(完整版)向量知识点总结

1、向量知识点总结一、教学要求：1. 理解向量（平面向量、空间向量）的概念，掌握向量的几何表示，了解共 线向量的概念，掌握向量的加法、减法，掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。了解向量的基本定理，掌握向量的数量积及其几何意义， 了解用 向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题，理解直线的方向向量、平面的法 向量、向量在平面内的射影等概念。2. 理解向量（平面向量、空间向量）的坐标的概念，掌握向量的直角坐标运 算及两点间的距离公式。3. 掌握线线的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。二、知识串讲：平面向量及其运算（一）向量的基本运算1. 有关概念（1）向量 既有大小又有方向的量叫做向

2、量。常用有向线段表示向量向量二要素方向长度6（2）向量的模一有向线段的长度| AB|，| a|长度等于1的向量叫做单位向量,a。a|a|零向量0 （ 0的方向不定），| 0| 0（3）共线向量（平行向量） 方向相同或相反的向量叫做平行向量或共 线向量。（4）相等的向量长度相等方向相同规定：00向量可以在平面（或空间）平行移动而不变 规定：零向量与任一向量平行。2. 向量有三种形式（或三种表示）几何表示几何运算代数表示代数运算坐标表示坐标运算3. 向量的加法、减法与数乘(1) 向量的加法一一三角形法则或平行四边形法则 如图：向量加法的多边形法则如图，求a b c(2) 向量的减法:a b a (

3、 b)，即向量a加上b的相反向量(a b的箭头指向被减向量)(3)实数与向量的乘积长度I a| | | |a|方向：0时与a同向a0时与a反向 a / a0时，a 0探b / a （ a 0 ）存在唯一实数，使b a4. 向量的运算法则（加、减、数乘）设向量a， b， c及实数，贝V： a b b a （a b） c a （ b c） （）aaa （a b）ab I a| | | |a| |a| |b| |a b| |a| |b|（此不等式表示三角形两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边，也称为 三角不等式。）5. 平面向量基本定理（向量的分解定理）e1 ， e2是平面内的两个不共线向量，那

4、么对该平面内任一向量a，存在唯一实数对1， 2，使得a1 e,2e2。（这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一 对向量的和。r ©2 e2叫做向量e-i ， e2的线性组合，© ， e2叫做表这一平面内所有向量的一组基底。 基底不唯一，关键是不共线 基底给定，分解形式唯一应用：设0A，OB不共线，点P在直线AB上（即A、B、P三点共线）OP OA 0B 且1 （ ，R）向量的坐标运算1在直角坐标系内，分别取与 X轴，y轴同方向的两个单位向量 i , j作为基 底，则该平面内任一向量 a，有且只有一对实数x，y，使得a x i y j ， 称（x，y

5、）叫做向量a的（直角）坐标，记作 a （x，y），即为向量的坐标表 示。（如图，当把向量 a的起点移至原点时，（x，y）是向量a OA终点A的坐标，即A x，y，x，y是向量a在x，y轴上的射影，与 a相等的向量的坐标 也相同。）"V2.向量的坐标运算r工已知 a (Xj, yj，b（x2， y2），R贝U：( !) a b (x! iy! j)(X2y2 j)X!X2 iy!y2 jX!X2，y!y2(2) a bX! x2， y! y2，设 A X!， y! ， B x2， y2BA a bX! x2， y! y22 2| AB | * X2y! y2xi,yi(3) axi,

6、yi(三)平面向量的数量积1. 数量积的概念设向量 OA a , OB b，/ AOB叫做向量a与b的夹角。记作a， b ， 0 a ， b 180(1)数量 | a | | b |cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作即 a b | a | | b |cos(2)数量积的几何意义：a b等于a的模I a |与b在a的方向上的射影| b |cos的乘积。2. 数量积的运算法则(1)(2)(a b ) c数量积不满足结合律!(4)(X1，yj， b(X2，y2)，则X1，y1X2，y2X1X2y2a e | a | cosX1 X2yy23. 重要性质(1)设e是单位向量,|a| Tb|(3) a / b aab ( b 0 )( 唯一确定)8Xi ,yi X2，yxi y2x2yi2(4) a|a|2，即 |a|.x2|a b| |a|b|（5）cos|a| |b|（四）定比分点与平移1.线段的定比分点设 Pi %，yi，P2 X2，y2,分点P x,，设p , P2是I上两点，P点在I上且不同于pe p,，若存在一实数，使PiP