浅谈中学阶段数系的两次重要扩充

1、浅谈中学阶段数系的两次重要扩充 高二甲组 耿先亮中学阶段数系有两次较大的扩充从有理数集Q到实数集R，从实数集R到复数集C的扩充。.数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程,同时体现了数学发生发展的客观要求.新课程标准(普通高中)要求学生在问题情景中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则,方程求根等)在数系扩充中的作用,感受人性理性思维的作用以及数学与现实世界的联系.本文以此为基准,初步探讨了数系两次扩充的必要性和实数、复数的引入过程.1. 有理数集Q的局限性单位正方形的对角线长满足方程,而方程. 在有理数集Q中无解,显然我们认为此方程应该有解.在几何方面,对于圆周率,它

2、是作为圆周长与其半径之比来定义的,已经知道了它的一些近似值,比如,3.14,3.14159,3.1415926,但这些都不是它的真值,”的值究竟等于多少呢?”在有利集Q中,无法将其描述出来.要使方程有解, 的真值可以描述出来,必须扩充数系. 现在从另一个角度来说明有理数集Q的局限性.考虑有理数列:0 无限增大其分子和分母,也就是说让n一直增加.当n增加1时,它的分子和分母都增加1, 的项最后越来越接近1,并且只要这一数列的项充分多,所得到的数就会如我们所想象的那样接近1.即:不论一个如何小的(比如),可以在数列1中找到充分远的项,使得它与1的距离不超过次数.考虑另一有理数列:1,1+1,1+1

3、+, 用表示这个有理数列的项,即, ，当n越来越大时,与变得越来越互相接近, =.因此只要n取充分大, -就变得要多么小有多么小, 例如,当n6时,有<. 是否存在一个有理数,使得当n充分大时, 可以变得要好多么小有多么小?如果不存在,而又希望数列与数列一样,满足此性质,就必须扩充有理数,在新的数系中构造出这个数.事实证明:这样的有理数是不存在的.用反证法证明如下: 假设存在一个有理数使得当n充分大时，可以变得要多么小有多么小.数列的项是严格增大的，因此必大于任何一个数.考虑正数.由容易看出此正数k且.当时，.又.当时，对于一切充分大的n，不小于，由于q是不依赖于n的一个固定数，所以不能

4、使变得要多么小有多么小.若假设成立，则只能k=1. 下证：即使k=1, 也不可能变得要多么小有多么小.因为<.当k=1时，>=,由于q是一个固定的数，因而上式右端式一个固定的数，所以上式说明决不能小于这一正数.从而证明了不可能有这样的存在.这说明,在有理数集Q中,存在一个洞,我们可以用数列趋近的那个数来塞住这个“洞”. 无论是从方程、几何还是数列方面，有理数已不够用，数系必须要扩充以满足需要。在这里，我们把有理数及扩充后所得的数系称为实数集R. 2实数集R的引入 有理数的直观形式，就像是中间夹有洞的一排点，而这些洞，由前面可知可以用充分远的项越来越接近的有理数列来逼近. 有理数列：

5、1，1，1,1, 1,1-, , 1,1+, , 观察立即可知，当n充分大时，数列各自的项越来越接近，并且都趋近于有理数1.有理数列: 1,1+1,1+1+, 1-1,1+1-, 当n无限大时, 趋近于0.观察可得:当n充分大时,数列各自的项越来越接近,并且都趋近于同一个数,这个数不是有理数(这个数就是著名的数e,是自然对数的底). 现在,将所有满足以下条件的有理数列分组:对有理数列,当n不断增加时, 与越来越接近;n充分大时, 趋近于同一个数(这个数不一定是有理数).分组的要求是:数列的项趋近于同一个数的有理数列分到同一个组,同时此组中不包含不趋近于表示这组有理数列,也就是说,把数与数列的项

6、越来越趋近于的有理数列的集合视为一致.例如,数列都趋近于1,在同一个组,用数1代表这个组;数列都趋近于数e,用e表示这个组.当然,在数1或者数e所表示的组中,不是只含有数列或者数列,而是包含所有充分远项趋近于数1或者数e的有理数列.像数1,数e这些代表一个组的数的集合我们称为实数集. 有理数集Q被自然嵌入到R中.因为任一有理数,都可以构造出一个常数列: , ,此数列的各项都等于,满足上述条件,可以用数来代表这个有理数列所在的组,即R,同时Q,从而QR.而R中,Q里的“洞”被补上,R是完备的,即R中没有“洞”。R中的数铺满整个数轴.下面讨论一下R的序关系.要定义R的序关系,首先引入一个记号,它表

7、示满足上述条件的有理数列趋于.仿照有理数中的大小关系定义，规定:设.如果使得对于充分大的n,则说（或）.如有理数中一样，“”意味者但.则有：若,则对于一切.若且,则.由此很容易得出是R的全序，即R中任意两个元素是可以比较大小的.并且在R中给定任一，存在使得,也就是说，可以在任何非零实数与零之间插入有理数.3复数的引入有理数扩充到实数,使得数轴上不再存有“洞”,即数轴上的点与实数一一对应,这一切似乎变得很完美了.但是方程在实数R中无解.要使此方程有解,R显得不够用了,进一步扩张数系已是必然.我们希望在扩大的数系C中,Cx的每一个正次数多项式在C中有零点. 前面已经说明,实数铺满了整个数轴,我们不

8、能在单个数轴上进一步的扩充,联系到坐标几何平面,受到启发可将实数作为x轴,并且定义法则: 可将R开拓到.第一个等式是中的普通向量加法., 为坐标轴上的单位点.(1,0)相当于单位元素1,任一,等同于(即R等同于x轴).定义=-1,则(0,1)为y轴的单位点.因此可写为.又由定义可得,从而可写为.容易验证乘法是结合,交换的,加法是分配的,而如果非零,则有倒数.这样,由与上面给定的法则所组成的三元组(,+,)就是扩大R所得到的新数系-复数域C.在C中,所有的复系数方程均有解, 自然有解,这是R不具有的性质.但是,由于1,-1都是C中的平方数,这在R中是不存在的,它导致在C中元素不是所有的都能两两比较大小,即C不具有一些R所具有的性质.4.超出C的数系的扩张从实数集R到复数集C这一数系的扩张并不是数系扩张的终结,只要我们丢掉C的某些性质,我们就可以得到新的数系.例如,如果丢掉乘法交换律,就可以将C扩张到四元数的代数H,它是