2016挑战中考数学压轴题因动点产生的面积问题

1、因动点产生的面积问题例1 2015年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PFBC于点F点D、E的坐标分别为(0, 6)、(4, 0)，联结PD、PE、DE（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使PDE的周长最小的点P也是一个“好点

2、”请直接写出所有“好点”的个数，并求出PDE周长最小时“好点”的坐标图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P在A、C两点间的抛物线上运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，“使PDE的面积为整数” 的点P共有11个思路点拨1第（2）题通过计算进行说理设点P的坐标，用两点间的距离公式表示PD、PF的长2第（3）题用第（2）题的结论，把PDE的周长最小值转化为求PEPF的最小值满分解答（1）抛物线的解析式为（2）小明的判断正确，对于任意一点P，PDPF2说理如下：设点P的坐标为，那么PFyFyP而FD2，所以FD因此PDPF2为定值（3）“好点”共有11个在PDE中，DE

3、为定值，因此周长的最小值取决于FDPE的最小值而PDPE(PF2)PE(PFPE)2，因此当P、E、F三点共线时，PDE的周长最小（如图2）此时EFx轴，点P的横坐标为4所以PDE周长最小时，“好点”P的坐标为(4, 6)图2 图3考点伸展第（3）题的11个“好点”是这样求的：如图3，联结OP，那么SPDESPODSPOESDOE因为SPOD，SPOE，SDOE12，所以SPDE因此S是x的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x6如图4，当8x0时，4S13所以面积的值为整数的个数为10当S12时，方程的两个解8, 4都在8x0范围内所以“使PDE的面积为整数” 的 “好点”P共有11个图

4、4例2 2014年昆明市中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3（a0）与x轴交于A(2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动当PBQ存在时，求运动多少秒时PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使SCBKSPBQ52，求点K的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P从A向B运动，可以体验到，当P运

5、动到AB的中点时，PBQ的面积最大双击按钮“PBQ面积最大”，再拖动点K在BC下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5思路点拨1PBQ的面积可以表示为t的二次函数，求二次函数的最小值2PBQ与PBC是同高三角形，PBC与CBK是同底三角形，把CBK与PBQ的比转化为CBK与PBC的比满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(2, 0)、B(4, 0)两点，所以ya(x2)(x4)所以8a3解得所以抛物线的解析式为（2）如图2，过点Q作QHx轴，垂足为H在RtBCO中，OB4，OC3，所以BC5，sinB在RtBQH中，BQt，所以QHBQsinBt所以SPBQ因为0t2

6、，所以当t1时，PBQ的面积最大，最大面积是。（3）当PBQ的面积最大时，t1，此时P是AB的中点，P(1, 0)，BQ1。如图3，因为PBC与PBQ是同高三角形，SPBCSPBQBCBQ51。当SCBKSPBQ52时，SPBCSCBK21。因为PBC与CBK是同底三角形，所以对应高的比为21。如图4，过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K，那么PBDB21。因为点K在BC的下方，所以点D在点B的右侧，点D的坐标为过点K作KEx轴于E设点K的坐标为由，得整理，得x24x30解得x1，或x3所以点K的坐标为或图2 图3 图4考点伸展第（3）题也可以这样思考：由SCBKSPBQ52，SPBQ，得

7、SCBK如图5，过点K作x轴的垂线交BC于F设点K的坐标为由于点F在直线BC：上所以点F的坐标为所以KFCBK被KF分割为CKF和BKF，他们的高的和为OB4所以SCBK解得x1，或x3图5例3 2013年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(1,0)（1）b_，点B的横坐标为_（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结BC，过点A作直线AE/BC，与抛物线交于点E点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛

8、物线上的一动点，连结PB、PC设PBC的面积为S求S的取值范围；若PBC的面积S为正整数，则这样的PBC共有_个图1 动感体验请打开几何画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，EHA与COB保持相似点击按钮“C、D、E三点共线”，此时EHDCOD拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个请打开超级画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，EHA与COB保持相似点击按钮“C、D、E三点共线”，此时EHDCOD拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个思路点拨1用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB

