匀变速相对运动探究

1、匀变速相对运动探究我们通过对一个典型物理问题的讨论，揭示一维情形下匀变速相对运动的规律。进而，解答几个比较简单的“追及”和“相遇”问题，以说明这些规律的应用。一、一个物理模型命题甲、乙两物体均沿X轴做匀变速直线运动，计时开始时，乙在甲的右侧-处，甲物体初速度、加速度分别为V010、a1，乙物体的初速度、加速分别为V02、a2，设两物体都运动了t的时间。试用匀变速直线运动的知识讨论其相对运动的情况。二、匀变速相对运动的规律下面，针对这一命问题展开分析和探讨。1两个基本公式S0S2SS1AA/BB/图1解析：首先，以甲物体的初位置为坐标原点-，水平向右为正方向，建立X轴；然后以甲、乙物体为研究对象

2、，画出物体运动的示意图，如图1所示。在两物体运动了时间t时，甲、乙两物体的末速度分别为Vt1、Vt2，乙对甲的相对速度为Vt，则根据匀变速直线运动的速度公式得Vt= Vt2 Vt1=V02V01+a2a1t 而由速度公式- 设V0= V02V01、a = a2a1分别为乙对甲的相对初速度、相对加速度。从而 Vt = V0a t -此式称匀变速相对运动的速度公式。由此可见，乙物体相对于甲物体做匀变速相对运动。若Vt0，则乙的速度大于甲的速度；Vt0，则乙的速度小于甲的 度速；若Vt=0，则甲、乙两物体速度相等。再设运动时间t 时，甲物体对O点的位移为S1，而乙物体对A点的位移为S2，对O点的位移

3、则为R0+ S2；乙物体相对甲物体的初、末位移分别为S0、S，在时间t内的相对位移差为SS0。那么，根据运变速直线运动AA/BS0SXO图2S2-S1的位移公式得S =S0+S2S1=S0+ V02 t+ V01 t+ = V0t+ +S0亦即S = V0t+ +S0 -此式称匀变速相对运动的位移公式。由此可知，若S0，则乙在甲前，相对位移与X轴同向；若S0，则乙在甲后，相对位移与X轴反向；S=0；则甲、乙两物体相遇。如图2所示。综上所述，可知匀变速相对运动具有与匀变速直线运动类似的运动规律。类似地，匀变速相对运动亦有等等，读者可自行讨论。这些公式，虽从本题得出，原则上适用于所有匀变速相对运动

4、问题。说明：本题中，由于规定了V010，因而若V02与V01同向，则属于“追及”问题；若V02与V01反向，则属于迎面“相遇”问题。2几个导出公式依据上述两个基本公式，我们可以导出三个有用的关系式。首先，由、式，不难得出下式Vt2 V02=2 aSS0-此式称作匀变速相对运动的速度-位移关系。然后，分析表明当相对末速度Vt=0时，相对位移有极值。从而，由式 得 a =把上式代入式，可得Sm=S0- 研究表明，在追及问题中，若Vt0,，则相对位移S将不断增大；当相对加速度a0，相对末速度逐渐减小为Vt=0时，相对位移有极大值Smax，但仍可追及。若Vt0，则相对位移将不断减小；当相对加速度a0时

5、，相对末速度逐渐增大至Vt=0时，相对位移必定有极小值Smin。若Smin0，则表明甲物体不能追及乙物体；若Smin0，则表明甲物体已经超越乙物体，但乙物体仍然有反过来追及甲物体的机会。此式适用于求“追及”问题的“最远距离”或“最近距离”。这一 结果，也可利用数学知识通过求式的极值的方法得出，无庸赘述。接下来，如果相对末位移为S=0，亦即甲乙两物体到达X轴上的同一位置时，则式的解为t= -由此可以求出同向“追及”或“迎面相遇”的时间。特殊地，若a=0，由式可得t=进一步分析可知，当判别式0时，亦即V022as00时，时间 t有一或两个实数解。表明在“追及”和“相遇”问题中，在t 0时，则可判定

6、两物体有相遇现象发生。当判别式0时，亦即V022as00- 时，时间t无实数解，则可判定两物体不能相遇。三、应用举例例题1如图2所示，长度都为h木棒A、B，相距高度差为H，但是不在同一直线上，剪断A棒上面的细线，使其由静止释放，同时B棒竖直上抛，初速度为V02，已知B棒上升过程中与A棒相遇又相离，不计空气阻力。求：两棒从相遇到相离经过多少时间？若使B棒在上升过程中与A棒相遇又相离，则B棒的初速度V02满足什么条件？解析：首先，确定A棒上端点、B棒下端点为研究对象，选竖直向上为坐标正方向。由于V0=0V02，a=0，所以HhhBAA对B的相对运动可作为匀速相对运动处理。又，两棒从相、遇到相离所发

7、生的相对位移为S=2h从而，得出这一过程所需时间t1=设从开始运动至两物体相离为止所用时间为t2，相应地相对初、末位移分别为S0=2h+ H, S=0。由相对位移公式可得S= V0 t2+2h+H=0- B棒做竖直上抛运动，依题意，到二棒分离后其最小速度为零。从而0=V0gt2-，由、式解得V0=。例题2在离地面高度为10m处，一个气球正以5m/s的速度匀速上升，与此同时，在气球正下方以20m/s的初速度、由地面垂直发射一枚爆竹，问：爆竹可否击中气球？击中处离地面有多高？若开始时爆竹离地面的高度为12m，爆竹能否击中气球？其相对距离的极值为多大？g=10m/s2解析 首先，确定气球、爆竹为研究

