A07专题七平面向量及运用

1、专题七 平面向量及其运用【考点聚焦】考点1:向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积考点2 :向量的坐标运算、平面向量的数量积考点3 :解斜三角形考点4 :线段的定比分点、平移公式.考点5 :向量的运用.【自我检测】1、 叫做向量；2、 叫做共线向量(平行向量);3、 叫做相等向量；4、 叫做单位向量.5、 向量加法法则是, .减法法则是 .6、 设 a =( xi,yi), b=( X2,y2),九 e Ra + b=，它满足的运算性质有 .a - b=，它满足的运算性质有 . a=，它满足的运算性质有 .=，它满足的运算性质有 .cos= .a II b：二 =; a _L b：= =

2、 .7、 正弦定理的内容是 .8 余弦定理的内容是 .9、 定比分点坐标公式是 (其中=).10、 平移公式是 .【重点难点热点】问题1:向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件例1:已知a是以点A(3, 1)为起点，且与向量 b = ( 3,4)平行的单位向量，则向量 a 的终点坐标是.a思路分析：与a平行的单位向量 e=-|a|方法设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知”4( x -3) + 3( y +1 ) = 0(x - 3)2 ( y

3、 + 1)2 = 1解得12_ 18二丁，故填9=5121189(12,- 5)或(18,- 5 )x515421n arccos 14点评：本题利用模的性质|a|2= a2 ,在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法1 3 4方法二 与向量b = (-3,4)平行的单位向量是土 (-3,4)，故可得a= (-,)，从而55 5向量a的终点坐标是(x,y)= a (3, 1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区 分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念例2:已知| a |=1,| b |=1, a与b的夹角为60 , x

4、=2a b, y=3b a，则x与y的夹角是多少？思路分析：要计算x与y的夹角0,需求出|x|,y|,x y的值.计算时要注意计算的准确性.1 解：由已知 |a|=|b|=1, a 与 b 的夹角 a为 60，得 a b=|a|b|cos a -.2要计算x与y的夹角0需求出|x|, |y|, x y的值.2 2 2 2 2 1t |x| = x =(2a b) =4a 4a b+ b =4 4 x+1=3 ,2222221|y| = y =(3b a) =9b 6b a+a =9 6x +1=7.22x y=(2a b) (3b a)=6a b 2a 3b + a b2 21_ o_ 3=7

5、a b 2a 3b =7 x 2 3=2 23 _p_又 x y=|x|y|cos 0 即一一=.、3 x . 7 cos 0221V21cos 0 一石,眦迹百.即x与y的夹角是的几何意义获得：如图所示,设AB=b, AC=a, AD =2a,/ BAC=60 .由向量减法的几何意义，得BD = AD AB=2a b.由余弦定理易得| BD |= . 3 ,即|x|= -一 3 ,同理可得|y|= 7 .问题2：平面向量与函数、不等式的综合运用当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的

6、解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：利用向量平行或垂直的充要条件， 利用向量数量积的公式和性质.例3.已知平面向量a = ( . 3 , 1), b=(丄，3).2 2(1)若存在实数k和t ,便得x = a+ (t2 3)b, y= ka+1b ,且x丄y，试求函数的关系 式 k = f(t);（2）根据（1）的结论，确定k= f（t）的单调区间.思路分析：欲求函数关系式 k=f（t），只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的 等量关系怎么得到？求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调 区间的简捷有效的方法？,3t2 - 2.3 - 2),2 解：（1）法一：

7、由题意知 x= （- 2 3 一 3y= (1t 、,3k，仝t+ k)，又 x丄y2 2故 x y=2亠3 x( 1t3k)+ 几2 3-2 人三t+ k) = 0.- 2 2 2整理得：t3 3t 4k = 0,即 k =丄 t3 t.44_1； 3法二：t a= ( 3， 1)， b= (,- ),. a = 2， b = 1 且 a丄 b2 21 3/ x丄y，.x = 0，即一k a 2 + t(t2 3) b 2= 0，二 t3 3t 4k = 0,即 k = t3 t(2)由(1)知：k= f(t) = -t3 3t k” =厂(t)443 33=t4 44令 k 0 得一1 v

