专训4等腰三角形中四种常用作辅助线的方法

1、专训 4等腰三角形中四种常用作辅助线的方法名师点金：几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，例如：作“三线”中的“一线”，作平行线构造等腰 (边 )三角形，利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系作“ 三线 ”中的 “一线 ”1如图，在 ABC 中， AB AC ， D 是 BC 的中点，过点 A 作 EF BC ，且 AE AF ，求证： DE DF.(第 1题)作平行线法2如图，在 ABC 中， AB AC ，点 P 从点 B 出发沿线段 BA 移动，同时，已知点 Q 从点 C 出发沿线段 AC 的延长线移动，点

2、 P， Q 移动的速度相同， PQ 与直线 BC 相交于点D.(1)如图，求证：PD QD.(2)如图，过点P 作直线 BC 的垂线，垂足为E，当 P， Q 在移动的过程中，线段BE ，ED ，CD 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由(第2题)截长补短法3如图，在ABC 中， AB AC ， D 是 ABC 外一点，且 ABD 60°， ACD 60°.1求证： BD DC AB.(第 3题)4如图，在 ABC 中， BAC 120 °，AD BC 于 D ，且 AB BD DC ，求 C 的度数(第 4题)加倍折半法5如图， CE， CB 分别是 ABC

3、， ADC 的中线，且AB AC. 求证： CD 2CE.(第 5题)2答案1 证明： 如图，连接AD. AB AC ，BD CD， AD BC. EF BC ， AD EF. DAE DAF 90°. AEAF ，AD AD ， Rt ADE Rt ADF. DE DF.(第 1题)2 (1) 证明： 如图，过点 P 作 PFAC 交 BC 于 F.点 P 和点 Q 同时出发，且速度相同， BP CQ.PF AQ， PFB ACB ， DPF CQD. AB AC ， B ACB. B PFB. BP FP. FP CQ.在 PFD 和 QCD 中， DPF DQC ， PDF Q

4、DC ， FPCQ， PFD QCD( AAS) PDQD.(2)解： ED 的长度保持不变理由如下：如图，过点P 作 PF AC 交 BC 于 F.由 (1)知 PB PF. PE BF ， BE EF.由 (1) 知 PFD QCD ， FD CD. ED EF FD 1BE CD 2BC. ED 的长度为定值181(第 2题)3 证明： 如图，延长BD 至 E，使 BE AB ，连接 CE ，AE. ABE 60°， BE AB ， ABE 为等边三角形 AEB 60°， AE AB.又 ACD 60°， ACD AEB. AB AC ，AB AE ， AC

5、 AE. ACE AEC. DCE DEC. DC DE. AB BE BD DE BD DC ，即 BD DC AB.3(第3题)4 解： 如图，在 DC 上截取 DE BD ，连接 AE ， AD BC， BD DE ， AD AD ， Rt ABD RtAED. AB AE ， B AED. AB BD CD， DE BD ， AB DE CD. 而 CD DE EC， AB EC. AE EC.故设 EAC C x， AEB 为 AEC 的外角， AEB EAC C2x. B 2x， BAE 180° 2x 2x 180°4x. BAC 120 °， BAE EAC 120 °，即 180 ° 4x x 120 °，解得 x 20°，则C 20°.(第 4题)5 证明： 如图，延长CE 到点 F，使 EF CE，连接 FB ，则 CF 2CE.CE 是 ABCBE AE ，的中线， AE BE.在 BEF 和 AEC 中， BEF AEC ，EF EC， BEF AEC( SAS) EBF A ， BF AC. 又 AB AC ， ABC ACB. CBD A ACB EBF ABC CBF. CB 是 ADC 的中线， AB B