8、对象，选竖直向上为正方向。分析可知，气球作匀速运动，其加速度为a2=0，爆竹做竖之上抛运动，其加速度为a1=g，因而可得a=g；由题意易知V0=15m/s,S0=10m.从而可得=V022aS0=250。由此可以判定爆竹能够击中气球。再由式t=求出相遇时间 t=1s.舍去第二次相遇时间t2=2s由于气球做匀速直线运动，因而不难求出击中处离地面 的高度h=S0+S2=10m+15m=15m，已知S0/=12m,而V0、a大小保持不变，从而=V022aS0/=15m0由此断定爆竹不能击中气球。由于a=g0，因而t=V0/a时，相对距离有极小值Smin=S0/ =0.75m.。例题3沿同一平直公路匀

9、速行驶两辆汽车A、B，行驶速度分别为24m/s、17m/s，两车紧急刹车的加速度分别为4m/s2、2m/s2。当前面的B车由于紧急情况而刹车时，后面的A车亦紧急刹车，已知A车司机的反应时间为0.5s，求为保证两车在上述过程中不相碰撞，两车在匀速行驶过程中至少保持多大距离？ 解析：我们先选AB为研究对象，水平向前为坐标正方向。显然，在第一阶段，乙车做减速运动的t=0.5s内，A车仍在做匀速运动。设匀速行驶过程中至少保持的距离为S0，第一阶段发生的相对位移为S1，从而由匀变速相对运动的速度公式和速度-位移关系式，可得Vt=V0+at-，Vt2 V02=2aS0S1-其中V0=17m/s24m/s=

10、7m/s,a=2m/s2。在第二阶段，两车分别以各自的负加速度做减速运动，为保证两车不发生碰撞，必须使得S2=0，Vt !=0,且有V0!= Vt。由匀变速相对运动的速度-位移关系式，又得0Vt2=2a0S1- 其中a/=2m/s24m/s2=2m/s2。再联立上述式，代入已知数据,即可求出最后结果S0=19.75m.例题4在 高速公路上，警车、肇事车都以相同速度28m/s向同一方向行驶，两车相距S0=200m。为保证拦截的成功，后面的警车先加速超车，到达肇事车的前面S0=200m，然后在分步实施拦截。设能增加的车速最多为V=5m/s，试求：警车从开始加速到完成超车即到达肇事车前方200m处过

11、程中所通过的路程是多少？解析：首先，确定警车、肇事车为研究对象，选水平向前为正方向。警车的运动氛围两个阶段：第一阶段为加速阶段，即在时间t1内增加速度v=5m/s达到最大速度，缩短与肇事车的距离s0，使两车到达同一位置；从而，由匀变速相对运动位移公式，可得0s0=-第二阶段为匀速运动阶段，即保持最大速度v+v 运动时间t2，再使之超越肇事车s0的路程。由题意知，s00=vt2 -。从而,由式可得t1=80s,t2=40s.而总时间为t=t1+t2=48s分析可知，再超车过程中，警车比肇事车的路程增加2S0。已知v=20m/s,从而所求警车的路程为L=vt+2s0=3760m。例题5甲乙两物体相

12、距s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a2、初速度为0的匀加速运动；甲在后面做加速度为阿a2、初速度为V的匀加速运动。下列说法中正确的是A.若a1a2，甲乙可能相遇两次。B.若a1a2，则可能相遇两次。C.若a1a2，则只可能相遇一次。D.若a1a2，则不可能相遇。解析：本题可依据相遇时间公式加以讨论。显然，V0=V，a=a2a1。从而，由相遇时间公式可得t=，或当a=0即a2=a1时，t=。当a2a1时，上式只有一个正解，即相遇一次。当a2a1时，若V22a2a1s=0，则t只有一个正解，即相遇一次；若V22a2a1s0时，t无实数解，即不可能相遇。若V22a2a1s0，t有两个正解，即可以

13、相遇两次。因此，正确的选项为A、B。四、练习题1有人逆水行船，中途从船上掉下一漂浮物，10min后发现并立即掉头追赶。若船的划速不变，求追上漂浮物的时间。答案：10min2.有A、B两球，A球从距地面高度为h处自由下落，同时将B球以初速度V0竖直上抛，且两球沿同一直线运动。试分析下列两种情况下B球初速度的范围：B球在上升过程中与A球相遇；B球在下落过程中与A球相遇。答案：V0V0。3升降机以1.25m/s2加速度上升，当V=2.5m/s时，一只螺帽从升降机顶端脱落，升降机内高2m,求：螺帽落到升降机底版的时间；在这段时间内，螺帽相对地面的位移。g=10m/s2。答案：0.6s;0.3m. 4A

14、B两个质点沿同一直线同时同地同向出发，B以V2=3m.s的速度做匀速直线运动，A做初速度为零、加速度为a1=3m/s2的匀加速直线运动。当A与B在途中相遇时，即改做a1=-2m/s2的匀减速直线运动。求：B的速度变为零之前，A、B之间的最大距离。答案；2.25m. 5.火车A以4m/s的速度匀速前进，这时B火车误入同一轨道，且以20m/s的速度追向A车。当B车司机发现A车时两车仅相距125m，B车立即制动。已知以这种速度前进的火车制动后需经过200m才能停止，问两车是否回发生碰撞？答案： a提供=0.64m/s2, a需要=1.02m/s2;会碰撞。6石块A从80m高处自由下落，同时在地面正对这石块以40m/s的速度竖直上抛另一石块B。问：石块B相对石块A做什么性质的运动？经过多长时间两石块相遇？相遇时离地面多高？答案：匀速运动