1.3空间几何体的表面积与体积

1、1.3空间几何体的表面积与体积第1课时教学内容1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积教学目标一、知识与技能1. 了解柱、锥、台的表面积计算公式（不要求记忆公式）2.能运用柱、锥台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题、过程与方法重视从实际出发，从具体到抽象，通过计算机呈现丰富的实物模型 一一空间几何体，在 此基础上引导学生观察、归纳、抽象、概括从而得出结论三、情感态度与价值观本节是根据柱、锥、台的结构特征并结合它们的展开图，推导它们的表面积的计算公式，从度量的角度认识空间几何体 .教学重点：柱体、锥体、台体的表面积.教学难点：台体中圆台的表面积的推导.教具准备：1.PPT课件；2.圆锥、圆台

2、的实物模型.教学过程、复习回顾展示棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、棱台、圆台的实物模型提出问题：如何求它们的表面积?:、创设情景，引入新课（一）柱体、锥体、台体的表面积如图，已知圆台下底面半径为r2，上底面半径为r1，母线长为l，求它的表面积长方体及其展开图以及他们的展开图，你知道它们的正方体及其展开图问题1在初中已经学过了正方体和长方体的表面积, 展开图与其表面积的关系吗？有什么区别和联系?问题2如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积？它们的展开图是什么?总结：S棱柱二S底面-S侧面（四边形）s棱锥二s底面 S侧面（三角形）s棱台二s底面 S侧面（梯形）例1已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC

3、，求它的表面积.分析：由于四面体S-ABC的四个面是全等的等边三角形，所以 四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.问题3如何求圆柱表面积，它的侧面展开图是什么？如图，已知圆柱的底面半径为r，母线长为丨，求它的表面积DS圆柱问题4如何求圆锥的表面积，它的侧面展开图是什么?.（演示模型）圆锥及其展开图总结：矩形的高=圆柱的母线长；矩形的长=底面周长如图，已知圆锥底面半径为r,母线长为丨，求它的表面积.总结：扇形的面积=-弧长半径2S圆锥二 S圆-S扇形二二r2 二rl hE（r l）扇形的面积=丄弧长半径三角形面积=1底高2 2（演示模型）（展问题5参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想圆台的侧面

4、展开图是什么?示 PPt）B台体及其展开图2 2总结：s圆台-二（ririlr2l r2 ）问题6圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的区别与联系22在S圆台-：（riril r2l 巾）中，令口 =0,即有s圆锥二二3（2 T）；令n =i2，即有S圆柱=2第1（丨）2 2 总结：因此只需记住圆台的表面积公式S圆台二二（11丨2丨2 ）n取3.14，结果精确到例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为 1.5 cm，盆壁长15cm 那么花盆外壁的表面积约是多少平方厘米（21 cm ） ?分析：花盆的表面积=花盆的侧面积+下底面面积-底面圆孔 的面积.（二）柱体

5、、锥体与台体的体积1.体积公式：体积公式体积公式棱柱V =S底h高圆柱V =jrr2h棱锥1V =§S底h高圆锥1 2V = 兀h3棱台V Js'+TSE +S)h3圆台12丄丄2V =-n(r' +r'r +r )h 32.柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体因而体积会有以下的关系：1S'-01, ,S'-S7锥ShV台（S' S'S S）hV柱二 Sh.三、例题精讲【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2

6、、3、6,则长方体的体积是（）.解：设长方体的长宽高分别为a,b, c，则ab = 2,ac =3,bc =6，三式相乘得（abc）2 =36.所以，长方体的体积为 6.【例2】一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器 出函数的定义域.解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为1 在 Rt-EOF 中，EF =5cm,0F xcm ,2,试建立容器的容积 V与x的函数关系式，并求xcm.E亠FD OB所以EO二1 21 2是 V 二一x 25 x .3 Y4依题意函数的定义域为x | 0 ： x :; 10.后平稳缓慢地将容器

7、倾斜让水流出，当容器中的水是原来的【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为 .、3，母线长为6,现将该容器盛满水，然 -时，圆柱的母线与水平面所成6的角的大小为解：容器中水的体积为 V =”:r2| =二(、.3)2 6 =18二.5流出水的体积为V'=(1_-)V=3二，如图，6设圆柱的母线与水平面所成的角为a,则2 3二 _2二（.3厂.tan = 3，解得2V '1' 2二 r二=60 .所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱60°.从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角

8、【例4】在边长为a的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积解：剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的设扇形半径为x,圆半径为r，则1 _2二x =2二r , 二 x=4r , AB 二 x r 川悔r =(5. 2)r.4又AB= 2a ,(5"、名，解得，岂尹圆锥的高 h = . x2 r2 = 15r ,.、，1八届(5“-2)3aS-V r h =336501点评：求已知的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关量间的关系搞清平面图形上的哪些量在旋转体中不变，哪些发生了变化四、课堂小结本节课主要介绍

