1.2命题、充要条件

1、§.2命题及其关系、充分条件与必要条件普 纲解读|权威關读 科学预测1. 理解命题的概念.2. 了解 若p,则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.本节内容多以选择题与填空题的形式出现，是高 考热点内容之一，一般以高中数学知识为载体，考查 学生的逻辑推理能力，掌握本节内容的关键是深刻理 解相关概念.考；S梳理赛思封笔务实基咄1. 命题的概念(1) 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题，其中的语句叫做真命题， 的语句 叫做假命题.(2) 在两个命题中，如果一个命题的条件和结

2、论分 别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为(3) 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的 两个命题称为.(4) 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的 两个命题称为.(5) 一般地，设 若p，则q”为原命题，那么就叫做原命题的逆命题；就叫做原命题的否命题； 就叫做原命题的逆否命题 .2. 四种命题的相互关系(1) 四种命题的相互关系图(请你补全)若戸.则g互逆原侖題互(2) 真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有 的真假性，即等价； 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性.3. 充分

3、条件和必要条件(1) 如果p q，则称p是q的，q是p的.(2) 如果，且，那么称p是q的充分必要条件，简称 p是q的，记作(3) 如果p= q，但q p，那么称p是q的条件.(4) 如果，但，那么称p是q的必要不充分条件.(5) 如果，且，那么称p是q的既不充分也不必要条件.【自查自纠】1. (1)判断真假判断为真 判断为假(2) 互逆命题 (3)互否命题(4)互为逆否命题(5)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p2. (1)若0则9互逆若肝则P(2) 相同没有关系3.(1)充分条件必要条件(2) p q q= p 充要条件p= q(3) 充分不必要 p q q= p (5)p q q p

4、基础自测|小悬全活牛刀小试下列语句为命题的是()A对角线相等的四边形B. av 5C. x2 x+ 1 = 0D .有一个内角是90 °勺三角形是直角三角形 解：只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D.田(2013福建)已知集合 A = 1 , a , B = 1 , 2, 3，则 a= 3堤 AB”的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：a = 3” 二 入匸 B”，反之，A§B=a = 2或3故选A.E1 (2012湖南)命题 若 a才，贝U tana=1”的逆否命题是()A .若n丄人a, tan aa 1B

5、.若na= 7, tan ai4C .若ntan ai 贝q aOD .若ntan al,贝9 a= T4解：n若a=，贝y tan a= 1 ”的逆否命题是若tan a 1 贝UnaO”.故选 C.已知 a, b, c R，命题若 a+ b + c= 3,则a2 + b2 + c2> 3的否命题是解：T二”的否定为“工,” “二的否定为<”，命 题 若a+ b+ c= 3，则a2+ b2 + c2為”的否命题是 若a + b + c3 则 a2+ b2+ c2<3”.故填若 a + b+ c3,则 a2 + b2 + c2<3.目已知下列四个命题： 若xy= 1,则x

6、, y互为倒数"的逆命题； 面积相等的三角形全等”的否命题； 若mwi,则方程x2 2x+ m= 0有实根"的逆否 命题； 若A AB = B,则A B”的逆否命题.其中真命题的是 (填写对应序号即可).解：对于，若xy= 1,则x, y互为倒数”的逆 命题是 若x, y互为倒数，则xy= 1 ”为真命题；对于 ，面积相等的三角形全等”的否命题是 面积不等的 三角形不全等”为真命题；对于， 若mW，则方程 x2 2x+ m= 0有实根”的逆否命题的真值即为原命题 的真值，当 mW1 时，= 4 4mN), 方程 x2 2x+ m =0有实根，原命题为真，故为真；对于，若A

7、AB =B，则AB”的逆否命题的真值即为原命题的真值， 由于AAB= B= B5A,故原命题为假，故为假.故 填.典例|解析 并獎懈折融黑旁通(1) 末位数字是0的多位数一定是5的倍数；(2) 在厶 ABC 中，若 AB> AC,则/ C >Z B；(3) 若 x2 2x 3>0，则 xv 1 或 x>3.解：(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0,则它是5的倍数.逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.否命题：若一个多位数的末位数字不是0,则它不是5的倍数.逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与

