3圆锥曲线的性质与结论-简单难度-讲义

1、圆锥曲线的性质与结论知识讲解、直线与圆锥曲线的位置关系1. 直线与椭圆的位置关系位置关系：相交、相切、相离.判定条件：设直线1 : Ax By C 0，椭圆方程C : f（x，y）0，由:x, C 0消去 y （或消去 x）得：ax2 bx c 0 . b2 4ac,0 相交，直线与椭圆有两个交点；0 相离，直线与椭圆无交点；0 相切，直线与椭圆有一个交点.2. 直线与双曲线的位置关系位置关系：相交、相切、相离；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切;判定条件：Ax By C 0 设直线1 : Ax By C 0，双曲线C : f (x, y) 0 ,由f(x, y

2、) 0消去y （或消去x ）得：ax2 bx c 0 .2右 a 0, b 4ac,0 相交，直线与双曲线有两个交点；0相离，直线与双曲线无交点；0 相切直线与双曲线有一个交点.若a 0，得到一个一次方程，与双曲线相交，有一个交点，I与双曲线的渐近线平行.3. 直线与抛物线的位置关系位置关系：相交、相切、相离.对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；判定条件：设直线 I : Ax By C 0，抛物线 C : f (x, y) 0 ,由 A By C °f(x, y) 0消去y （或消去x ）得：ax2 bx c 0 .2右 a 0, b 4ac,0 相交

3、；0 相离；0 相切.I与抛物线的对称轴平行.若a 0,得到一个一次方程，与抛物线相交，有一个交点,4.圆锥曲线的弦：连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.求弦长方法:1）将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来 求；2）如果直线的斜率为 k，被圆锥曲线截得弦 AB两端点坐标分别为（洛，yj ,（X2 ,2），则弦长公式为 | AB | 1k2 Xi X2 , 1yi y2 两根差公式：如果 为,冷满足一兀二次方程：ax bx c 0 ,则xi沁J仆J J 4寸耳尹咅（0）注意:（1）讨论直线与圆锥曲线的位置关系一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立成方程

4、组，消兀（x或y ）,若消去y得到ax2 bx c 0，讨论根的个数得到相应的位置关系，这里要注 意的是： 二次项系数a可能有a 0或a 0两种情况，只有当a 0，才能用 判断根的个数； 直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但有一个公共点不一定相切.（2 ）在讨论直线与双曲线的交点时，要注意数形结合的方法，结合图象作出判断有时更方 便快捷，要注意双曲线的渐近线的斜率，以及直线与渐近线的斜率比较.（3）当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含

5、条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就 能事半功倍.、圆锥曲线的常用结论1.椭圆1)点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的外角2) PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直3)径的圆，除去长轴的两个端点以焦点半径PFi为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切4)2 2若R(x),yo)在椭圆 爲 爲1上，则过R的椭圆的切线方程是a bXoXyoy孑眉1.5)2_ z 、x右Po (Xo, yo)在椭圆v a1外，则过FO作椭圆的两条切线切点为P、P2，则切点弦pp的直线方程是xo2xay)y1.2x6)椭圆a£ 1 (3bb 0)的左右焦点

6、分别为Fi , F2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为 S f1pf2b2 tan2.2x7)椭圆右a2y_b2(a b 0)的焦半径公式:|MR|IMF21 a ex)(F1( c,0),F2(c,0) , M (xo,yo).2xAB是椭圆丐a2y_b21的不平行于对称轴的弦，M(X), yo)为AB的中点，K ABb2x)20a yo若 P)(xo,y°)在椭圆22xy 1内，则被P)a b所平分的中点弦的方程XoXy)y2ab22Xo2a2y。b210 ）若2 X p3（X0,yo）在椭圆 a2y21内，则过R的弦中点的轨迹方程是b22XyX0Xyoy

7、2 ab22 ab2 2.双曲线1）点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的内角2） PT平分 PFiF在点P处的内角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点 .3） 以焦点半径pf1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切（内切：P在右支；外切：P在左支）4 ）若2XR（xo,yo）在双曲线?a2y_b1 （a0,b0）上，则过P0的双曲线的切线方程是X0X2a5）若2 y b21 （a0,b0）外，则过P）作双曲线的两条切线切点为P、P，则切点弦PB的直线方程是X0X2ayy 1盲1.6）双曲线笃 1 （a 0,b 0）的左右焦点分别为bFi，F2，点P为双曲线上任意一点则双曲线的焦点角形的面积为Sb2F1PF2tan27）双曲线0,b 0）的焦半径公式：（吒（c,0） , F2 （c,0）当M（Xo, y°）在右支上时,| MR | ex0 a, | MF21 ex0 a.当M（Xo, y°）在左支上时,| MF1 | ex3 a , | MF21 ex；3 a8） AB是双曲线22xy22ab1 （a0,b 0）的不平行于