1.1从梯子的倾斜程度谈起

1、第一章 直角三角形的边角关系§ 1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）学习目标：1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程理解正切的意义和与现实生活的联系2. 能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单 的计算.学习重点：1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系 学习难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.学习方法：引导一探索法.学习过程：一、生活中的数学问题：1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：AF如图：梯子 AB和EF哪个更陡？你是

2、怎样判断的?B 2m C F 2.5m D以下三组中，梯子 AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的?第一组第二组第三组二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） Rt ABiC1和Rt AB2C2有什么关系？B1C1和B2C2有什么关系？AC 1 AC 2如果改变b2在梯子上的位置（如B3C3）呢？ 由此你得出什么结论 ？R三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？例 2、在厶 ABC中，/ C=90°, BC=12cm AB=20cm 求 tanA 和 tanB 的值.四、随堂练习：1、如图， ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗？

3、2、如图，某人从山脚下的点 A走了 200m后到达山顶的点 B,已知点B到山脚的垂直距离为 55m,求山的坡度.（结0，贝U tan 0 =3、若某人沿坡度i = 3: 4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升 高米4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为5、如图，Rt ABC是 一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m,它的坡角为洪能力，现将背水坡改造成坡比为1: 1.5的斜坡AD求DB的长.（结果保留根号）五、课后练习:1、 在 Rt ABC中,/ C=90 ,AB=3,BC=1,则 tanA=.2、在 ABC中,AB=10,AC=8,BC

4、=6,贝U tanA=.3、在 ABC中,AB=AC=3,BC=4,则 tanC=.4、 在 Rt ABC 中,ZC 是直角,/ A、/ B、/C 的对边分别是 a、b、c,且 a=24,c= 25,求 tanA、tanB 的值.5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值56、如图，在菱形ABCD中,AE丄BC于E,EC=1,tanB=,求菱形的边长和四边12形AECD勺周长.A处以20cm/s的速度向坡顶B处移动，则小37、已知：如图，斜坡AB的倾斜角a,且tan a =一，现有一小球从坡底4球以多大的速度向上升高？8、探究：、a克糖水中有b克糖(a>b>0),则糖的

5、质量与糖水质量的比为 ;若再添加c克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为.生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式：.、我们知道山坡的坡角越大，则坡越陡，联想到课本中的结论：tanA的值越大，则坡越陡，我们会得到一个锐角逐渐变大时，它的正切值随着这个角的变化而变化的规律，请你写出这个规律：、如图，在 Rt ABC中，/ B=90° ,AB=a,BC=b(a>b),延长 BA、BC,使 AE=CD=c,直线CA DE交于点F,请运用(2)中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你 提炼出的不等式§ 1.1

6、从梯子的倾斜程度谈起(第二课时)学习目标：1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义2. 能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3. 能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算4. 理解锐角三角函数的意义. 学习重点：1. 理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明2. 能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比3. 能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算学习难点 学习方法 学习过程用函数的观点理解正弦、余弦和正切 探索交流法一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图(1)直角三角形ABC和直角三角形AB2C2有什么关系？AC A2C2BC BC2

7、 JAC!和 有什么关系？ BC!和一呢？BAiBA2BABA2、由图讨论梯子的倾斜程度与si nA和cosA的关系:如果改变A2在梯子AiB上的位置呢？你由此可得出什么结论？ 如果改变梯子 A1B的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论 请讨论后回答三、例题：例！ 如图，在 Rt ABC中，/ B=90°, AC= 2OO.sinA = 0.6，求 BC的长例2、做一做:如图，在 Rt ABC中，/ C=90°,1的结论吗？请用一般式表达cosA = 12 , AC= 10, AB等于多少?si nB呢?cosB、si nA呢？你还能得出类似例13四、随堂练习：1、在等腰

8、三角形 ABC中，AB=AC= 5, BC=6 求 sinB , cosB, tanB.42、在 ABC中，/ C= 90°, si nA =, BC=2Q求厶ABC的周长和面积513、在 ABC中./ C=90°,若 tanA= ，贝U sinA=.4、已知：如图，CD是Rt ABC的斜边AB上的高，求证：BC= AB - BD.（用正弦、余弦函数的定义证明 ）五、课后练习:31、 在 Rt ABC中，/ C=90 ,tanA=-,贝U sinB=,tanB=492、 在 Rt ABC 中,/ C=90 ,AB=41,sinA=,贝U AC=,BC=4143、 在 ABC

