中考数学专题复习 全等与相似 含答案整理

1、专题 全等与相似一1（2012年，福州）如图，已知ABC，ABAC1，A36°，ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是_，cosA的值是_(结果保留根号)考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义ABCD分析：可以证明ABCBDC，设ADx，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DEAB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值2（2012年，桂林）(12分)如图，在ABC中，BAC90°，ABAC6，D为BC的中点(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AECF，求证：AEDCFD；(2)当点F、E分别从C、A两

2、点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式二.1. （2012安徽，22，12分）如图1，在ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段BG的长；解：（2）求证：DG平分EDF;证：（3）连接CG，如图2，若BDG与DFG相似，求证：BGCG.证：2（2012铜仁）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AECF，AE

3、=CF，BE=DF求证：ADECBF3（2012年，南通）如图，在ABC中，ABAC10cm，BC12cm，点D是BC边的中点点P从点B出发，以acm/s(a0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts(1)若a2，BPQBDA，求t的值；(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形若a，求PQ的长；是否存在实数a，使得点P在ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由4（2012无锡）如图，在ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF

4、求证：BAE=CDF5（2012资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）6（2012年，遵义）（12分）如图，是边长为6的等边三角形， 是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与

5、重合），过作于，连接交于. （1）当时，求的长； （2）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生改变，请说明理由7（2012年，河北）如图，点是线段的中点，分别以为直角顶点的均是等腰直角三角形，且在的同侧（1）的数量关系为_，的位置关系为_；（2）在图中，以点为位似中心，作与位似，点是所在直线上的一点，连接，分别得到了图和图； 在图中，点在上，的相似比是，是的中点.求证：在图中，点在的延长线上，的相似比是，若，请直接写出的长为多少时，恰好使得（用含的代数式表示）8、（2012年，河南）（10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个

6、案例，请补充完整.原题：如图1，在中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值。（1）尝试探究 在图1中，过点E作交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，的值是 （2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若则的值是 （用含的代数式表示），试写出解答过程。（3）拓展迁移 如图3，梯形ABCD中，DCAB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若，则的值是 （用含的代数式表示）. 9.（2012年，广元）（本小题7分）如图，在AEC和DFB中，E=F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：AEDF，AB=CD，C

7、E=BF。（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果，那么”）；（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由。答案：一 1.解答：解： ABC，ABAC1，A36°， ABCACB72° BD是ABC的平分线， ABDDBCABC36° ADBC36°，又 CC， ABCBDC，ABCDE ，设ADx，则BDBCx则，解得：x(舍去)或故x 如右图，过点D作DEAB于点E， ADBD，E为AB中点，即AEAB在RtAED中，cosA故答案是：；点评：ABC、BCD均为黄金三角形，利用

8、相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cosA时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解2(1)证明: BAC 90° ABAC6,D为BC中点BADDACBC45° 1分ADBDDC 2分AECF AEDCFD 3分第26题图1(2)依题意有:FCAE 4分AEDCFD 5分SADC9 6分 7分(3) 依题意有：AFBE6，ADDB，ABDDAC45°DAFDBE135° 8分ADFBDE 9分 10分 11分 12分二.1.解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知ABC的边长，由三角形中位线性质知，根据BD

9、G与四边形ACDG周长相等，可得.（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明.解（1）D、C、F分别是ABC三边中点DEAB,DFAC，又BDG与四边形ACDG周长相等即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AGBG=AC+AGBG=ABAGBG=（2）证明：BG=，FG=BGBF=FG=DF,FDG=FGD又DEABEDG=FGDFDG=EDGDG平分EDF（3）在DFG中，FDG=FGD, DFG是等腰三角形,BDG与DFG相似,BDG是等腰三角形,B=BGD,BD=DG,则CD= BD=DG,

10、B、CG、三点共圆,BGC=90°,BGCG点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.考点：全等三角形的判定。解答：证明：AECFAED=CFB，（3分）DF=BE，DF+EF=BE+EF， 即DE=BF，（6分）在ADE和CBF中，（9分）ADECBF（SAS）（10分）2.（2012年，黄石）（本小题满分7分）如图（8），已知在平行四边形中，. 求证：.【考点】平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质【专题】证明题ABCDEF图（8）【分析】根据平行四边形性质求出ADBC，且AD=BC，推出ADE=

