特殊平行四边形：动点问题

1、特殊四边形：动点问题题型一：1.已知直角梯形 ABCD中，AD/ BC ABL BC, AD=2, BODO5,点P在BC上移动，则当PA+PD 取最小值时， APD中边AP上的高为()A ? ；17B、4 J17C -8、;'17D 317 '17 '172.如图4，在梯形 ABCDK AD/ BC AD= 6, BC= 16, E是BC的中点点P以每秒1个单位 长度的速度从点 A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点 C出 发，沿CB向点B运动点P停止运动时，点 Q也随之停止运动当运动时间t =秒时,以点P, Q E, D为顶点的四边形是平行四

2、边形 3.如图，在梯形 ABCD中, AD/ BC,E 是 BC的中点，AD=5, BC=12, CD=4 2，/ C=45°，点P是BC边上一动点，设 PB长为x.(1)当x的值为时，以点P、A D E为顶点的四边形为直角梯形 当x的值为时，以点P、A D E为顶点的四边形为平行四边形 (3) 点P在BC边上运动的过程中，以点 P、A、D E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明 理由4.在一个等腰梯形 ABCD中, AD/BC, AB=CD AD=10cm BC=30cm 动点P从点 A开始沿 AD 边向点D以每秒1cm的速度运动，同时动点 Q从点C开始沿CB边向点B以每秒3cm的速

3、度 运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s.(1) .t为何值时，四边形 ABQP为平行四边形？(2) .四边形ABQP能为等腰梯形吗？如果能，求出 t的值，如果不能，请说明理由。p Q c6.梯形 ABCD中, AD/ BC / B=90° AD=24cm AB=8cm BC=26cm 动点 P 从点 A 开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随 之停止运动。假设运动时间为t秒，问：(1)t为何值时，四边形PQCD1平行四

4、边形?(2) 在某个时刻，四边形(3) t为何值时，四边形(4) t为何值时，四边形PQC呵能是菱形吗？为什么?PQCD1直角梯形？PQCD1等腰梯形？为何值时，丄APQ是等腰三角形?7.如图，在直角梯形 ABCD中，/ B=90°, AD| BC,且 AD=4cm AB=8cm DC=10cm 若动点 P从点A出发，以每秒4cm的速度沿线段 AD DC向C点运动；动点 Q从C点以每秒5cm的 速度沿CB向B点运动。当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动。设 P、Q同时出发， 并运动了 t秒。(1 )直角梯形 ABCD的面积为 cm的平方.(2) 当t=秒时，四边形 PQCD平行四

5、边形。(3) 当 t=秒时，PQ=DC(4) 是否存在t，使得P点在线段DC上，且PQL DC(如图2所示)？若存在，列出方程求 出此时的t ;若不存在，请说明理由。&如图，在直角梯形 ABCD中，/ B=90°, AB| CD 且 AB=4cm BC=8cm DC=10cm 若动点 P从点A出发，以每秒1cm的速度沿线段 AB BC向C点运动；动点 Q从C点以每秒1cm的 速度沿CB向B点运动。当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动。设 P、Q同时出发， 并运动了 t秒。(1 )直角梯形 ABCD的面积为 cm的平方.(2) 当t=秒时，四边形 PBCC为平行四边形。(3

6、) 当 t=秒时，PQ=BC.10.如图，在等腰梯形 ABCD中, AB/ CD,其中AB=12 cm,CD=6cm ,梯形的高为4，点P从开 始沿AB边向点B以每秒3cm的速度移动，点Q从开始沿CD边向点D以每秒1cm的速度移动， 如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t秒。(1 )求证：当t为何值时，四边形 APQD是平行四边形；(2) PQ是否可能平分对角线 BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD若不能，请说明理 由;(3) 若厶DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求 t的值。11.如图，在直角梯形 ABCD中, AB/CD, / C=RTZ ,AB=

7、AD=10cm,BC=8cm点 P从点 A 出发，以 每秒3cm的速度沿线段 AB方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段 DC方向向 点C运动。已知动点 P、Q同时出发，当点 Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为 t(s).(1) 求CD的长。当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD勺周长；(3) 在点P,点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得 BPM面积为20cm2?若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由。13.已知，矩形ABCD中，AB =4cm , BC = 8cm , AC的垂直平分线 EF分别交 AD、BC于 点E、F ,垂足为0 .(

8、1)如图10-1,连接AF、CE .求证四边形 AFCE为菱形，并求AF的长； 如图10-2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿 AFB和.CDE各边匀速运动一周 即点P自A t F t B t A停止，点Q自C t D t E C停止在运动过程中， 已知点P的速度为每秒5 cm,点Q的速度为每秒4 cm,运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值 若点P、Q的运动路程分别为 a、b(单位：cm,ab = O),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式14.已知：如图，在梯形 ABCD中, AB/ DC / B=90