9、 中,AB=AC=10,sinC=,贝U BC= .54、在 ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是 （）A. si nA= - B.cosA= 3C.ta nA=3 D.cosB=-5、如图，在厶ABC中，/ C=90,si nA=ACB.C.35cosA= -5D.A 4m34D.5A.B.C.34547、在 ABC 中，zI C=90°,BC=5,AB=13,则si nA的值是A 5B12C5A.13'13126、Rt ABC 中，/ C=90 ,已知,那么tanA等于（）8、已知甲、乙两坡的坡角分别为 a、3 ,若甲坡比乙坡更徒些 （）A.t

10、an a <tan 3 B.sin a <sin 3 ; C.cos a <cos 3125则下列结论正确的是D.cos a >cos 39、如图，在Rt ABC中,CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于 si nA的是（）CD B DBAC . CBC.CBD.ABCDCB10、某人沿倾斜角为3的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是（）mA.100sin :B.100sin3 C.0D. 100coscos :11、如图，分别求/ a , Z 3的正弦，余弦，和正切12、在厶 ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是 BC边上的高,AD=4.求:CD,sin

11、C.13、在 Rt ABC中,/ BCA=90 ,CD 是中线，BC=8,CD=5.求 sin / ACD,cos/ ACD 和 tan / ACD.14、在 Rt ABC中,/ C=90 ,sinA 和cosB有什么关系415、如图,已知四边形 ABCD中,BC=CD=DB,ADB=90 ,cos / ABD= .5求：s ABD s BCD§ 1.2 30 °、45°、60 °角的三角函数值学习目标:1. 经历探索302. 能够进行303. 能够根据3045 °、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理45 °、6

12、0°角的三角函数值的计算.45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.进一步体会三角函数的意义学习重点:1. 探索30°、45°、60°角的三角函数值2.能够进行含30°、45°、60 °角的三角函数值的计算3.比较锐角三角函数值的大小学习难点 学习方法 学习过程进一步体会三角函数的意义自主探索法一、问题引入问题为了测量一棵大树的高度， 准备了如下测量工具： 含30 °和60°两个锐角的三角尺；皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.二、新课问题1、观察一副三角尺，其中有

13、几个锐角？它们分别等于多少度？问题2、sin30 °等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流.问题3、cos30 °等于多少？tan30 °呢？45°、60°，它们的三角函数值分问题4、我们求出了 30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角一一 别是多少？你是如何得到的？结论:角度三角函数sin aco atan a30°45°60°例1计算:(1)si n30 ° +cos45(2)sin260° +cos260° -tan45例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m,

14、当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.（结果精确到0.01 m）三、随堂练习1.计算：（1）sin60 ° -tan45(2)cos60+tan60-sin45+sin60-2cos45sin 302 +1)-1+2sin30 ° -.8 ;(1+ . 2 )0- | 1-sin30 ° | 1+(丄)-1;2 sin60+ 11 -ta n6012-3-( . 2003+n ) 0-cos60 °.1 -V22.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30° .高为7 m，

15、扶梯的长度是多少？3如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB= CD=30 m两楼问的距离 AC=24 m现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?（精确到0.1 m ,21.41 ,.31.73）四、课后练习：1、 Rt ABC 中，N A=60：c=8，贝U a=, b=；2、在 ABC中，若 c =2>/3,b =2,，贝U tanB =，面积 S=3、 在 ABC中，AC: BC= 1:3, AB= 6,Z B=, AC=BC=4、 等腰三角形底边与底边上的高的比是2: , 3，则顶角为（）（A）600（ B）900（

16、C）1200（ D） 15005、 有一个角是30的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高为（/A、1(A) _ cm41(B) cm2(C) 3 cm43(D)cm26、在:ABC 中，EC =90 ,若.B =2. A,则tanA等于（）(A)3(B)仝(C)1 (D -3227、如果/ a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于（）.(A -(B)丄(2(D) 12228、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草 皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要 （）.（A 450a 元（B） 225a 元（C） 150a 元（D） 300a 元、.