11、CBF，求出DE=BF，证ADECBF，推出DAE=BCF即可【解答】证明：四边形ABCD为平行四边形 ADBC,且AD=BC ADE=BCF 2分 又BE=DF, BF=DE 1分 ADECBF 2分 DAE=BCF 2分【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出ADE和CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力3.【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质【专题】几何综合题【分析】（1）由ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD与CD的长，又

12、由a=2，BPQBDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；（2）首先过点P作PEBC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解此方程即可求得答案；首先假设存在点P在ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在【解答】解：（1）ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，BD=CD=1 2 BC=6cm，a=2，BP=2tcm，DQ=tcm，BQ=

13、BD-QD=6-t（cm），BPQBDA，BP BD =BQ AB ，即2t 6 =6-t 10 ，解得：t=18 13 ；（2）过点P作PEBC于E，四边形PQCM为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM，PB：AB=CM：AC，AB=AC，PB=CM，PB=PQ，BE=1 2 BQ=1 2 （6-t）cm，a=5 2 ，PB=5 2 tcm，ADBC，PEAD，PB：AB=BE：BD，即5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解得：t=3 2 ，PQ=PB=5 2 t=15 4 （cm）；不存在理由如下：四边形PQCM为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM，PB：AB=CM

14、：AC，AB=AC，PB=CM，PB=PQ若点P在ACB的平分线上，则PCQ=PCM，PMCQ，PCQ=CPM，CPM=PCM，PM=CM，四边形PQCM是菱形，PQ=CQ，PB=CQ，PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t（cm），PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），即at=6+t，PMCQ，PM：BC=AP：AB，6+t 12 =10-at 10 ，化简得：6at+5t=30，把代入得，t=-6 11 ，不存在实数a，使得点P在ACB的平分线上【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识此题难度较大，

15、注意数形结合思想与方程思想的应用4.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：首先根据平行四边形的性质可得AB=DC，ABDC，再根据平行线的性质可得B=DCF，即可证明ABEDCF，再根据全等三角形性质可得到结论解答：证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=DC，ABDC，B=DCF，在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS），BAE=CDF点评：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是找到证明ABEDCF的条件5.考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质。分析：（1）首先连接AG，由正方形A

16、EGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，易证得GAE=CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共线，继而可得HD=BE，GC=BE，即可求得HD：GC：EB的值；（2）连接AG、AC，由ADC和AHG都是等腰直角三角形，易证得DAHCAG与DAHBAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值；（3）由矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，由DA：AB=HA：AE=m：n，易证得ADCAHG，DAHCAG，ADHABE，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD：GC：EB的值解答：解：（1）连接AG，正方形AEGH的顶点

17、E、H在正方形ABCD的边上，GAE=CAB=45°，AE=AH，AB=AD，A，G，C共线，ABAE=ADAH，HD=BE，AG=AE，AC=AB，GC=ACAG=ABAE=（ABAE）=BE，HD：GC：EB=1：1（3分）（2）连接AG、AC，ADC和AHG都是等腰直角三角形，AD：AC=AH：AG=1：，DAC=HAG=45°，DAH=CAG，（4分）DAHCAG，HD：GC=AD：AC=1：，（5分）DAB=HAE=90°，DAH=BAE，在DAH和BAE中，DAHBAE（SAS），HD=EB，HD：GC：EB=1：1；（6分）（3）有变化，连接AG、A

18、C，矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，DA：AB=HA：AE=m：n，ADC=AHG=90°，ADCAHG，AD：AC=AH：AG=m：，DAC=HAG，DAH=CAG，（4分）DAHCAG，HD：GC=AD：AC=m：，（5分）DAB=HAE=90°，DAH=BAE，DA：AB=HA：AE=m：n，ADHABE，DH：BE=AD：AB=m：n，HD：GC：EB=m：n（8分）6解: (1)(6分)解法一：过P作PEQC 则是等边三角形，P、Q同时出发、速度相同，即BQ=APBQ=PF,BD=DF=,BD=DF=FA=AB=2,AP=2.解法二： P、Q同时同速出发，AQ=BQ设AP=BQ=，则PC=6-，QC=6+在RtQCP中，CQP=,C= CQP=QC=2PC,即6+=2（6-）=2AP=2（2）由（1）知BD=DF而APF是等边三角形，PEAF,AE=EF又DE+(BD+AE)=AB=6,DE+(DF+EF)=6，即DE+DE=6DE=3为定值，即DE的长不变7解：（1）2分（2）证明：由题意，位似且相似比是，.5分又.7分的长为.8、（1）(2)作EHAB交BG于点H，则AB=CD，EHABCD