9、6; BC=8cm CD=24cm AB=26Cm 点 P 从C出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从A出发，以3cm/s的速度向B运 动，其中一 动点达到端点时，另一动点随之停止运动.从运动开始. |(1) 经过多少时间，四边形 AQPD是平行四边形？(2) 经过多少时间，四边形 AQPD成为等腰梯形？(3 )在运动过程中，P、Q B C四点有可能构成正方形吗？为什么？如图，在梯形 ABCD中, AD/ BC / B=90°, AD=16cm AB=12cm BC=21cm 动点 P 从点 B 出发，沿射线 BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点 Q从点A出发，在线段 AD上以每

10、秒 1cm的速度向点D运动，点P, Q分别从点B, A同时出发，当点 Q运动到点D时，点P随之 停止运动，设运动的时间为 t (秒). 当t为何值时，四边形 PQDC1平行四边形； 当t为何值时，以C, D, Q P为顶点的梯形面积等于 60cm2？ 是否存在点卩，使厶PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由.15.如图，在梯形 ABCD中, AD/ BC, AD=6 DC=10 AB=5、'6，/ B=45°.动点 M从 B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点 C运动；动点N同时从C点出发沿线段 CD以每 秒1个单位长度的速度向

11、终点 D运动.设运动的时间为 t秒.(1 )求BC的长.(2) 当MN/ AB时，求t的值.(3) MN(可能为等腰三角形吗？若能，请求出 t的值；若不能，请说明理由.(4) MN(可能为直角三角形吗？若能，请求出 t的值；若不能，请说明理由.(5) MNC为20时，请求出t的值.如图，直角梯形 ABCD中, AB/ CD / A=90°, AB=；，3 , AD=4 DC/732,点 p 从点 a出发沿折线段 AD-DC-CB以每秒3个单位长的速度向点 B匀速运动，同时，点 Q从点A出发 沿射线AB方向以每秒2个单位长的速度匀速运动，当点P与点B重合时停止运动，点 Q也 随之停止，

12、设点 P, Q的运动时间是t秒(t > 0).(1) 当点P到达终点B时，求t的值；(2) 设厶APQ的面积为S,分别求出点 P运动到AD CD上时，S与t的函数关系式；(3 )当t为何值时，能使 PQ/ DB 当t为何值时，能使 P、Q D B四点构成的四边形是平行四边形。16.如图，在等腰梯形 ABCD中, AD/ BC AB=DC=60 AD=75 BC=135点P从点B出发沿折 线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点 C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以 每秒3个单位长的速度匀速运动， 过点Q向上作射线Q灶BC交折线段CD-DA-AB于点E.点 P、Q同时开始运动，

13、当点 P与点C重合时停止运动，点 Q也随之停止.设点 P、Q运动的时 间是t秒(t > 0).(1) 当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时 BQ的长；(2) 当点P运动到AD上时，t为何值能使 PQ/ DC(3) 设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S,分别求出点 E运动到CD DA上时，S与t的函 数关系式；(不必写出t的取值范围)(4) PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由.17.如图，直角梯形ABCD中, AD/ BC, / ABC=90，已知 AD=AB=3 BC=3 3，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA

14、向点A作匀速运动.过 Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N. P、Q两点同时出发，速度都为每秒 1个单 位长度当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动设点 Q运动的时间为t秒.(1 )求NC MC的长(用t的代数式表示)；(2) 当t为何值时，四边形 PCDQ构成平行四边形？(3) 当t为何值时，射线 QN恰好将 ABC的面积平分？并判断此时 ABC的周长是否也被 射线QN平分.A19.如图，已知直角梯形 ABCD中, AD/ BC, AB丄BC, AD=2 AB=8, CD=10(1) 求梯形ABCD的面积S;(2) 动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B 2 D-C方向，向点

15、C运动；动点 Q从点C出发，以2cm/s的速度、沿C-D-A方向，向点A运动.若P、Q两点同时出发，当其中 一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒.问：当点P在B-A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？ 若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形 ABCD的面积；若不存在，请说明理由； 在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D Q为顶点的三角形恰好是以 DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由.20.在直角梯形 ABCD中，/ C=90°，高CD=6cm底BC=10cm(如图1).动点Q从点B

