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文档简介

1、镇江实验高级中学高中数学教案 （选修4 - 2）【矩阵与变换】§ 2.5.1特征值与特征向量1教学目标：1、知识与技能：1. 掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义。2. 会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。2、过程与方法：通过实例了解矩阵变换在向量共线中的作用，进而为引入特征值和特征向量的概念做好必要的铺垫.3、情感态度与价值观：以已有知识为平台，结合实例，创设良好情境，调动学生学习的积极性，发挥学生的主动性.重点难点：1、教学重点:会求二阶矩阵的特征值与特征向量。2、教学难点:二阶矩阵特征值与特征向量的意义。教学方法：自主合作探究教具准备：多媒体设备教

2、学过程：问题探究、引入概念【情境】已知j:，匸01、计算下列结果:1010以上的计算结果与 二a ,0的关系是怎样的?0b2、计算下列结果：?。罔_ H 叫0=b 20一o 2b一以上的计算结果与 二a ,0的关系是怎样的?0匕1矩阵M =011表示一个压缩变换，它把下图中的正方形ABCO沿x轴垂直压缩为原来的一半向量I扁变换后分别与它们的原象共线合作学习、形成概念设矩阵A = |a b 1 上d 一，如果对于实数，存在一个非零向量二，使得A二=-，则称，是矩阵A的一个特征值。:是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同条直线上。这时，特征向

3、量或者方向不变（，0）,或者方向相反(<0).特别地，当 =0时，特征向量被变换成了0向量设是矩阵A= a：eb的一个特征值，它的一个特征向量为dxax by = x满足方程组_y-ex dy ='； y(' -a)x - by = 0故"丿 y ( *),此时 D =0、D =0,ex+(乙d)y = 0x y因-i，所以xy不全为，贝U D=,即-b-d设矩阵A ='a blle d 一, R,我们把行列式2f()=丸一（a+d）人+adbe称为A的特征多项式。分析表明，如果是矩阵二的特征值，则f芦円，此时，将代入方程 组卩，得到一组非零解l|X&#

4、176; 1 即 l|X° I为矩阵A的属于&的一个特征向量y°W° 一【引例】求出矩阵 A=° I的特征值和特征向量。：° -1 一总结求二阶矩阵特征值与特征向量的步骤，并思考能否从几何变换的角度直接观察出矩阵 A的特征向量？【定理1】如果：是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数t，t:也是矩阵A的属于特征值的特征向量。其几何意义是：属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线【思考】属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？【定理2】属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。学以致用、深化概念【例1】求投影变换矩阵M=_° 

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