(完整版)断裂力学复习题(实际)解答(课件)

1、断裂力学复习题1. 裂纹按几何特征可分为三类 ，分别是（穿透裂 纹）、（表面裂纹）和（深埋裂纹）。按力学特征也可 分为三类，分别是（张开型）、（滑开型）和（撕开型）。2. 应力强度因子是与（外载性质）、（裂纹）及 （裂纹弹性体几何形状）等因素有关的一个量。材料的断裂韧度则是（应力强度因子）的临界值，是通过（实验）测定的材料常数。3确定应力强度因子的方法有：（解析法），（数 值法），（实测法）。4.受二向均匀拉应力作用的“无限大”平板， 具有长度为2a的中心贯穿裂纹，求应力强度因子 的 表达式。ix a的裂纹自由面上，a时，随x a， y【解】将x坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在 裂纹中心，则上

2、图所示问题的边界条件为： 当y = 0，x 在y = 0，0, xy 0 ；而在 X可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解 析函数为乙（Z）、z2 a2(1)将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有z = Z +a 或 Z = z a,代入（1）,可得：乙（）于是有：( a):2a)心吧2(a)(2a)2a)215 对图示“无限大”平板H型裂纹问题，求应 力强度因子Ku的表达式。【解】将x坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在 裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为： 当 y = 0，X f 8时，x y 0, xy ； 在y = 0， x a的裂纹自由面上，y 0, xy 0 ；而在x a时，

3、随x a， xy 。可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解 析函数为Zna2(1)将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有z = Z +a 或 Z = z a，代入（1），可得:Zn ()a)2a)于是有: 八-0 2 二 a6 对图示“无限大”平板山型裂纹问题，求应 力强度因子K川的表达式。【解】将x坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，贝y上图所示问题的边界条件为: 当y = 0，x f 在y = 0 ,0, xy 0 ；而在 x时 x y 0, yz l x a的裂纹自由面上， a 时，随 x a, yz 。可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解析函数为l z(1)将坐标原

4、点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有z = Z +a 或 Z = z a,代入（1）,可得:于是有：i( a)(2a)lim 20i( a)(2a)lim 20i( a)(2a)7“无限大”平板中，在长度为 2a的中心贯穿 裂纹表面上，距裂纹中点为x= b处各作用一对集中 力P,求应力强度因子Ki的表达式。【解】对图示裂纹问题，取解析函数的表达式为：2p公 a2 b2乙(z)22(1)(z b )、z a可以验证，该解析函数满足这个裂纹问题的下述 边界条件： 在 ZT8处，x 0，y 0, xy 0； 在x| a,除x| b外的裂纹面上，y 0, xy 0 ； 如果切出xy坐标系第一象限的薄平板

5、，在x轴所在的截面上，内力的总和应该等于劈开力p,即t ydx = P (其中，t是薄平板的厚度)。a将坐标原点移到裂纹右尖端后，新坐标为 z a，代入(1)式得：Z ( )2p( a) a2 b2zi ()(a) b J (2a)于是有：Ki吧、2 （笃訂二a）lim 2 2 P(2 叮22p2 a2I I 0 (a)2 b2、2a 、 (a2 b2)8.在“无限大”平板的裂纹表面上，从 x a到x a和从x aUx a的这两部分裂纹面 上，受均匀分布的张力 P作用，试求裂纹尖端应力强 度因子心的表达式（不讲）【解】取微分段dx，其上作用的张力为dp=pdx, 利用距裂纹中点为x= 士 b处

6、各作用一对集中力 p时应dK|2 pdx a(a2 x2)于是有：令 x a sinK|a 2 pdx a已(a2 x2),贝y a2 x2 a cos , dx(1)a cos d，代入力强度因子的结果可得，这个微分段上的张力在裂纹 尖端处的应力强度因子为(1)式可得Kiasin2N.sin(a)acos dai()aa cos2p.sin 1 色aa2p cos9在“无限大”平板的裂纹表面上，从x a到x a 的这两部分裂纹面上，受均匀分布的张力 p作用，试 求裂纹尖端应力强度因子 Ki的表达式。【解】取微分段dx，其上作用的张力为dp=pdx, 利用利用距裂纹中点为 x= b处各作用一对

7、集中力 p 时应力强度因子的结果可得，这个微分段上的张力在裂纹尖端处的应力强度因子为于是有：令 x asindK|K|2 pdx a/ , 22?(a x )a 2 pdx ao , (a2 x2)x2 a cos ,dx a cos d(1)，代入(1)式可得Ki 2sin asin(a)a acos dA acos(一)a10 试用迭加原理求如图所示裂纹问题的裂尖应 力强度因子Ki的表达式。.inmtrWTCT r*-r-jmndrcr(a)(b)a4 diinniT 11 T(7【解】该受力图可以看成是图（a）和图（b）两 种受力情况的线性迭加。而图（b）构件的受力与裂纹表面平行，因此它

8、所对应的应力强度因子Ki =0，因此，原图构件的应力强度因子与图（a）的应力强度因子相等。前面已经求得图（a）的应力强度因子为 a，因此，原图构件的应力强度因子为Kia11.中心具有穿透裂纹的厚板条（平面应变情 况）,远端承受均匀拉伸作用，板的宽度为200mm ,裂纹长度为80mm，板的材料为铝合金，其K|C=38MN / m3/2，计算此板条的临界载荷。【解】这是一个中心具有贯穿裂纹的有限宽板条拉伸问题，其应力强度因子为K | 蔦式中的a为几何形状因子，经查表得WatgV a W式中的a为裂纹半长度，W为板宽裂纹处于临界状态时所作用的应力就是构件的C，将C代入K|的表达式，并K| K|caW

