4.4万有引力与天体运动

1、4.4万有引力与天体运动一、考点聚焦12.万有引力定律n21 万有引力定律的应用人造地球卫星的运动(限于圆轨道)22.宇宙速度 I二、知识扫描1.万有引力定律：(1) 内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的 积成正比，跟它们的 距离的平方 成反比.(2) 表达式：F =6匕警 r为两质点或球心间的距离；G为万有引力恒量(1798年由r英国物理学家 卡文迪许 利用扭秤装置测出)G = 6.67 10 J1 N m2 / kg2(3) 适用条件：适用于 两个质点 或均匀球体2万有引力定律的应用(1 )行星表面物体的重力：重力近似等于万有引力(2)重力加速度：MmGM表面

2、重力加速度：G2 mg0. g02RR轨道上的重力加速度:GMmGMR h 2 _ 盹 § _ R h 23. 天体的运动(1 )运动模型：天体运动可看成是 匀速圆周运动一一其引力全部提供 向心力(2 )人造地球卫星：由GMrr越大,v越小.由GMmGM 3 r越大,3越小.由Mmg7I r可得:<T丿T=2,r3 GMr越大，T越大.由二ma向可得：aGM r越大，a向越小.r4. 宇宙速度(1 )第一宇宙速度：v=7.9km/s可理解成：是发射卫星进入最低轨道所必须具有的最小速度.是卫星进入轨道正常运转的最大环绕速度，即所有卫星的环绕速度均小于7.9km/s.(2 )第二宇

3、宙速度：v=11.2km/s(3 )第三宇宙速度：v=16.7km/s三、好题精析例1.从地球上发射的两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为Ra : Rb=4 : 1，求它们的线速度大小之比.下面是某同学的一种解法，请判断其解法是否正确若是正确的，请你作出评价；若是错误的，请分析其出错的原因并给出正确的解答.2解：卫星绕地球作匀速圆周运动所需的向心力F向=mg=m R设A, B两颗卫星的质量分别为mA、mB,则mAg=mA(1)RamBg=mB2VbRB由、得vA = Ra vB Rb解析这种解法不对.错在没有考虑重力加速度与高度有关.根据万有引力定律知道:M地mAmAgA=

4、G2RaM地mBmBgB=G2Rb由(1)/得,= rA =xg b Rb 161gA = gB16可见，该同学把 A、B两卫星的重力加速度 gA, gB当作相同的g来处理是不对的. 正确解答：卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有2M地mAVaG 2=mARaRaM 地 mBvBG 2 =mBRbRb由/，得vARbVbRaVaVb它的点评物体的重力和地球对该物体的万有引力可认为相等，由此可计算出重力加速度的值, 由结果可知，随着物体位置的提高， 重力加速度随之减小，物体置于高度不同的位置，重力要发生变化.例2 在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星它们围绕

5、两球连线上的某一点作圆周运动由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变已知两星质量分别为Mi和M2，相距L,求它们的角速度.解：如图4-4-1所示，设Mi的轨道半径为1, M2的轨道半径为 3, 由于两星绕0点做匀速圆周运动的角速度相同，都设为 ,根据牛顿第二定律有：-MM 一 2G 12 2 = M r1L2GM1M22= M r2L2而 r1r L以上二式联立解得：10 G(M1 M2)LLM?0M2*图 4-4-1点评：双星之间的万有引力是一对相互作用力，分别提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们能在引力作用下不相互靠近而保持距离不变，且角速度相同；这类双星模型在列方程时要注意：用万

6、有引力定律时两颗星之间的距离与向心加速度中星球作匀速圆周运动的轨道 半径不等.例3.某星球自转的周期为 T,在它的两极处用弹簧秤称得某物重为W,在赤道上称得该物重为W',求该星球的平均密度 二解析在星球的两极物体受星球的引力与弹簧的弹力作用，因该处的物体无圆运动，处于静止状态，有F引=W =6也$ R又M二2二二 4二R3,代入 式后整理得3W34 兀 GRm在星球赤道处，物体受星球的引力与弹簧的弹力作用，物体随星球自转做圆运动，所以WT2又F引二WW W4二2mR2(W -W )T2-_24 二整理后得:3W 二GT2(W -W )点评题目中弹簧秤称得物重 W与W，实质上是弹簧秤的读

7、数，即弹簧的弹力，它不一定 等于万有引力，另外还要判断出物体在两极和赤道处的意义，才能想到用牛顿第二定律列方程，因此做题时正确地阅读题目弄清它的物理含义对解题十分重要.例4.如图4-4-2所示为宇宙中有一个恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星0运行轨道近似为圆，天文学家观测得到 A行星运动的轨道半径为 Ro,周期为T。.(1 )中央恒星O的质量是多大？(2)长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔to时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星 B (假设其运行轨道与 A在同一平面内，且与 A的绕行方

8、向相同)，它对A 行星的万有引力引起 A轨道的偏离根据上述现象及假设，你能对未知行星B的运动得到A *0龟%<h图 4-4-2哪些定量的预测.解析(1)设中央恒星质量为 M , A行星质量为m,则有MmR0= m()2RoT023解得：M =4 RoGTo2(2)如图4-4-3所示，由题意可知：A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔to时间相距最近设 B行星周期为Tb，则有:to toToTb解得：TBTotto To该B行星的质量为 m',运动的轨道半径为Rb，则有G 啤=m ()2RbRbTb由、可得:Rb = Rot0-To)2点评本题的难点是运动模型的建立，A、B相距