9、2OC2当C、D、E三点共线时，EHACOB，EHDCOD3求PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方4求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数注意排除点A、C、B三个时刻的值满分解答（1）b，点B的横坐标为2c（2）由，设E过点E作EHx轴于H由于OB2OC，当AE/BC时，AH2EH所以因此所以当C、D、E三点在同一直线上时，所以整理，得2c23c20解得c2或（舍去）所以抛物线的解析式为（3）当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F直线BC的解析式为设，那么，所以SPBCSPBFSPCF因此当P在BC下方时，PBC的最

10、大值为4当P在BC上方时，因为SABC5，所以SPBC5综上所述，0S5若PBC的面积S为正整数，则这样的PBC共有11个考点伸展点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）当P在BC下方，S4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点例4 2012年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形ABO（1）一抛物线经过点A、B、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物

11、线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质图1动感体验请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PBAB是等腰梯形时，四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PBAB是等腰梯形时，四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍思路点拨1四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍，可以转化为四边形PBOB的面

12、积是ABO面积的3倍2联结PO，四边形PBOB可以分割为两个三角形3过点向x轴作垂线，四边形PBOB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形满分解答（1）AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A、B的坐标分别为(1, 0) 、(0, 2)因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(2, 0)，设解析式为ya(x1)(x2)，代入B(0, 2)，得a1所以该抛物线的解析式为y(x1)(x2) x2x2（2）SABO1如果S四边形PBAB4 SABO4，那么S四边形PBOB3 SABO3如图2，作PDOB，垂足为D设点P的坐标为 (x，x2x2)所以解方程x22x23，得x1x21所以点P的坐

13、标为(1，2)图2 图3 图4（3）如图3，四边形PBAB是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线考点伸展第（2）题求四边形PBOB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单所以甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：作AOB关于抛物线的对称轴对称的BOE，那么点E的坐标为(1，2)而矩形EBOD与AOB、BOP是等底等高的，所以四边形EBAB的面积是ABO面积的4倍因此点E就是要探求的点P例 5 2012年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线yax2bx3交于A、

14、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PDAB于点D（1）求a、b及sinACP的值；（2）设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；连结PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为910？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值观察面积比的度

15、量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是910，也可以是109思路点拨1第（1）题由于CP/y轴，把ACP转化为它的同位角2第（2）题中，PDPCsinACP，第（1）题已经做好了铺垫3PCD与PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比4两个三角形的面积比为910，要分两种情况讨论满分解答（1）设直线与y轴交于点E，那么A(2,0)，B(4,3)，E(0,1)在RtAEO中，OA2，OE1，所以所以因为PC/EO，所以ACPAEO因此将A(2,0)、B(4,3)分别代入yax2bx3，得解得，（2）由，得所以所以PD的最大值为（3）当SPCDSPCB910时，；当SP

16、CDSPCB109时，图2考点伸展第（3）题的思路是：PCD与PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比而，BM4m当SPCDSPCB910时，解得当SPCDSPCB109时，解得例 6 2011年南通市中考第28题如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x0)交于点B(2，1)过点(p1)作x轴的平行线分别交曲线(x0)和(x0)于M、N两点（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y2上，求证：PMBPNA；（3）是否存在实数p，使得SAMN4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“11南通28”

17、，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；AMN和AMP是两个同高的三角形，MN4MP存在两种情况思路点拨1第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中2第（3）题把SAMN4SAMP转化为MN4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论满分解答（1）因为点B(2，1)在双曲线上，所以m2设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为（2）由点(p1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方如图2，当y2时，点P的坐标为(3，2)此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(1，2)由P(3，2)、

18、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知PMB为等腰直角三角形由P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三角形所以PMBPNA图2 图3 图4（3）AMN和AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上当SAMN4SAMP时，MN4MP如图3，当M在NP上时，xMxN4(xPxM)因此解得或（此时点P在x轴下方，舍去）此时如图4，当M在NP的延长线上时，xMxN4(xMxP)因此解得或（此时点P在x轴下方，舍去）此时考点伸展在本题情景下，AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5，AMN90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（

19、3，2）情形二，如图6，MAN90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半不存在ANM90°的情况图5 图6例7 2010年广州市中考第25题如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数