2013中考数学压轴题正方形问题精选解析二

1、2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(二)NKGCEDFABPM例3 如图，在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当NPF的面积为32时，求x的值；（3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由解析：（1）正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCDEF90O ，AEMC，MCNKAENK，KNAEAFKNAEAF，即

2、yx6（0x6）（2）由（1）知NKAE，ANAF正方形DMNK，APNM，1FPPM，SMNPSNPF32S正方形DMNK2SMNP64y8，x2（3）连接PG，延长FG交AD于点H，则GHAD易知：AP，AHx，PHx，HG6；PGAPGFx当两圆外切时在RtGHP中，PH 2HG 2PG 2，即(x)262(x)2解得：x33（舍去）或x33当两圆内切时在RtGHP中，PH 2HG 2PG 2，即(x)262(x)2方程无解所以，当x33时，两圆相切例4 已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，EAF45°，连接EF（1）如图1，

3、当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）设BEx，DFy，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动试判断以E为圆心，以BE为半径的E和以F为圆心，以FD为半径的F之间的位置关系；ABDCEFG图2ABDCEF图1（4）如图2，当点E在BC的延长线上时，设AE与CD交于点G问：EGF与EFA能否相似？若能相似，求出BE的长，若不可能相似，请说明理由解析：（1）猜想：EFBEDF证明：将ADF绕点A顺时针旋转90°，得ABF，易

4、知点F、B、E在同一直线上（如.图1）ABDCEF图1F12AFAFFAE132390°45°45°EAF又AEAE，AFEAFEEFFEBEBFBEDF（2）在RtEFC中，EC 2FC 2EF 2EC1x，FC1y，EFxy(1x)2(1y)2(xy)2y（0x1）（3）当点E在点B、C之间时，由（1）知EFBEDF，故此时E与F外切；当点E在点C时，DF0，F不存在.当点E在BC延长线上时，将ADF绕点A顺时针旋转90°，得ABF（如图2）则AFAF，12，BFDF，FAF90°FAEEAF45°又AEAE，AFEAFEEFEF

5、BEBFBEDF此时E与F内切综上所述，当点E在线段BC上时，E与F外切；当点E在BC延长线上时，E与F内切ABDCEFG图2F12（4）EGF与EFA能够相似，只要当EFGEAF45°即可此时CECF设BEx，DFy，由（3）知EFxy在RtCFE中，CE 2CF 2EF 2(x1)2(1y)2(xy)2y（x1）由CECF，得x11y，即x11化简得x22x10，解得x11（舍去），x21EGF与EFA能够相似，此时BE的长为1例5 已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90°，AD2，BC6，AB3E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG

6、和梯形ABCD在BC的同侧（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形BEFG，当点E与点C重合时停止平移设平移的距离为t，正方形BEFG的边EF与AC交于点M，连接BD，BM，DM是否存在这样的t，使BDM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形BEFG与ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围BACD备用图BACD解析：（1）如图，设正方形BEFG的边长为x则BEFGBGxBACD图EFGAB3，BC6

7、，AGABBG3xGFBE，AGFABC，即 解得x2，即BE2（2）存在满足条件的t，理由如下：如图，过D作DHBC于点H则BHAD2，DHAB3由题意得：BBHEt，HB|t2|，EC4tBACD图EFGHBMN在RtBME中，BM 2BE 2ME 222(2t)2t22t8EFAB，MECABC，即 ，ME2t在RtDHB 中，BD 2DH 2BH 232(t2)2t24t13过M作MNDH于点N则MNHEt，NHME2tDNDHNH3(2t)t1在RtDMN中，DM 2DN 2MN 2t2t1（）若DBM90°，则DM 2BM 2BD 2即 t2t1(t22t8)(t24t1

8、3)，解得t（）若BMD90°，则BD 2BM 2DM 2即t24t13( t22t8)( t2t1)，解得t13，t230t4，t3（）若BDM90°，则BM 2BD 2DM 2即 t22t8(t24t13)( t2t1)，此方程无解BACD图EFGBH综上所述，当t 或3 时，BDM是直角三角形（3）当0t 时，S t2当 t2时，S t2t 当2t 时，S t22t BACD图EFGBH当 t4时，St提示：当点F落在CD上时，如图FE2，EC4t，DH3，HC4由FECDHC，得 即 ，t当点G落在AC上时，点G也在DH上（即DH与AC的交点）BACD图EFGBMNt2当点G落在CD上时，如图GB2，BC6t由GBCDHC，得 即 ，t当点E与点C重合时，t4BACD图EFGBMNPQ当0t 时，如图MFt，FNtSSFMN·t·t t2当 t2时，如图PFt ，FQPFt1BACD图EFGBPQMNSFPQ( t )( t1) t2t SSFMNSFPQ t2( t2t ) t2t 当2t 时，如图BMBC( 6t)3 tGM2( 3 t)t1S梯形GM