16、出发， 沿BC运动到点C停止，运动的速度都是1cm/s .同时，动点P也从B点出发，沿BA-AD运 动到点D停止，且PQ始终垂直BC.设P, Q同时从点B出发，运动的时间为 t (s),点P 运动的路程为y (cm).分别以t, y为横、纵坐标建立直角坐标系(如图2),已知如图中线5段为y与t的函数的部分图象经测量点M与N的坐标分别为(4, 5)和(2 , 2).(1 )求M N所在直线的解析式；(2) 求梯形 ABCD中边AB与AD的长；(3) 写出点P在AD边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图2 中补全整运动中y关于t的函数关系的大致图象.(S2)22.如图，在直

17、角梯形 ABCD中, AD/ BC, / B=90°, AD=6 BC=8 AB=3 2，点 M是 BC 的 中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点 B匀速运动，到达点 B后立刻以 原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线 MC上匀速运动.在点P, Q的运动过程中，以 PQ为边作等边三角形 EPQ使它与梯形 ABCD在射线BC的同侧.点P, Q同时出发，当点 P返回到点M时停止运动，点 Q也随之停止.设点 P, Q运动的时间是t秒(t >0).(1) 设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式(不 必写t的取值范

18、围)；(2) 当BP=1时，求 EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；已知：如图，在直角梯形 COAB中, OC/ AB / AOC=90 , AB=4, AO=8 OC=10以O为原点 建立平面直角坐标系， 点D为线段BC的中点，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度， 沿折线AOCD终点C运动，运动时间是t秒.(1) D点的坐标为;(2) 当t为何值时， APD是直角三角形；(3) 如果另有一动点 Q从C点出发，沿折线 CBA向终点A以每秒5个单位的速度与 P点同时运动，当一点到达终点时，两点均停止运动，问:P、C Q A四点围成的四边形的面积能否为28?如果可能，求出对应的t ;如果不可能

19、，请说明理由.在梯形ABCO中，OC AB,以0为原点建立平面直角坐标系，A、B C三点的坐标分别是 A(8，0)，B( 8，10)，C( 0，4).点D (4, 7)为线段 BC的中点，动点 P从0点出发，以 每秒1个单位的速度，沿折线 OAB的路线运动，运动时间为 t秒.(1) 求直线BC的解析式；(2) 设厶OPD勺面积为s，求出s与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；3(3) 当t为何值时， OPD的面积是梯形 OABC勺面积的"a?如图，在直角梯形 COAB, CB/ OA以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为 A( 10, 0)、C( 0, 8), CB=4,

20、 D为OA中点，动点P自A点出发沿 M B 3 O的线路移动，速度为 1个单位/秒，移动时间为t秒.(1 )求AB的长，并求当PD将梯形COABF周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；(2) 动点P在从A到B的移动过程中，设 APD的面积为S,试写出S与t的函数关系式， 并指出t的取值范围；(3) 几秒后线段 PD将梯形COABF面积分成1: 3的两部分？求出此时点 P的坐标？已知直角梯形 OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB/ OC AB=1Q OC=22 BC=15,动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点 N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿

21、CO向O点运动.当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停 止运动.(1 )求B点坐标；(2)设运动时间为t秒； 当t为何值时，四边形 OAMN勺面积是梯形 OABC面积的一半； 当t为何值时，四边形 OAMN勺面积最小，并求出最小面积； 若另有一动点 P,在点M N运动的同时，也从点A出发沿A0运动.在的条件下，PM+PN如图(1),以梯形OABC的顶点O为原点，底边OA所在的直线为轴建立直角坐标系.梯形其它三个顶点坐标分别为：A ( 14, 0) , B (11, 4), C ( 3, 4),点E以每秒2个单位的速度从O点出发沿射线 OA向A点运动，同时点 F以每秒3个单位的速度，从 O点出

22、发沿折线 OCB 向B运动，设运动时间为 t .(1 )当t=4秒时，判断四边形 COEB是什么样的四边形？(2) 当t为何值时，四边形 COEF是直角梯形？(3) 在运动过程中，四边形 COEF能否成为一个菱形？若能，请求出 t的值；若不能，请简 要说明理由，并改变 E、F两点中任一个点的运动速度，使 E、F运动到某时刻时，四边形 COEF是菱形，并写出改变后的速度及 t的值如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA / BC , BC=14 , A (16, 0),C ( 0, 2).(1) 如图，若点 P、Q分别从点C、A同时出发，点P以每秒2个单位的速度由C向B 运动，点

23、Q以每秒4个单位的速度由 A向0运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动.设 运动时间为t秒(OW t W)4 求当t为多少时，四边形 PQAB为平行四边形？ 求当t为多少时，直线 PQ将梯形OABC分成左右两部分的比为 1 : 2，并求出此时直线 PQ的解析式.(2) 如图，若点P、Q分别是线段BC、A0上的任意两点(不与线段 BC、A0的端点重 合)，且四边形 OQPC面积为10,试说明直线PQ 一定经过一定点，并求出该定点的坐标. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO的变OC落在x轴的正半轴上，且 AB/OC ,BC丄OC , AB=4,BC=7 , OC=1O.正方形ODEF的两边