9、最近时，B对A的影响最大是一个重要的隐含条件，在时间to内A、B运动的物理量间的关系是列方程的一个重要依据，做这种题型时要注意认真读题，挖掘出这些条件本题中根据周期可求出角速度；根据B行星运动的半径可求出B行星的线速度和向心加速度.例5.某网站报道：最近南亚某国发射了一颗人造环月卫星，卫星的质量为1000kg ,环绕周期为1h一位同学对新闻的真实性感到怀疑，他认为，一是该国的航天技术与先进国家相比还有差距，近期不可能发射出环月卫星；再是该网站公布的数据似乎也有问题，他准备用所学知识对该数据进行验证.他记不清引力恒量的数值且手边没有可查找的资料，但他记得月球半径约为地球半径的11，地球半径为64

10、00km，月球表面重力加速度约为地球表面的，地球表面的重力加速度46可取10m/s2，他由上述这些数据经过推导分析，进一步认定该新闻不真实.请你也根据上述数据，运用物理学的知识，写出推导判断过程.解析设月球的质量为 M，半径为ro,卫星的质量为 m,环绕周期为T,半径为r，有Mm 22兀 2r3G 一2m r =m () r 得 T=2 冗，(1)rTGM在月球表面，有Gm=m 'ro2得GM=g月r0Tmin =2 nro(3)代入（1 ）式，得 T=2 n r 2（2）V g月 r°由（2）可知，卫星轨道半径r越小，周期T则越短，取r=r 0,周期有最小值 TminTmi

11、n =2 nr地/4=2 n2g地S=6000s=1.7h据题意，r 地=4 ro，g地=6g月 代入（3）式，得由于环月卫星的周期至少要1.7h，远大于新闻中环月卫星周期1h,所以新闻报道中数据有误.点评本题牵涉到两颗星球的两颗卫星，由题意，应根据人造环月卫星的周期判断新闻是否 真实.由于它们的运动模型相同，因而只要研究其中的一个列方程求出通式，再用比值法就很容易地求出人造环月卫星的周期的特点，为判断提供证据.四、变式迁移1人造地球卫星的轨道可以是这样的（）A .与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆 B 与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆C.与地球表面上的赤道线是共面同心圆

12、，且卫星相对地球表面是静止的 D .与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的2 .如图4-4-4所示，离质量为 M、半径为R、密度均匀的球体表面R远处有一质量为 m的质点，此时M对m的万有引力大小为当从M中挖去一半径为r=R/2的球体时，剩下部分对m的万有引力为F2，求F!与F2的比值.设想把物体放到地球的中心，则此物体此时 与地球间的万有引力是多少？图 4-4-4五、能力突破1. 卡文迪许巧妙地利用扭秤装置，第一次在实验室里测出了万有引力恒量的数值，在他的实验装置中，下列哪些措施是为了测量极小的引力而采取的? A .将测量力变为测量力矩B .使固定小球的质量尽可能大些C.

13、 用镜尺法显示扭秤的偏转情况D. 把实验装置放在恒温箱内2. 下列说法中正确的是（）2倍时，向心力将增大到 2倍2倍时，向心力将减小到原来的2倍时，向心力减小为原来的1/21/4A .因F=m® 2r，所以人造地球卫星轨道半径增大到B .因F=mv2/r，所以人造地球卫星轨道半径增大到C.因F=GMm/r2，所以人造地球卫星轨道半径增大到D .仅知道卫星轨道半径变化，无法确定向心力的变化3. 在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力常量G在缓慢减小.根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相 比（）A .公转半径R较大C.公转速

14、率v较大B .公转周期T较小D .公转角速度3较小4.已知第一宇宙速度为7.90千米/秒，如果一颗人造卫星距地面的高度为3倍的地球半径,它的环绕速度是（）A . 7.90km/s B . 3.95 km/sC. 1.98km/sD .由于卫星质量不知，所以不能确定5. 如果有一星球的密度跟地球的密度相同，又已知它表面的重力加速度是地球表面重力加 速度的2倍，则该星球质量与地球质量之比是（'；11A. -B. 2C. 8D.-286. 利用下列哪组数据，可以计算出地球质量（）A .已知地球半径和地面重力加速度B .已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期C. 已知月球绕地球作匀速圆周

15、运动的周期和月球质量D. 已知同步卫星离地面高度和地球自转周期7. 地球的公转周期和公转轨道半径分别为T和R;月球的公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为（）TrtR23T rB.3t2R3C.t2R3T2r3T2rt2R& 地球半径R=6400km，地面上的重力加速度 g=9.8m/s2，地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34% .试估算地核的平均密度.（结果取两位有效数字）.9.两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动.地球半径为 等于R, b卫星离地面高度为 3R.则（1） a、b两卫星周期之比为 Ta： Tb是多少？（2 ）若某时刻两卫星正好同时通过地