8、否 命题是假命题.(2) 逆命题：在 ABC中，若/ C > Z B，贝U AB > AC.否命题：在 ABC中，若ABWAC,则Z CWZ B. 逆否命题：在厶ABC中，若Z C WZ B,贝U AB WAC. 这里，四种命题都是真命题.2(3) 逆命题：若 xv 1 或 x>3，则 x 2x 3>0.2否命题：若 x 2x 3W0,则1WxW3.2逆否命题：若1 WW3,则x 2x 3W).这里，四种命题都是真命题.【评析】写出一个命题的逆命题、否命题和逆否 命题，关键是找出原命题的条件p与结论q，将原命题写成 若p,则q”的形式在(2)中，原命题有大前 提 在厶A

9、BC中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否 命题时，应当保留这个大前提.(3)中xv 1或x>3” 的否定形式是 x亠1且xW3”，即1”.写出下列命题的否定形式和否命题:(1) 若xy= 0，则x, y中至少有一个为零；若a + b= 0,贝U a, b中最多有一个大于零；(3) 若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角 相等；(4) 有理数都能写成分数.解：(1)否定形式：若xy= 0，则x, y都不为零.否命题：若xyM0则x, y都不为零.(2) 否定形式：若a+ b = 0,则a, b都大于零.否命题：若a + bMQ则a, b都大于零.类型一四种命题及其相互关系(3) 否定形式：

10、若四边形是平行四边形，则它的相 邻内角不都相等.写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假:否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等.类型三集合法判定充要条件（4）否定形式：有理数不都能写成分数. 否命题：非有理数不都能写成分数.1 1sin a=”是 cos2 a= 2” 的(类型二定义法判定充要条件A .充分而不必要条件B 必要而不充分条件C .充分必要条件在厶ABC中，设p:a _ b _ c ； sinB si nC sinA'q : ABC是正三角形，那么 p是q的（）A .充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件

11、解:若p成立，asi nBbsi nCcsinA，D.既不充分也不必要条件解：令 A= o|P（ %）， B= a|q（ a），1则可得 A= 1a|sina= :f ' 11B = a|cos2a= =asin a= ± .显然，AB，所以p是q的充分不必要条件.2 1*a|1 2sin a=选A.由正弦定理可得b=b=a=*【评析】利用集合的观点来判断充要条件的问题,（2013福建）设点P（x，y），则x= 2且y注：此题也可采用定义法来判断.ZLa= kb,b= kc, = a= b= c.c= ka则q： ABC是正三角形成立.反之，若 a= b= c, / A= /

12、 B= / C= 60°° 则亠=丄=亠si nB si nC si nA'因此p= q且q= p,即p是q的充要条件.故选C.【评析】判断p是q成立的什么条件，就是根据 充分条件与必要条件的定义，判断若p，则q”与 若q，则p"是否成立，若只有一个成立，则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件，若两个命题同时成 立，则p是q的充要条件.就是把命题p, q与集合的特征性质结合起来，即p, q 是集合 A, B 的特征性质，A= x|p（x） , B = x|q（x）, 再由集合A, B之间的关系就可以得到命题 p, q之间 的关系这里用数形结合的思想方法，

13、能使问题的解 答直观、简捷.设x,y R，则x2且y2是x2+ y2> 4”A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：设 A =$ （x, y） |*史'卜，B= （x, y）|x2I1 g J+ y20，通过画草图可知 A B，则x2且y'是x2+ y24'的充分而不必要条件，故选A.=1”是 点P在直线I: x+ y 1 = 0上”的（）A .充分而不必要条件B 必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：因为点P（2， 1）满足直线I的方程，所以它类型四 充要条件的证明与探求数列an的前n项和