17、2 sin60°.3cos450、3cos60°5sin30° -19、计算：、sin2 60°+cos2 60°、sin 60” - 2sin 30 °cos30 “、sin30°cos2 45°、2cos45° +、sin2 45 - tan2 30、2sin2 30 tan30 亠 cos60 tan6010、请设计一种方案计算 tan 15 °的值。§ 1.4船有触礁的危险吗学习目标：1. 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用2. 能够把实际

18、问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明学习重点：1. 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用2. 发展学生数学应用意识和解决问题的能力.学习难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图 学习方法：探索一一发现法学习过程：一、问题引入：海中有一个小岛 A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行， 开始在A岛南偏西55°的B处，往 东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流二、解决问题：1

19、、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进 50m至B处.测得仰角为60° .那么该塔有多高?（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m）三、随堂练习1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定,ED的长度为多少？CD与地面成40°夹角，且 DB= 5 m现再在C点上方2m处加固另2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°,已知原楼梯长为 4 m调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.01 m）2.如图，水库大坝的截面是梯形 ABCD坝顶AD-6m,坡长CD= 8m.坡底B

20、C= 30m / ADC=135（1）求/ ABC的大小：（2）如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?（结果精确到0.01 m3）3 如图，某货船以 20海里/时的速度将一批重要物资由 A处运往正西方向的 B处，经16小时的航行到达，到 达后必须立即卸货此时接到气象部门通知，一台风中心正以 40海里/时的速度由 A向北偏西60°方向移动, 距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均受到影响（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由.（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?（供选用数据：2疋1.4 ,3疋1.7）四、课后练习：1. 有一拦水坝是等腰楼

21、形，它的上底是6米,下底是10米,高为2 3米,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角2. 如图，太阳光线与地面成 60°角，一棵大树倾斜后与地面成36。角，这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长（精确到0.1米）.3. 如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN=30 ,点A处有一所学校，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围 100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN的方向行驶时，学校是否会受到噪声影响 ？请说明理 由.4. 如图，某地为响应市政府“形象重于生命”的号召 ，在甲建筑物上从点 A到点E挂一长为30米的宣传条幅，在乙 建筑物的顶部D点测得条幅顶

22、端 A点的仰角为40°，测得条幅底端 E的俯角为26°，求甲、乙两建筑物的水平距 离BC的长（精确到0.1米）.5. 如图，小山上有一座铁塔 AB,在D处测得点A的仰角为/ ADC=60,点B的仰角为/ BDC=45 ;在E处测得A的 仰角为/ E=30 ,并测得 DE=90米,求小山高BC和铁塔高AB（精确到0.1米）.6. 某民航飞机在大连海域失事，为调查失事原因，决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子，如图所示，一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行 ，在A处测得黑匣子B在北偏东60° 的方向，划行半小时后到达 C处,测得黑匣子B在北偏东30。的方向，

23、在潜水员 继续向东划行多少小时，距离黑匣子B最近,并求最近距离.7. 以申办2010年冬奥会，需改变哈尔滨市的交通状况 ，在大直街拓宽工程中，要 棵树AB,在地面上事先划定以 B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人 点3米远的D处测得树的顶点 A的仰角为60° ,树的底部B点的俯角为30° ,如 问距离B点8米远的保护物是否在危险区内 ？伐掉一 站在离B 图所示，8. 如图，某学校为了改变办学条件，计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空地上（BD=21米）,再建一幢与甲教学等高的乙教学楼（甲教学楼的高AB=20米）,设计要求冬至正午时，太阳光线必须照射到乙教学楼距

24、地面5米高的二楼窗口处，已知该地区冬至正午时太阳偏南，太阳光线与水平线夹角为30° ,试判断：计划所建的乙教学楼是否符合设计要求？并说明理由.相交成a角，如a9. 如图，两条带子，带子a的宽度为2cm,带子b的宽度为1cm,它们 果重叠部分的面积为 4cnf,求a的度数.1.5 测量物体的高度1.下表是小明同学填写活动报告的部分内容：课题在两岸近似平行的河段上测量河宽测量目 标图示(CDA B测得数据/ CAD=60，AB=30m，/ CBD=45，/ BDC=90请你根据以上的条件，计算出河宽CD（结果保留根号）.2.下面是活动报告的一部分，请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成

