均匀传输线方程的正弦稳态解

1、§14.3 均匀传输线方程的正弦稳态解14.3.1 传输线上的电压（电流）相量本节主要研究当传输线的始端接正弦激励源时电路的稳态分析。在前面第七章的中研究过集总参数电路的正弦稳态情况。对于集总参数电路而言，当激励源为正弦信号时，电路中的任一电压和电流应为和激励源同频率的正弦量。对于本章中所研究的分布参数电路，当传输线的始端接正弦电源时，虽然传输线上的电压、电流和距离有关，但仍为和激励源同频率的正弦时间函数，这一点和集总参数电路是相同的。在第七章中，使用了相量法分析电路的正弦稳态情况以简化计算，这一方法仍可用于分布参数电路的正弦稳态分析中。根据相量法的基本思想，先应将待求量用其相量表示

2、出来。现在的待求量是和，根据相量法的基本思想，其相量应表示如下 （14-2）其中、分别为、的相量，是的函数。这一点和第七章所涉及的相量是有区别的。为方便，将、简写为、。将式（14-2）代入式（14-1）中，可得含待求相量的方程为 （14-3）其中为单位长度的阻抗，为单位长度的导纳。因为、仅为的函数，所以偏导数变为全导数。为方便求解，对式（14-3）两端再取一次的导数得将式（14-3）中的和的表达式代入上式的右端，可得其中，是一个没有单位的复数，称为均匀传输线的传播常数。上式是两个线性常系数的微分方程，故其解的形式应为其中、为待定的系数，但这四个系数不是独立的，因为根据式（14-3）有令，可见和

3、、和的关系为，故电流又可写为式中是一个复数，有阻抗的单位，称为传输线的特性阻抗。特性阻抗和前面谈到的传播常数是两个很重要的概念，后面会用来表征均匀传输线的主要特性。综上所述，要求解和，可先解出其相量和，其表达式为 （14-4）式中的、统称为均匀传输线的副参数，在已知均匀传输线的原参数后即可求出两者的值，所以只要求出待定系数、后就可以写出、的表达式了。、可通过两种方法求得。图14-8 均匀传输线电路（1）根据始端条件待定。设已知始端的电压和电流分别为和，参考方向如图14-8所示。因为始端是传输线上的位置，所以将代入式（14-4）中有从上面的方程中可解得待定系数、为代入式（14-4）中有 （14-

4、5）式（14-5）就是均匀传输线方程的正弦稳态解。为方便表示，利用双曲函数式（14-5）又可写为 （14-6）（2）根据终端条件待定。设已知终端处的电压和电流分别为、，参考方向如图14-8所示。因为终端是传输线上（为线长）的位置，所以将代入式（14-4）中，有从上式中可解得代入式（14-4）中可得均匀传输线方程的正弦稳态解的另一种表达式为因为代表的是线上一点到始端的距离，代表线长，所以代表的就是线上一点到终端处的距离。令，则上式又可写为 （14-7）注意式中的指的是到终端的距离。利用双曲函数，式（14-7）又可表示为 （14-8）可见，只要始端或终端的条件任意知道一个，就可以求出待定系数、，从

5、而求得传输线的电压相量和电流相量。在使用式（14-5）和（14-7）计算时，请特别这两个表达式之间的异同。14.3.2 传输线上的电压（电流）的时域表达式在求得传输线上的电压和电流相量后，即可根据相量和正弦量的关系写出传输线上的电压和电流的时域表达式和了。为方便后面讨论，将式（14-4）写成如下两个分量之和其中，由于、均为复数，为方便写出和的时域表达式，分别将、用复数的代数式或极坐标式表示如下则各电压、电流分量可表示为由上式可写出传输线上的电压和电流的时域表达式为可见，传输线上的电压和电流均由两个分量叠加得到，每个分量均是、的二元函数。下面来研究电压和电流的表达式中的两个分量的物理意义。14.