8、tv 1;令 kx 0 得 tv 1 或 t 1.1）和（1,+）.是先利用向量的故k = f（t）的单调递减区间是（一 1, 1 ），单调递增区间是（一8,一 点评：第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：- 坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直 的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算 过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知 识交汇点处的综合运用.-13演变3：已知平面向量a = （ ,3， 1），b =（，），若存在不为零的实数k和2 2角a ,使向量C

9、= a + (sin a 3)b , d = k a + (sin a ) b ,且C丄d，试求实数k的取点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力演变4：已知向量a = (1,2),b = (-：2,1)，若正数k和t使得向量2 1x = a (t1)b与 y = -kab 垂直，求点拨与提示：(1 )利用向量垂直的充要条件找到k与t之间的等量关系.(2)利用均值不等式求最值.问题3 :平面向量与三角函数的综合运用向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强 了对双基的考查.例4.设函数f (

10、x) = a b，其中向量a= (2cosx , 1), b = (cosx, . 3 sin2x), x R.(1 )若 f(x)= 1 3且 x ,，求 x;3 3(2)若函数y= 2sin2x的图象按向量 象，求实数m、n的值.c= (m , n) ( m ji-)平移后得到函数y= f(x)的图思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换 等基本技能,解：依题设，f(x) =( 2cosx, 1) (cosx, .、3sin2x)=2cos2x+ , 3 sin2x= 1 + 2sin(2x+)6nf-n由 1 + 2sin(2x+)=1 . 3，得 si

11、n(2x+)=6 6jiji/ xw 33Jl兀5：w 2x+w266jijeje2x+=,即 x=.634(2)函数y= 2sin2x的图象按向量c=( m , n)平移后得到函数y= 2sin2(x m)+n的图象，即函数y= f(x)的图象.ji.m =, n = 1.12C上任一点按向量平移，由这些n. . n由(1)得 f (x) = 2sin2(x) 1/ m v ,12 2点评：把函数的图像按向量平移，可以看成是点平移后的对应点所组成的图象是C,明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.一般地，函数y= f (x)的图象按向量a= (h , k)平

12、移后的函数解析式为 y k= f (x h)演变 5：已知 a= (cos a sina) ,b= (cos 3sin B (0 0)的准线I与x轴相交于点A, .OF, =2FA.过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(I )求椭圆的方程及离心率；(n)设AP =，AQ( 1)，过点P且平行于准线I的直线与椭圆相交于另一点M，证明：FM = - FQ.2X解：(I)椭圆方程为62 _V 彳-61，离心率e =23(n )证明：设 P (xi,yi) ,Q(x2,y2),又 A (3，0)， AP = (% -3, yj, AQ = (x2 -3, y2)注意入 1，消去Xi、yi 和 y2 得

13、 x2 =5 -12，因 F (2,0)M (xi,-yi)，2 2 2 2由已知得方程组：x1-3(X2-3),y1y2 ；:I斗11、故 FM 二(x1 - 2, S 乂 _ 3)J S =,如(，y2).而 FQ =(X2 -2,y2)=(亠2九y2).所以FM 7.FQ.点评：运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰，易于操作，比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多2演变6:已知椭圆方程乙 2 =1，过b (- 1，0)的直线|交随圆于C、D两点,4交直线x = 4于E点，B、E分CD的比分入1、入2.求证：入1 +入2= 0点拨与提示：利用 CB =BD和

14、CE = pED，将入1和入2用C D两点的坐标表示出来，再相加可得结论例6.设p0是一常数，过点 Q（2p,0）的直线与抛物线 y2 =2px交于相异两点 A、B，以线段AB为直径作圆H （ H为圆 心），试证明抛物线顶点在圆 H的圆周上；并求圆 H的面积最 小时直线AB的方程.思路分析：要证点0在圆H上，只要证0A丄0B,可转化 为向量运算OA OB = 0，用向量运算的方法证明.（见图1）解：由题意，直线 AB不能是水平线，故可设直线方程为: ky= x 2p又设A ( xA,yA) ,b(Xb，Yb),则其坐标满足kJ?-X-2p 消去 x,得 y2 2pky 4p2= 0由此得丿Ya

