概率统计期末考试卷(附参考答案)

1、概率论与数理统计期末考试卷注：标准正态分布的分布函数值4（1.0） =0.8413, ：“2.575） =0.9950 中（2.81） = 0.9975 ：，（2.42） = 0.99224（1.285） =0.9, 中（1.645） = 0.95, 4（1.96）= 0.975,力（2.33） = 0.9911一、（10分）假设一枚弹道导弹击沉航空母舰的概率为1 ,击伤的概率为1 ,击不中的321概率为1,并设击伤两次也会导致航空母舰沉没，求发射 4枚弹道导弹能击沉航空母6舰的概率？二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。一付 52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块

2、、梅花各 13张，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14）,求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2） 3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3） 3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02;而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。假设过关人中有 96%是非危险人物。问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少这样的检查关卡？四、(8分)随机变量X服从N(N,tj2),

3、求Y = aX (a>0)的密度函数五、(12分)设随机变量 X、Y的联合分布律为:X-1012-2a000-10.14b0000.010.020.03010.120.130.140.15已知 E(X+Y)=0，求：(1)a, b; (2) X 的概率分布函数；(3) E(XY)。六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。 决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。设调查了 n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m,若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在 10%以内，问n应取多大？七、（10分）设二维随机变量（X,Y）在区

4、域：0<x<a, 0<y< b上服从均匀分布。（1）(2)已知 DX =12,DY =36,求参数 a、b; (3)求（X,Y）的联合概率密度及边缘概率密度； 判断随机变量X与Y是否相互独立?八、（8分）证明：对连续型随机变量 以如果E |1|3= c存在，则,>0 , P（|之|>t） 邛。九、（12分）设（X, Y）的密度函数为f(x,y)=Axy,00 ： x 二 1,0 ： y ：二 1其他tX sY.求(1)常数 A; (2) P(X<0.4, Y<1.3) ; (3) Ee ; (4) EX, DX , Cov(X , Y)。十、(8

5、分)电视台有一节目“幸运观众有奖答题”：有两类题目，A类题答对一题奖励1000元，B类题答对一题奖励 500元。答错无奖励，并带上前面得到的钱退出；答对后可继续答题，并假设节目可无限进行下去(有无限的题目与时间)，选择A、B类型题目分别由抛均匀硬币的正、反面决定。已知某观众A类题答对的概率都为 0.4,答错的概率都为 0.6; B类题答对的概率都为0.6,答错的概率都为 0.4。(1)求该观众答对题数的期望值。(2)求该观众得到奖励金额的期望值。参考答案 一、，一、，一1 1,.一、(10分)假设一枚弹道导弹击沉航空母舰的概率为-,击伤的概率为 -,击不中的321概率为1,并设击伤两次也会导致

6、航空母舰沉没，求发射4枚弹道导弹能击沉航空母6舰的概率？解：设A = 第i枚弹道导弹击沉航空母舰 , Bi = 第i枚弹道导弹击伤航空母舰Ci = 第i枚弹道导弹没有击中航空母舰, i=1, 2, 3, 4D= 发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰111P(A )=二，P(Bi 十二,P(Ci )=-, i = 1, 2, 3, 4326P D )：=P C1c2c3C4P B1c2c3C4PC1B2c3C4P C1C2B3C4P C1c2c3B413P D 1=1 -P D j>1 - - = 0.9964二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。一付 52张的牌（四

7、种花色：黑桃、红心、方块、梅花各 13张，即2-10、J、Q、K、A）,求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率;（2） 3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率;（3） 3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。 解：（1） A= 同花顺（5张同一花色连续数字构成）4 (13-4)C2_ 36= _ 5C52（2） A= 3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）1312C13c4c12c4C52（3） A= 3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）1 3211C13c4c12c4c4C52三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人

8、物的概率是0.02;而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。假设过关人中有 96%是非危险人物。问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？解：（1）设人=被查后认为是非危险人物, B= 过关的人是非危险人物,则P A = PBPAB P B P AB = 0.96 0.98 0.04 0.05 = 0.9428,、P（B P（A|B）P（B A ）= = 0.998P（A）（2）设需要n道卡，每道检查系统是相互独立的，则Ci=第i关危险人物被误认为非危险人物, pLiCn = 0.0

9、5n，所以ln 0.0001ILln 0.0051=3.0745+1 = 4nln 0.0001 口1 -0.05 之 0.999 , n 之,即 n =ln 0.05四、（8分）随机变量X服从N（N,。2）,求丫 = 2、旧>0的密度函数解：当 a=1 时，Y =1,则 FY(y )=，01当 0 <a<1 时，当 y W0 时，FY(y)=P(Y <y)=0, fY (y ) = dFdy-L 0 dy当 y >0 时，FY(y )=P(aX <y )=P(Xina <in y)In y、''FY(y )=P X >- 1=1

