2.1.4数乘向量

1、平面向量测试题（A卷）第I卷（选择题，共30分） 10小题，每小题3分，共30分）（）一、选择题（本大题共1. 下列命题中正确的是a.单位向量都相等B. 长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C. 若a, b满足|a|>| b|且a与b同向，贝U a>bD. 对于任意向量 a、b,必有| a+b| < | a|+| b|解析：向量既有大小又有方向；向量不能比较大小,或相反的非零向量叫平行向量（即共线向量）.答案：D2. 两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件a.充分不必要C.充要解析：向量相等答案：bB.必要不充分D.既不充分也不必要=向量的模相等，但向量的模相等

2、3.在四边形ABCDKAC=AB +AD，则()向量的模可以比较大小；方向相同矜向量相等.A.ABCDI 矩形c.abcdi正方形B.D.ABCD!菱形ABCD!平行四边形解析：由AC = AB + AD可知AC就是以AB AD为邻边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD平行四边形.答案：D4.已知 AB =a+5b, BC =-2 a+8b.cd =3( a-b)，则()A. A、C.BB D三点共线B.AC D三点共线D.AB、C三点共线C、D三点共线解析:AC = AB + BC =-a+13b,AD = AC +CD =2a+10b=2( a+5b)=2 AB , AD 与ab共线，

3、且共点A.a b、d三点共线.答案：a5. 当|a|=| b|丰0且a、b不共线时，a+b与a-b的关系是（）a.平行B.C.相交但不垂直D.解析：当a与b不共线时，线，由|a|=| b|工0可知该平行四边形为菱形，答案：B6. 在口ABCD，错误的式子是（）垂直相等a+b与a-b分别是以a, b为邻边的平行四边形的两条对角 a+b与a-b垂直.a. ad - ab =bdB.AD - AB = DBC. AB + BC = ACD.AD + AB = AC答案：B7.设a是非零向量，A.a与-入a的方向相反C.a与入2a的方向相同解析：(1)|入a|=|入| 方向相反.答案：C入是非零实数，

4、下列命题中是真命题的是()B.I-D.I-|a| ,(2)入 a| I a|入 a|=| 入 I a当入0时，入a与a方向相同，当入0时，入a与a8.已知正方形的边长为 1, AB =a, BC =b, AC =c,则| a+b+c|等于()A.0B.3C.D.2解析:I a+b+c|=|2 c|=2| c|= 2J12 +12 =272.答案:9.已知OA=a, OB=b, OC =c, OD =d,且四边形 ABCD平行四边形，贝U ()A. a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0C. a+ b- c- d= 0D. a- b- c+ d=0解析：如图，OD =0B + BD =0B +

5、(BA+AD)=OB +BA + BC=OB +(OA-OB) +(OC -OB) =a+c- b=d答案：B10.已知D E、F分别是 ABD的边BC CA AB的中点，FF 11且 BC =a, CA =b, AB =c,则下列各式： EF = c - b 2 21 ' 1 BE=a+b CF = a+2 2其中正确的等式的个数为A.1B.2C.3n-b AD+BE+CF=02)D.4解析：EF =ED +DF.1BE =BC +CE =a+b2 1 1CF =CE +EF = b- a2 2AD +BE + CF =(AC +CD) +(BC +CE)+(CB + BF)=(-b

6、- 1a)+( a+1 b)+(- a- - c)=- 1(a+b+c)=02 2 2 2答案：C第n卷（非选择题，共70分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11.设a表示“向东走 4 km” , b表示“向北走 3 km” ,则 a+b表示.解析：如图，|a+b|= J|a|2 +|b |2 = J42 +32 =5 km.3答案：向东偏北 arcsin 方向走5 km.512. a与b方向相反，且| a|>| b|,贝U a+b的方向与 a方向;此时I a+bI a|-| b|.解析：如图，作OA =a, AB=b,则OB =a+b，由图可知a+b 与 a 方向相

