 A, C重合)，连结 BD 2F为BD中点(

16、1) 若过点D作DEL AB于E,连结CF EF CE如图1.设CF kEF，则k=;(2) 若将图1中的 ADE绕点A旋转，使得 D E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2 所示.求证：BE-DE=2CF(1 )若BO6,点D在边AC的三等分点处，将线段 AD绕点A旋转，点F始终为BD中点， 求线段CF长度的最大值.图1备图M为对角线BD (不含B点)上任意4、如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形,一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN连接EN AM CM.求证： AMB2A ENB 当M点在何处时，AM CM的值最小；当M点在何处时，AM BW CM的值最小，并说明理由;BC 当AM BW CM的最小值为.31时，求正方形的边长5、如图，二次函数y=-x 2+bx+c与x轴交于点B和点A ( -1 , 0),与y轴交于点 C,与一次函数y=x+a交于点A和点D.(1) 求出a、b、c的值；(2) 若直线AD上方的抛物线存在点E,可使得 EAD面积最大，求点E的坐标；(3) 点F为线段AD上的一个动点，点F到(2)中的点E的距离与到y轴的距 离之和记为d，求d的最小值及此时点F的坐标.6、如图，抛物