15、 Yb =2pkYaYb _ -4p2xa + Xb= 4p + k (Ya + Yb) = (4+ 2)p ,xaxb=(Ya Yb?(2p)=4P2因此OA OB = Xaxb+ Yayb= 0,即OA丄OB ,故O必在圆H的圆周上. 又由题意圆心H(Xh , yH)是AB的中点,XhYhXa Xb2Yb2=(2 k2)pYa=kpy =2px由前已证，OH应是圆H的半径，且 OH = JxH +yH = pPk4 +5k2 +4从而当k= 0时，圆H的半径最小，亦使圆 H的面积最小.此时，直线 AB的方程为：x = 2p.点评：运用向量的数量积，可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速

16、转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果.演变7：给定抛物线C:y2 = 4x, F是C的焦点，过点F的直线I与C相交于A、B两点.设I的斜率为1,求OA与OB夹角的大小；例7 :设G、H分别为非等边三角形 ABC的重心与外心，A(0 , 2) , B (0, 2)且GM =：&.AB (入 R). (I)求点C(x, y)的轨迹E的方程;(n)过点(2, 0)作直线L与曲线E交于点 M、N两点，设OP =OM ON，是否存在这样的直线 L,使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在， 试说明理由思路分析：(1)通过向量的共线关系得到坐标的等量关系( 2)根据矩形应该具备的充要

17、条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得k的值.X H(?0)解:(1)由已知得 g(-,),又GHAB,3 3/ CH=HA (x _x)2 y2 = (x)2 4332 2 _即 x -1(x =二2、3)124(2)设1方程为y=k(x-2)，代入曲线E得(3k2+1)2 2 2x2-12k2x+12(k2-1)=0N (刘，y1), M (x2, y2),贝U X1 +X2=| ,3k +15=1)3k +1 =ON OM四边形OMPN是平行四边形.若四边形OMPN是矩形，则ON_OM Z+yg 飞2(-零 4)=0得 k=33k2 - 13k2 1 3k2 1直线 1 为：y= y

18、 =、3(x2)点评：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题演变8平面直角坐标系中,满足OC OA -：OB，其中，A . 3x+ 2y 11=0O为坐标原点，已知两点A(3, 1), B( 1, 3), 若点C1 R且+亠1，则点C的轨迹方程为().B . (x 1)2+ (y 2)2=5C. 2x y=0D . x+ 2y 5=0点拨与提示：本题主要考查向量的运算(几何形式或坐标形式)及直线的方程，把向量联系起来，使问题立意更新，情景更好，内容更丰富专题小结1、要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握 两向量共线、垂直的充要条件 2、向量与函数

19、、不等式的综合问题，解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：利用向量平行或垂直的充要条件，利用向量数量积的公式和性质3、平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的 处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为 运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题【临阵磨枪】52,则a与（的夹角为（A 302.已知点的比为3:3A2B 60 Mi (6, 2)和2，则的值为C 120 M2 ( 1 ,D 1507),直线y=mx 7与线段()M1M2的交点分有向线段M1M2233 .已知a,b是非零向量且满足（a 2b

20、)jiB -314丄a, （ b 2a）丄b,则a与b的夹角是（2 二1 已知向量 2 =(1,2),d =(-2,-4),|c|=j5,若(a b) cOA5.设坐标原点为O,6.O是平面上一定点,Tt一，4抛物线y2=2x与过焦点的直线交于 A,1212B 两点，则 oA OB=()A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足OP=OA +入（）,4.已知向量 OB =(2 , 0),向量 OC= (2, 2),向量 CA = ( J2COSG, J2sina ),则向量 与向量OB的夹角的范围为0, * ：），则点P的轨迹一定通过厶 ABC的（ ）A 外心B 内心C 重心D 垂心7 .

21、点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v = （4,-3）（即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为 V个单位）.设开始时点P的坐标为（一10, 10）,则5秒后点P的坐标为（）A(-2, 4)B4 (-30, 25)CJ(10, -5)D( 5, -10)&已知向量a丰e,1 e|= 1,对任意t r，恒有 |a te|a e|,则()4 4T T T44 444 4iAa丄eBa 丄(a e)C e丄(a e)D ( a + e)丄(ae)9. P是厶ABC所在平面上一点，若PA PB =PBPC =PC PA，则P是厶ABC的(D )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心10. ABC