9、了求几何体的表面积和体积的方法：将空间图形问题转化为平面图形问题，利用平面图形求面积的方法求立体图像的表面积和体积，体现了一种化归思想五、课后作业课本第28-29页习题1.3A组第1、2、4、5题.第2课时教学内容：1.3.2球的体积和表面积教学目标掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培 养转化与化归的数学思想方法 .重点、难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用教学难点：关于球的组合体的计算.教学过程一、导入新课思路：球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求 球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的

10、体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积 二、新知探究球的半径为R,它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数事实上,如果球的半径为 R,那么S=4%R2 V= - nR3'3'注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明三、应用示例例1如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：图12 球的体积等于圆柱体积的3球的表面积等于圆柱的侧面积(1)解：设球的半径为R，=3=图2正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA =14,AC= J2a,（2） 证明：（1）设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R,高为2R.43232则有V球= R , V圆柱=nR

11、 2R=2 n R所以V球=V圆柱.33（2）因为S球=4nR2, S圆柱侧=2n R - 2R=4冗% 所以S球=S圆柱侧.点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.变式训练表面积为 324 n的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的1. 如图2（1）所示，表面积.又T 4nR=324 n-；. R=9.；AC= . AC'2 -CC'2 8 2 . a=8.；S表=64X2+32X14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.2. 有一种空心钢球，质量为 142 g,测得外径（直径）等于 5 cm,求它的内径（钢

12、的密 度为 7.9 g/cm3，精确到 0.1 cm）.解：设空心球内径（直径）为 2x cm,则钢球质量为4 5 34 3 -7.9 （一）x : =142,323.3 /5、3142 3士宀x =（） 一11.3；. x2.24；.直径 2x4.5.27.9 4 3.14答：空心钢球的内径约为 4.5 cm.例2如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（n取3.1） ?图3活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含F底面

13、）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积解：圆柱形物体的侧面面积S1疋3.1 X 1 X 3=923（半球形物体的表面积为S2 2 X 3.1*2 1.6m2）,所以S1+S2 9.3+1.6=10.9m2）.10.9 X 150 1 635（.答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力变式训练有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？分析：转化为求水的体积.画出轴截面

14、，充分利用轴截面中的直角三角形来解决解：作出圆锥和球的轴截面图如图圆锥底面半径r= R =.、3R,tan 30°圆锥母线l=2r=2i3R，圆锥高为h= . 3r =3R,V 水=二 2、4 二r h33R33R2 3R - 1 R335:3R3，球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=j3R,设上底面半径为r则高h' =(r' tan60 ° - 3( 3R _ r'),- R3' h'(r2+r 2+rr' ), 5R3= . 3(. 3R _r')(r'2 . 3Rr' 3R2),335R3=

15、,3(3.3R3 _r'3),解得 r ' = 43R=6；R，(3_3.12)R.1 : 2 : 3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 h =3-阪)r.答：容器中水的高度为四、基础训练1.三个球的半径之比为( )A.1倍B.2倍分析：根据球的表面积等于其大圆面积的2r、3r，所以各球的表面积分别为4 n2、16n2、36n2,97C. 9倍D. 7倍544倍，可设最小的一个半径为r，则另两个为236n 2 仝(倍).4 n 16 n 5答案：C2.表面积为2 3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(a=1 ,分析：此正八面体是每个面的边长均为 a

16、的正三角形，所以由 8X-空=2. 3知,4则此球的直径为 2 .答案：A3.(2007北京西城抽样，文11)若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是 则球的表面积是.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为,42 32 =5，所以球的表面积是4 nX25100 n.)，每个钢球重145 kg,并且外径等 .如果是空心的，请你计算出它的答案：100n4某街心花园有许多钢球(钢的密度是.9g/cm3于50 cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的 内径(n取3.14，结果精确到1 cm).解：由于外径

17、为50 cm的钢球的质量为7.9 (50)3516 792g),32街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000 V 516 792,所以钢球是空心的.设球的内径是2xcm，那么球的质量为3X : =145 000,4 兀 /50、37.9 *()32解得 x3 11 240.9& 22.4,2 45(m).答：钢球是空心的，其内径约为45 cm.5. （ 2007海南高考，文11）已知三棱锥 S ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,球心O在AB上，SO丄底面ABC, AC=._2r,则球的体积与三棱锥体积之比是（）A. nB. 2 nC. 3 nD. 4 n1分析：

18、由题意得SO=r为三棱锥的高，ABC是等腰直角三角形，所以其面积是Xr=r2,2所以三棱锥体积是1 r2 r J"，又球的体积为4于，则球的体积与三棱锥体积之比是4n.333答案：D五、拓展提升问题：如图6,在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切 的球）球心O,且与BC, DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分， 设四棱锥A BEFD与三棱锥A EFC的表面积分别是 S , $,则必有（）A图6A.S1 VS2 B.S1>S2 C.S1=S2 D.S1,S2 的大小关系不能确定探究：如图 7,连 OA、OB、OC、OD，则 vabefd=Voabd+ voabe + vobefd + Vo adf ,VaEFC=VoAFC + VO AEc+ VOEFC , 又Vabefd=Vaefc，而每个小三棱锥的高都是原四面体 的内切球的半径， 故 Szabd+ Sa