25、的部分课题测量旗杆高测量示意图/EEa C3D测得数据测量项目第一次第二次平均值BD的长24.19m23.97m测倾器的高CD=1.23mCD=1.19m倾斜角a=31° 15'a=30° 45'a=31°计算旗杆高AB（精确到0.1m）3. 学习完本节内容后，某校九年级数学老师布置一道利用测倾器测量学校旗杆高度的活动课题，下表是小明同学填写的活动报告，请你根据有关测量数据，求旗杆高AB（计算过程填在下表计算栏内，用计算器计算）.活动报告课题|利用测倾器测量学校旗杆的高测量示意图AEEa CJD测量数据BD的长BD=20.00m:测倾器的高CD=1

26、.21m倾斜角a =28°计算旗杆高AB的计算过程(精确到0.1m)4.某市为促进本地经济发展，计划修建跨河大桥，需要测出河的宽度 AB,在河边一座高度为300米的山顶观测点D 处测得点A,点B的俯角分别为a =30°, 3 =60° ,求河的宽度(精确到0.1米)5. 为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：实践一：根据自然科学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图(1)的测量方案：把镜子放 在离树(AB)8.7(米)的点E处,然后沿着直线 BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察

27、者目高 CD=1.6米，请你计算 树AB的高度(精确到0.1米)实践二：提供选用的测量工具有：皮尺一根；教学用三角板一副；长为 2. 5米的标杆一根；高度为 1.5米的测角仪一架，请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：(1) 在你设计的方案中，选用的测量工具是 .(2) 在图(2)中画出你的测量方案示意图；(3) 你需要测得示意图中哪些数据，并分别用a,b,c, a , 3等表示测得的数据.(4) 写出求树高的算式:AB=.(1)6. 在1:50000的地图上，查得A点在300m的等高线上，B点在400m的等高线上，在地图上量得 AB的长为2.5cm, 若要在A、B之间建一条索道，那么缆索至

28、少要多长？它的倾斜角是多少？(说明：地图上量得的 AB的长,就是A,B两点间的水平距离 AB ,由B向过A且平行于地面的平面作垂线,垂足为B',连接AB ,则/A即是缆索的倾斜角.)B400AC光线 太阳光D eBA 300 B6002、某水库大坝的横断面是梯形,7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：实践一：根据自然科学中的反射定律，利用一面镜子和一 根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB 8.7米的点E处，然后沿着直线 BE后退到点D,这是恰好在镜子里看到 树梢顶点 A,再用皮尺量得 DE=2.7米，观察者目高 CD=1.6米，请

29、 你计算树（AB的高度.（精确到0.1米）实践二：提供选用的测量工具有：皮尺一根；教学用三角板一副； 长为2.5米的标杆一根；高度为 1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器） 一架。请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工 具的序号填写）（2 ）在右图中画出你的测量方案示意图；（3）你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a、b、c、a等表示测得的数据：（4）写出求树高的算式：AB=第一章回顾与思考1、等腰三角形的一腰长为6cm，底边长为6 ： 3cm，则其底角为（）C900 D1200A 900 B600C750D105033、女口图，在矩形 A

30、BCD中, DEL AC 于 E,设/ADE=，且 cos :5的长为（）.AB = 4,贝U AD(A) 3(D)1654、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形其面积为450 cm2，则对角线所用的竹条至少需（）.（A） 30、一 2cm（ B） 30cm（C） 60cm（D） 60、一 2cm形状的风筝,坝内斜坡的坡度i =1:、3 ,坝外斜坡的坡度i =1:1 ,则两个坡角的和为（5、如果：是锐角，且sinSx亠cos2 35 = 1，那么：.=o.6米，斜坡上相邻两树间的坡面6、 如图，在坡度为1： 2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是 距离是米.7、如图,P是/ o（的边OA上一点,且P点坐标为（3,4）,则sina =, coset =,二，如果测角仪高为1.5米.那8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为么旗杆的有为米（用含二的三角比表示）.9、在Rt ABC中/Av/B, CM是斜边AB上的中线，将. ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么/A等于度.10、 如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为55，路基