22、中，若 a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，则/ C度数是：A 600B450 或 1350C120D3011. 已知向量a=(cosv,sin v)，向量b=(/3,-1),则|2a b|的最大值是 12 .把函数y=2x2 4x+ 5的图像按向量 a平移，得到y=2x2的图像，且 a丄b, c=(1, 1),b c=4，贝H b=13 .已知平面上三点 A、 B、C满足| AB |=3,| BC |=4 ,| CA |=5,则AB *BC BC *CA CA AB 的值等于.14. 在 ABC中，O为中线AM上一个动点，若 AM=2，则OA(OB - OC)的最小值是n n15. 已知

23、向量 a= (sin B, 1), b= (1, cos0)，?.(I)若a丄b,求0; (n)求丨a+ b丨的最大值.A16. 06年江西卷)如图，已知 ABC是边长为1的正三角 形，M N分别是边AB AC上的点，线段 MN经过 ABC的中心 G兀2 n设.MGA=:( 一33(1) 试将 AGMA AGN的面积(分别记为 S与S2) 表示为：的函数1 1(2) 求y = 2 +的最大值与最小值sj S2217. 已知定点F (1, 0),动点P在y轴上运动，过点 P作PM交x轴于点M，并延长MP至点N，且PM PF =0, PN = PM . (1)求动点N的 轨迹方程；(2)直线l与动

24、点N的轨迹交于A、B两点，若OA OB = -4且4 一 6 AB - 120 ,336127设交点 M (x,y), x=2 = 3, y =2- = 5，代入直线方程可得 .4 34 31 1 -2 2a2 2b?a = 0且b2 2a?b = 0,相减得| a | = | b | ,代入其中一式即可.4. D提示:点C的轨迹是以(2,2)为圆心， 2为半径的圆.5. B提示:设 A (X1,y1), B ( X2,y2), OA - OB = X1x2+y1y2=(，2)hy，将直线4方程y=k(x 0.5)代入抛物线方程消去 x可得yiy2.ABAC6. B 提示： 表示AB方向上的单

25、位向量， 表示AC方向上的单位向量,|AB|AC|T TAB AC4 +4在/ BAC的平分线上，故 P点的轨迹过三角形的内心 .|AC| |AC|7.C 提示：设5秒后点P运动到点A,则PA = P0 0A = 5V二(20, -15),二 OA =(20, -15) (-10,10)=(10,-5).t2 2 2C 提示：由|a t e| | a e|得|a t e | | a e | ,展开并整理得-2aet 2ae -1 - 0,由 t R,得 (-2ae)2 4-8ae 空 0 ,得 e(ae) =0 ,即a _ (ae).9. D 提示：由 PA 卩B = PB PC得PA 卩B

26、- PB PC = 0 .即 PB (PA -PC) =0,即 PB CA =0,则 PB _ CA,同理 PA _ BC,PC _ AB所以P为ABC的垂心.4,4 42Z 2.24,4 42 2 2 22. 22. 22,2 22 2 210. B 提示：由 a +b +c =2c (a +b )得：a +b +c 2a c -2b c +2a b =2a b ,即(a +b -c ) =2 a b2 ,2 2a2+b2-c2=_、2ab, a b -c-22 =C0SC11.12.4(3, 1)13.一-325 提示：因 AB 丄 BC, AB * BC = 0 , BC * CA -

27、-CB CA - -5 39 ,5CAAB=16，所以原式=0 9 16=- 2514图,OA (OB OC) =2 OA OM- -2 (OA + OM)，当OA = OM取等号即OA (OB OC)的最小值为：-2.15.解:由此得(n)由I a + b |(I)若 a丄b,贝U sin 0+ cos0= 0,nnntan 0= 1( 2 0 0)(2)先证明I与x轴不垂直，再设I的方程为y= kx+ b(k丰0),A( x1, y1),B( x2, y2).联立直线与抛物线方程，得2ky - 4 y+ 4b= 0,由 OA OB = -4，得 x1x2 y1y -4.又 力=4捲，y2

28、=4x2,故 y2 - -8 而4by1rb - -2 k.2AB16k232)96,480,解得直线l的斜率的取值范围是-1,-丄-,12 218略解(I)设点 P (x , y),分别计算出由题意,可得点 P的轨迹方程是MP MN ,x2 y2 二 3PM PN , NM NP ,(x 0)故点P的轨迹是以原点为圆心、3为半径的右半圆(n)2 2由(I)知，xo yo = 3(xq0)，可得PM PNcos 0 =-PM PN一 1又 xo (0, . 3)，二 cos 丁 1 .(1，1，,-),于是 sin 01 - cos2 二3-x；4x2二 tan日=|ycos -，演变题给点拨