6、3.3 均匀传输线中的行波对于分量，由波动学的知识可知，这是一个以速度从始端向终端传播的衰减的正弦波。图14-9（a）作出了三个不同时刻的沿线分布的情况。对于分量，这是一个以速度从终端向始端传播的衰减的正弦波。图14-9（b）作出了三个不同时刻的沿线分布的情况。根据其传播方向，通常将称为电压的正向行波或入射波，称为电压的反向行波或反射波。传输线上的电压就可以看作是由这两个传播方向相反的衰减正弦波叠加而成的。注意，此时、和这三者的参考方向是相同的。如图14-9（c）所示。t 1t 2t 3t1<t2<t3ou-(a)ot 1t 2t 3t1<t2<t3（b）(c)图14-

7、9 均匀传输线的传播同理，电流分量是以速度从始端向终端传播的衰减的正向行波（入射波），是以速度从终端向始端传播的反向行波（反射波），传输线上的电流就可以看成是这两个传播方向相反的正弦波叠加而成。注意，此时和的参考方向相同，和的方向相反。如图14-9（c）所示。将传输线上的电压（电流）看成是由入射波和反射波叠加而成的是有其原因的。入射波是从始端向终端传播的，反映着电源向负载供给能量的情况；反射波是从终端往始端传播的，反映着负载将能量返送回电源的情况。从上面的分析可以看出，均匀传输线上的电压（电流）的入射波和反射波的振幅沿其传播方向都是衰减的，其衰减的原因可以从能量的角度加以解释。因为振幅的大小代

8、表了正弦波的能量，正弦波在均匀传输线上传播时，其能量会被传输线的电阻和电导消耗，正弦波传播的距离越远，其能量就被消耗的越多，故入射波和反射波的振幅都会随着传播距离的增加而逐渐衰减。14.3.4 反射系数及匹配的概念终端处的反射系数为该处反射波与入射波电压相量或电流相量之比，即反射系数是一个复数，由式（14-7）可知，可见，时，此时传输线中只有入射波，没有反射波，这种情况称为终端阻抗和传输线阻抗相匹配。对通信线路和信号接收设备而言，均要求匹配，避免反射。当传输线的终端开路（）或短路（）时，即，此时称终端处产生了全反射。从能量的角度很容易解释产生全反射的原因，入射波行进到终端后，因为终端处没有可以

9、消耗能量的元件，所以终端处的入射波和反射波是等幅的。§14.4 均匀传输线的原参数和副参数14.4.1 研究的问题在前面谈到， 、称为均匀传输线的原参数，传播常数和特性阻抗就称为均匀传输线的副参数。在本节中，主要研究当原参数和激励源的角频率发生变化时副参数的变化情况，并结合上一节中传输线上电压和电流的表达式讨论副参数的变化对传输线上的电压和电流的影响。14.4.2 均匀传输线的传播常数1. 和原参数及的关系根据的定义可得 （14-9）从上面的表达式可以看出，、都和激励源的角频率有关，它们随的变化情况如图14-10所示。从图中可看出，当很高时，近似为一常数；为的增函数，当很高时，随近似

10、成正比增加，此时。图14-10 和的频率特性2的变化对传输线上电压和电流的影响为方便讨论，将上一小节解得的传输线上的电压和电流的表达式重写于下式中（）因子的衰减速度决定了电压（电流）行波衰减的快慢程度，而（）因子的衰减速度又取决于的实部。越大，（）的衰减速度就越快，相应的，电压（电流）的行波衰减程度就越快，即是说在相同的传播距离内，消耗在传输线上的能量就越多。故也称为衰减常数。由于行波的速度，波长，可见，的虚部的大小影响着行波的速度和波长。也称为相位常数。3. 无畸变线根据傅立叶变换的基本知识，一个非正弦的周期信号可看成是一系列频率不同的谐波（正弦波）分量合成的。当一个非正弦周期信号沿均匀传输

11、线传播从始端向终端传播时，由于各谐波分量的角频率不同，故对于各谐波分量而言，衰减常数和相位常数也是不相同的，所以各谐波分量在传输线上传播时，其衰减程度和传播速度都不尽相同，这就导致这些分量传播到终端后合成的信号和始端信号在波形上产生差异，也称信号在传输过程中产生了畸变。从上面的分析可以看出，若要求非正弦信号沿传输线传播时无畸变，则非正弦信号的各次谐波分量在传播过程中发生同样程度的衰减且以相同的速度传播。考虑到衰减程度和有关，而传播速度取决于的值，故无畸变的条件就是要求为常数且和成正比。满足无畸变条件的传输线就称为无畸变线。当传输线的原参数满足条件时，由式（14-9）可得，此时和满足无畸变条件，传输线为无畸变线，故常常也将称为传输线无畸变的条件。另外，当信号的角频率很高时，从图14-10中可见，和近似满足无畸变条件，此时传输线也接近于无畸变线。14.