24、分别坐落在坐标轴上，且它的面积等 于直角梯形ABCO面积，将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形 ABCO 的重叠部分面积为 S。(1 )求正方形 ODEF的边长。(2 )求OA所在直线的解析式(3) 当正方形 ODEF移动到顶点O与C重合时，求S的值(4) 设正方形 ODEF顶点O向右移动的距离为 x，当正方形ODEF的边ED与y轴重合时， 停止移动，求重叠部分面积S与x的函数关系式。(备用图)如图，在厶 ABC 中，/ ACB=90 ° , AC=BC=6cm ,等腰 RT DEF 中，/ D=90 ° , EF=4cm.EF 在BC所在直线L上，开始时

25、点F与点C重合，让等腰RT DEF沿直线L向右以每秒1cm 的速度做匀速运动，最后点 E和点B重合。(1 )请直接写出等腰 RT DEF运动6S时与 ABC重叠部分面积(2)设运动时间为 xS,运动过程中，等腰 RT DEF与厶ABC重叠部分面积为 ycm2 在等腰RT DEF运动6S后至运动停止前这段时间内，求y与x之间的函数关系式 在RTA DEF整个运动过程中，求当 x为何值时，y=1/2.题型二：1.如图，正方形ABCD勺边长为4cm,两动点P、Q分别同时从 D A出发，以1cm/秒的速度各自 沿着DA AB边向A B运动。试解答下列各题：(1 )当P出发后多少秒时，三角形PDO为等腰

26、三角形；(2)当P、Q出发后多少秒，四边形 APOC为正方形；(3)当P、Q出发后多少秒时,QD32正方形ABCDb2.如图所示，有四个动点 P、Q E、F分别从正方形 ABCD勺四个顶点出发，沿着 AB BC CD DA以同样的速度向 B、C、D A各点移动。(1) 试判断四边形 PQEF是正方形并证明。(2) PE是否总过某一定点，并说明理由。(3) 四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小，最大？各是多少？3.已知：如图，边长为 a的菱形ABCC中，/ DAB=60 , E是异于A D两点的动点，F是CD 上的动点。请你判断：无论 E、F怎样移动，当满足：AE+CF=a时， BEF是什

27、么三角形？并 说明你的结论。4.如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD (不含B点)上任意 一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN连接EN AM CM.求证： AMBA ENB 当M点在何处时，AM+ CM的值最小；当M点在何处时，AW BWCM的值最小，并说明理由； 当AMMr BW CM的最小值为,31时，求正方形的边长题型三:1.如图，在直角梯形 ABCD中, AD/BC,/ C= 90°, BC= 16, DC= 12, A» 21。动点 P从点D出发，沿射线 DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线

28、段CB上以每秒1个单位长的速度向点 B运动，点P, Q分别从点D, C同时出发，当点Q运动到点 B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t (秒)。(1 )设厶BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式；(2) 当t为何值时，四边形 ABPQ平行四边形？(3) 当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？(4) 是否存在时刻t，使得PQL BD?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。2.如图，在等腰梯形 ABCD中，AD/BC,AE 丄BC于点 E, DEL BC于 F,AD=2cm,BC=6cm,AE=4cm, 点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接BP、PQ QC CB所

29、围的封闭图形记为 M若点P 在线段AE上运动时，点Q也随之在线段 DF上运动，使图形M的形状发生改变， 但面积始终 为10cm2，设EP=xcm,FQ=ycm解答下列问题：（1）直接写出当x=3时y的值。（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。（3）当x取何值时，图形 M为等腰梯形？图形 M为三角形？（4）直接写出线段 PQ在运动过程中所能扫过的区域的面积。3.在边长为6的菱形ABC中，动点M从点A出发，沿 At 4 C向终点C运动，连接 DM交 AC于点N.（1 ）如图251,当点M在AB边上时，连接 BN求证： ABNADN ;若/ ABC= 60 ° , AM= 4 ,Z ABN = ：,求点 M到AD的距离及tan 的值；（2 ）如图252，若/ ABC= 90 °，记点 M运动所经过的路程为 x （6< x< 12）. 试问：x为何值时， ADN为等腰三角形.4.在正方形 ABCD中, M是边BC中点，E是边AB上的一个动点，MF丄ME,MF交射线CD于点F,AB=4, BE=x CF=y（1 ）求y关于x的解析式及定义域（2） 当点F在边C