29、，普通题给答案；一些(答案与点拨、提示，附在后面；原创题给详解 题目给演变角度)【挑战自我】已知点G是厶ABC的重心，A(0, 1) ,B(0, 1)，在x轴上有一点M，满足而A|=|MC|, Gm l.AB ( R).求点C的轨迹方程；_.若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点 P, Q,且满足|AP |=|AQ I,试求 k的取值范围.分析本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点的轨迹，直线与椭圆的位置关系通过向量和解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识和基本方法按照求轨迹方程的方法步骤，把向量问题坐标化，几何问题代数化x y T T解析设 C(x, y)

30、，则 G( ,) . GMAB (， R),. GM/AB,3 3又M是x轴上一点，则 M( x, 0).又|MA |=|MC |,3(中)2 +(0+1)2-x)2 +y2,2x整理得 y2 =1(x =0)，即为曲线C的方程.3当k=0时，I和椭圆C有不同两交点P, Q,根据椭圆对称性有|AP i=iaQi.=kx+ m0,即卩 1 + 3k2 m20.PX,yi), Q(x2, y2)，则xi, x是方程(*)的两相异实根，二PQ的中点N(x。, y。)的坐标是x1 x2X0=3km1 3k2(1)6kmx1 + x2= 21 3k2, m,yo= k xo+ m=2 ,1 +3k2当k

31、z 0时，可设I的方程为y=kx+ m, 联立方程组2 3km mN( 2 , 2 ),1 3k21 3k2T 、T T又|AP |=|AQ|,. AN 丄 PQ ,二 k kAN=k 1 3k23km21 3k21 3k22 2将 m= 代入(1)式,得 1 + 3k2 (1 3k-2 2)20 (k工0),即 k2v 1,二 k （ 1,0）U （0, 1）.综合得，k的取值范围是（一1,1）.对题目的要求：有较大的难度，有特别的解题思路、演变角度，要有一定的梯度.【答案及点拨】演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案演变1 ：设夹角为 B，贝U cos 0 0, （ a +入b）（入a

32、+ b） 0，入a2+ （入2+ 1） ab+入b? 0， 2入 + (入 + 1) 2.?2 cos45 + 4 入 0，.入 V 2 或入号（入工1）.e1=cos i+sin 0 e2=-sin i+ cos j e1#(i+j)；2方程为：ezpCi+j)演变2 :演变3:由条件可得:当 sin a = 1演变4: X -2 2X1 -y1 =2曲线为双曲线.13 29(sin a )，而一K sin a 1,4216时，k取最大值1;sina = 1时，k取最小值1 k的取值范围为-,0) U(0,1 22 1x y = 0即a (t 1)b( ka b)二-2 t2 亠 1_212

33、 p _二一kat b j bM W0f/ Fjfff1/ a =(1, 2),b =(-、2,1)， |a|= 3，|b|= 3-t 11a b = 2 +2 ，代入上式3k + 3t -2tt1当且仅当t=-，即t=1时，取“=”号，即 k的最小值是2.t演变 5： (1)证法一：/ a = (cos a sina) ,b= (cos 3sin p二 a+ b=( cos a-cos 3 sina+ sin ) , a-b=( cos a-cos 3 sin a sin )(a+b) (a-b)= (cos a-cos 3 sin a+ sin ) (cos acos B, sin a s

34、in )2 2 2 2=cos a-cos p+sin a sin p=0 (a+b)丄(a- b)证法二：/a=(cosa,sin a),b= (cos3s in)la |= 1,|b|= 12 2 2 2 (a+b) (-a-b)= a -b = |a|-| b| =0 (a+ b)丄(a-b)证法三：/a=(cosa,sin a),b= (cospsinp |a|=1,|b|= 1,记OA = a, OB = b,则iOAi=iOBi=1,又a p, 0、A、B三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以 OA、0B为邻边的平行四边形 OACB是菱形，其中 0C = a+b,BA = a-b,由菱形对角线互相垂直，知(a+b