7、同，且 I a+b|=| a|-| b|. 答案：相同 =a, b表示AB为13.已知ABCDE为正六边形，且 AC =a, AD =b,则用解析：如图， AB = AC - BC =a-丄 AD =a- - b.2 2C1答案：a- b214. e1, e2不共线，当 k=时，a=ke1+e2, b=e1+ke2 共线.解析：设 a= b,则有ke1+e2 =入e1+k入e2有(Vk - k=± 1Ik2 =1答案：± 1三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分8分）化简：(AB -CD) =(AC -BD).解法一：

8、（统一成加法）(AB -CD) -(AC -BD) = AB CD -AC + BD = AB+ DC +CA+ BD=AB +BD +DC + CA =0.解法二：（利用OA-OB=BA）(AB -CD) - (AC - BD) = AB - CD - AC + BD = (AB - AC) - CD + BD=CB CD + BD = DB + BD= 0.解法三：（利用AB=OB-OA）设O是平面内任一点，则(AB -CD) - (AC -BD) = AB -CD - AC +BD= (OB -OA) (OD -OC) -(OC -OA) + (OD - OB) =0.16.（本小题满分

9、10分）已知ABCD是等腰梯形，E、F分别是两腰BC AD的中点，MN是线段EF上的两个点，且EMtMNNF,下底长是上底长的2倍,若 AB =a, BC =b,求 AM .1- 1 F F1 r- 1 - 3 解法一： EF =(AB +CD)=(AB +丄 AB)=上 AB2224"3"3"2"1- FE = AB = a, FM = FE = a .4 432IIdI过C作CGI AD交AB于点G贝u AG = GB =丄AB 2AD =GC =GB + BC =a+b 21 AF = AD =211 Aa+ b 421b.2,1EF = (AB

10、+CD)=-(AB +-AB),222丄一 11.13+ FM =(-a+-b)+ a=-a+-42241 12 '233=一 AB = - a44"1 1FM =-FE =-a34AM =AF解法二：= 3AB, FE4- AM = AB + BE + EM =a+1 b- 1 a= a+1 b.244217.（本小题满分12分）如图，若G是 ABC的重心，求证： GA+GB+GC=O.证法一：如图，以Ga、Gc为邻边作口AGCH连结GH易知GH过点E,且GE,则 GA +GC =萌=2G? = -Gb/ GA +GB +GC =0.证法二： GA =GE +EA =GE

11、+丄 CA2II1GB =GF +F B =G F + AB 2 1 GC =GD +DC =GD +BC 2 GA +GB +GC =(GE +GF + G5)+1(CA +AB +BC)=(GB+GA+GC) +03HH- (GA +GB +GC)=O 2:.GA +GB +GC =018.（本小题满分12分）已知e1, e2是两个不共线的向量， AB=e1+e2,CB =-入 e1-8 e2, CD =3&-3 a,若 A B、D三点在同一条直线上，求实数入的值.解法一： A、B D三点共线 AB与AD共线，.存在实数k,使AB =k AD又 AD = AB + BC +CD =

12、 ABCB +CD=(入 +4)8+602.有 e1+e2=k(入 +4)e1+6ke2.有严心6k = 1kJ6 "=2解法二： A、B D三点共线 AB与BD共线,存在实数m使AB=mBD又；BD = CD CB =（3+ 入）ei+5e2 （3+ 入）nei+5ne2=ei+e2.有（3 + A）m =1俪=1r1im =-5申：=219.（本小题满分12分）某人在静水中游泳， 速度为4j3公里/小时，他在水流速度为4公里/小时的河中游泳.（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ 他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少?解：（1）如图，设人游泳的速度为 OB，水流的速度为OA，以OA、OB为邻边作口 OAC,则此人的实际速度为 OA +OB = OC由勾股定理知I OC |=860。的夹角顺着水流的方向前进，