14、Sn= An2+ Bn(A,是常数）是数列a"是等差数列的什么条件?解：当 n > 1 时，an = Sn Sn 1 = 2An + B A;反之，若an是等差数列，则有Sn = na1 +在直线l上，反之不能推出点P的坐标必为（2， 1），故选A.当 n= 1 时，a1 = S1 = A+ B 适合 an= 2An+ B A. 所以an= 2An+ B A，显然an是等差数列，故 充分性成立.n (n 1)d 22 d(d 为公差)，即 Sn = 2n + ai设 A= 2, B= ai 2，即得 Si= An2+ Bn,因此，必要性成立.所以Sn= An2+ Bn(A, B

15、是常数)是数列an是等 差数列的充要条件.【评析】在证明与探求充要条件时，容易出现如 下错误：张冠李戴，证明过程中把充分性与必要性 搞反了；证明充分性或必要性时，没有把p”(或q”)分别作为条件，推出 q”或p”).底 设n N + ,兀二次方程 x2 4x+ n = 0 有整数根的充要条件是 n=.416 4n j解：x=2= 2士 4 n,因为x是整数，即2± 4 n为整数，所以：4 n为整数，且nW,又 因为n N +,取n= 1, 2, 3, 4,验证可知 n= 3, 4 符合题意；反之，n= 3, 4时，可推出一元二次方程 x2 4x+ n = 0有整数根.故填3或4.类型

16、五充要条件的应用中a> 0, q :实数x满足x|a v x v 3a , B = x|q(x) = x|,设p :实数x满足x2 4ax+ 3a2 v 0,其x2 x 6<02 c o c若p是q的x2 + 2x 8 > 0.必要不充分条件，求实数a的取值范围.解：p是q的必要不充分条件，即q= p, p q.、r22设 A= x|p(x) = x|x 4ax + 3a v 0, a > 0=x2 x 60,x2 + 2x 8 > 0 x|2v x<3，贝U B A, av 2, _1 v av 2,又当3a > 3£a = 2时也满足B

17、A. 1 v a<2.所以实数a的取值范围是(1, 2.【评析】此题和变式5难度都不大，但 拐弯抹 角”易于出错.应注意：充分运用充要条件的定义； 条理清晰，细心作答；借助数轴，准确运算.(L-E2.S 设 p：实数 x 满足 x2 4ax+ 3a2<0,其 中a<0, q :实数x满足x2+ 2x 8>0且綈p是綈q的 必要不充分条件，求 a的取值范围.22解： 设 A= x|x 4ax+ 3a <0 , a<0=x|3a<x<a,B = x|x + 2x 8>0 = x|x< 4 或 x>2.T p是q的必要不充分条件，-

18、q是p的必要不充分条件， A B.- a w 4 或 3a2.又 a<0, a的取值范围是(一a, 4.名师点津 揭示規律总姑方出1. 命题及命题真假的判断(1) 判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备 是陈述句”和 可以判断真假”这两个条件.只有这 两个条件都具备的语句才是命题.(2) 判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论，只有将条件与结论分清，才有可能正确地判断其真假.2. 四种命题的相互关系及应用(1) 在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论 之间的关系.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个 命题定为原命题，也就相应地有

19、了它的逆命题”否命题”逆否命题”.(2) 当一个命题有大前提而要写其他三种命题时， 必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并 列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中 一个(或几个)作为大前提.(3) 判断命题的真假，如果不易直接判断，可应用 互为逆否命题的等价性来判断：原命题与逆否命题等 价，逆命题与否命题等价.(4) 分清 否命题”与 命题的否定”的区别.否命 题”与 命题的否定”是两个不同的概念， 否命题”是对 原命题既否定其条件，又否定其结论，而命题的否定” 是否定原命题，只否定命题的结论 .3. 充要条件的判断方法(1) 定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结 论；第二