10、 -P X <IIna JIIn y1 ：，In aUna JfY y =dFY ydy(yJ2In a 2C当 a>1时，当 yE0时，FY(y 尸 P(Y <y)=0, fY(y )= dF"y)= 0dy当y >0时,FY(y)=P(XM射'0由1 In a J ln a，(妇J2ln a-2p-1012-2a000-10.14b0000.010.020.03010.120.130.140.15dy yln a；【2二五、(12分)设随机变量 X、Y的联合分布律为:已知 E(X+Y)=0，求：(1)a, b; (2) X 的概率分布函数；(3)

11、E(XY)。 解：(1) E(X+Y)=-3a - 2 0.14 -b -1 0.01 1 0.03 1 0.13 2 0.14 3 0.15=-3a -b 0.6 =0a 0.14 b 0.01 0.02 0.03 0.12 0.13 0.14 0.15 = a b 0.74 =1联立解得：a =0.17, b =0.09(2) X的概率分布函数：X-2-1010.170.230.060.54(3) E(XY) = 2乂0.17+1黑0.141父0.12+1黑0.14 + 2黑0.15 = 0.8六、(10分)某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。决定在某天中午,随机地对用过

12、午餐的同学进行抽样调查。设调查了 n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m,若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在 10%以内，问n应取多大？mppp解:Pm_p <0.1?之 0.95,因n. N(0,1)Jn,(pc-p),n0.1 " u 0.975 p 1 - p= 1.96n >（19.6 f p0 - p ）;因为 p（1 p ）E1/4 ,取 n 之（19.6 f /4=96.04 即 n = 97七、（10分）设二维随机变量（X,Y）在区域：Gcxca, 0<y <b上服从均匀分布。（1）求（X,Y）的联合概率密度

13、及边缘概率密度；（2）已知DX =12,DY =36,求参数a、b; （3）判断随机变量X与Y是否相互独立？解：（1）二维随机变量（X,Y）的联合概率密度:f(x, y) =«1/ab,0 : x :二 a,0 二 y :二 bothers边缘概率密度：fx（X）=«7/a, .0，0cx < a others JY(y)= 1/ b, 0 < y < b、0, others DX =(1/12)a2 =12,DY =(1/12)b2 =36, a=12,b=12收（3）随机变量X与丫相互独立，因为f（x, y）= fX（x）fY（y）八、(8分)证明：如

14、果E|"3 = c存在，则P(| |>t) <3-Ixl3Ixl3E I I3解：P(| | t) = dF(x) ； "dF(x)三.WdF(x)=- |x| t|x| t t|x| 0 tt九、(12分)设(X, Y)的密度函数为Axy, 0<x<1,0<y<1f(x，y) = ：0其他ct3求(1)常数 A; (2) P(X<0.4 , Y<1.3) ; (3) EetX +丫；(4) EX, DX , Cov(X , Y)。1解：(1) f f (x, y)dxdy=二二,二二0(沁ydy：dx=? = 1, A= 4

15、x = 0.160.4(2) P(X<0.4, Y<1.3)=(3) EetX 新etx 由y4xydy dxtx e4xsy 1ye-;tesydy dxs=4 -s11=0.02st t(4) EX4x ydy dx = - , EXj.&ydy dx = 22DX = EX2214- EX =2一99，e(xy)=10 941 2 24x2y2Cov X,Y = EXY - EX EY2 2c 03 3十、（8分）电视台有一节目“幸运观众有奖答题”：有两类题目，A类题答对一题奖励1000元，B类题答对一题奖励 500元。答错无奖励，并带上前面得到的钱退出；答对后可继续答，选择A、B类型题目分别由抛硬题，并假设节目可无限进行下去（有无限的题目与时间） 币的正、反面决定。已知某观众A类题答对的概率都为0.4,答错的概率都为0.6; B类题答对的概率都为 0.6,答错的概率都为 0.4。（1）求该观众答对题数的期望值。（2）求该观众得到奖励金额的期望值。解：（1）设亡表示该观众答对题数，0 =0,1,2，则第$1次解答答错（即首次出错） 答对一题的概率为P（答对题）=P（答对A题选择A题P（选择A题片P（答对B题选择B题P选择B题） =0.4 0.5 0.6 0.5 =0.5答错一题的概率为0.5所以