20、步，判断p= q及q= p的真假；第三步， 下结论.(2) 等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断 真假的命题.一般地，这类问题由几个充分必要条件混 杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假.(3) 集合法：写出集合 A= x|p(x)及 B = x|q(x), 利用集合之间的包含关系加以判断：若A B,则p是q的充分条件； 若A B，则p是q的充分不必要条件； 若B A，则p是q的必要条件； 若B A，则p是q的必要不充分条件； 若A = B,则p是q的充要条件； 若A B且BA,则p是q的既不充分也不必要 条件.课时作业畫漏补蛀拥展适仲1.命题 若一个数是负数，则它的平方是正数”的

21、逆命题是()A.若-个数是负数，则它的平方不是正数”B.若个数的平方是正数，则它是负数”C.若个数不是负数，则它的平方不是正数”D.若-个数的平方不是正数，则它不是负数”解：根据互为逆命题的概念，结论与条件互换位置，易得答案.故选B.2. 若 a R，则 a = 2”是 “a 1)(a 2) = 0”的()A .充分而不必要条件B 必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解：当 a= 2 时，(a 1)(a 2) = 0;反之，若(a 1)(a 2) = 0,贝U a可以为1故选A.3. (2013 上海)钱大姐常说 便宜没好货”她这句话的意思是：不便宜”是 好货”的()A .充分条件

22、B 必要条件C .充分必要条件D.既非充分也非必要条件解：条件p：货便宜，q :货不好. 便宜没好货” 可以表示成 若p,则q”，所以它的逆否命题 若綈q, 则綈p”，即好货不便宜”成立，因此不便宜”是好货” 的必要条件.故选B.4. (2013北京)$=冗'是 曲线y= sin(2x +妨过坐标原点"的()A .充分而不必要条件B 必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：$= n= 曲线y= sin(2x+妨=sin2x过坐标 原点，反之，曲线 y= sin (2x+妨过坐标原点时，$还 可以取其他值. 故选A.5. (2013山东)给定两个命题p,

23、q，若一 p是q的必要而不充分条件，则p是一q的()A .充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D.既不充分也不必要条件解：因为-p是q的必要而不充分条件， 可得- q 是p的必要而不充分条件，从而得出 p是-q的充分 而不必要条件，故选A.6. (2013上海春季咼考)已知a, b, c R, b 4ac<0”是 函数f(x)= ax2 + bx+ c的图象恒在x轴上方” 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件解：当b2 4acv 0时，若a v 0，则f(x)的图象在 x轴的下方，充分性不成立；反之，当 f(x)的图象在x 轴的

24、上方，则 b2 4acv 0或a = b = 0, c>0，必要性 不成立.故选D.7. (2012山东改编)设a> 0且al,贝U函数f(x)=ax在R上是减函数"是 函数g(x)= (2 a)x3在R上是 增函数”的条件.解：由 函数f(x) = ax在R上是减函数”知0v av 1；33 y = x 在 R 上为增函数，2 a> 0, a g(x)= (2 a)x在R上为增函数；反之，若av 2 0v av 1.故填充分不必要.8. 已知a, b均为单位向量，其夹角为0,有下列四个命题:P1： |a+ b|>1p2： |a+ b|>1 ：=P3：|

25、a b|>1：=P4： |a b|>1u0,V；2_n3 ,00, 3丿;张&.其中真命题的是2 2解：P1: |a+ b|>1 二 a + 2a b+ b >1 二 1 + 2cos 012 n .2+ 1>1 二 cos0> ?二 0 0, GP4： |a b|>1= a2_J2 a b + b >1 u 1 2cos 0+ 1>1 u cos u 0 3, n .故填 pi, P4.9.已知 p： x2 8x 20W0, q： x2 2x+ 1 a2< 奥> 0).若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值 范围.解：p： x2 8x 20O二 2$W0,2 2q: x 2x+1 a O(a>0) = 1 a夯cW+ a.- P二q, x| 2$wio x|1 a<x<1 + a,'1 av- 2,故有 1 + a> 10, 解得a>9.a> 0又当a= 9时，也满足条件.因此，所求实数 a的取值范围为9,+).,x 12c,210.已知 p: 1 - <2 q: x 2x+ 1 m < ofi>0),若p是q的必要非充分条件，求实数 m的 取值范围.x一 1解：一>p：1