9、K|c临界载荷，设其为 令得于是有K|c38CW aa tg 飞 aW0.2tg0.040.22997(MNm 2)这就是说，在所给条件下，当板的拉伸应力达到 99.7MNm 2时，裂纹发生失稳扩展。12.某种合金钢在不同回火温度下，测得性能如 下：275。回火时，S 1780MN/m2,K|C 52MN /m3/2；600 回火时， S 1500MN/m 2,Kq 100MN /m3/2。设应力强度因子为 K| 1.1a，且工作应力为0.5 s。试求两种温度下构件的容限裂纹尺寸a,并确定选用哪种材料较好。【解】当K| Kic时，对应的裂纹尺寸 a就是容 限裂纹尺寸，记为aC。此时有11a K

10、IC，于是得：1 KicaC 11当 275 回火时，15220.0009m0.9mm，aC11 0.5 1780当 600 回火时，210010.00466m4.66mm。aC1.1 0.5 1500从强度指标看这种合金钢275回火温度略优于600回火温度，但从断裂韧性指标来看，600。回火温度比275。回火温度好得多。事实上， 构件中 0.9mm的裂纹是难以避免的，因此从全面考虑，应选 600的回火温度。13 要设计一个高强度材料的压力容器，设计许 用应力o=1400MN/ m2，采用的无损探伤设备只能发 现大于1mm深度的裂纹。因此可以假定容器内壁焊缝热影响区沿母线方向(这是最不利的位置

11、和最不利 方向)存在深度a = 1mm ,长度c=2a的表面浅裂纹。 现有A、B两种材料，其屈服极限S分别为 2100MN/ m2和1700MN/ m2 ;其焊缝热影响区的平面 应变断裂韧度 KIC分别为46.5 MN / m3/2和77.4 MN / m3/2。全面考虑，应选择哪一种材料？【解】从静强度分析:材料A的强度储备为材料B的强度储备为 两种材料均满足强度要求， 材料。nA(S)A21001.51400nB(S)B17001.221400但A材料强度储备高于B从断裂力学的观点分析：所给的问题可以理想化为半“无限大”体具有表面半椭圆形裂纹受均匀拉伸 应力作用的情况，其应力强度因子可写为

12、KI、蔦式中的a为几何形状因子，查表可得1.12丄，考E(k)虑到裂尖处由于高度的应力集中引起的小塑性区，a可修正为112 Q式中Q2E(k)20.2122,k 12，E(k)为第二类完整椭圆积分。可查表得到。取许用应力a作为容器的工作应力，也就是取= d=1400MN/ m2，则1_ 2 2 _QAE(k)2 0.2121.32(s)a12 2QbE(k)1.2630.212 -(S)B1400.00011.321.2 0 a (Ki)a1.12(Ki)b1.12 a1.12 1400 0.0011.26376.7MN /m2 (Kic)b75MN /m2 (Kq)a由此可见，本问题中选择B

13、材料比选择A材料优 越，它既满足强度要求，又有合适的抗断裂能力。如 果此时仅按传统设计思想而不从断裂力学的观点分 析，选用A种材料，必然会导致容器低应力脆断。14 .简述用有限单元法计算应力强度因子的方 法。(1)位移法为:有限元位移法计算裂尖 K因子无限大平板上的I型裂纹的裂尖处的位移分量u Kl . r COS-1 2sin2-2G 222v Kl r sin-1 2cos2-2G ； 2220时，应有：其中， (33Ki r u2G : 2)/(1 )4(1)平面应力 平面应变(1)G是材料的剪切弹性模量。用有限元法可以得出裂纹尖端区域 0线上r 不同的一些结点的位移值 U，将各点的r和

14、U值分别 代入(1)式，就可得到这些结点对应的不同的应力强度因子KI，称为各结点的表观应力强度因子。即:Ki2Gu 2=r将各点的K|作为纵坐标，将各点的r作为横坐标， 把这些点画在直角坐标系中，然后用最小二乘法拟 合，绘出最佳直线，然后将这条直线外推到r=0处，与纵坐标轴相交所得的截距 M ,就是裂纹尖端的K值。(b)应力法y轴的应“无限大”平板的I型裂纹裂尖处沿 力为K彳 3v cos 1 sin siny 72 r 222(1)0线上r在 0线上各点沿v轴的应力为v用有限元法可以得出裂纹尖端区域不同的一些结点的y，将各点的r和y值分别代入(1)式，得到这些结点对应的表观应力强度因子为：K

15、|yVTT与位移法类似，将有限元法算得的0线上各点的K|作为纵坐标，将各点的r作为横坐标，把这些点 画在直角坐标系中，然后用最小二乘法拟合，绘出最 佳直线，然后将这条直线外推到r=0处，与纵坐标轴相交所得的截距 M，就是裂尖的K值。15.简述用光弹性法测应力强度因子的方法 对于I型裂纹，在裂尖附近处的应力分量为xyKi彳COS 12 r 2Ki彳= cos 12 r 2Ki.3 sin sin 2 2.3 sin sin2 23 cossin cos2 r 222由材力中的应力圆知识可得（-）2（ xy）221 2max-2而由平面应力光学定律可得：nf1 2 h其中 n光弹性模型上被测点处的

16、等差线条纹级数; f光弹性材料的材料条纹值（ h光弹性试件的厚度（m）。以上各式联立得：maxN/m.条);Ki、2 r sinnfh(1)Ki r曲线型裂纹等差线条纹图通过平面光弹性实验可以得到等差线条纹图，由该图可测得任意一个点，例如 i点对应的极坐标ri和j 及其条纹级次口，而f和h均可由实验测得，将nj、j和j 代入（ 1）式，可得该点对应的表观应力强度因子 Ki， 沿某一固定角度 9测出一系列点的r和ni，分别代入（1）式，就可以得到一系列 Ki，将这一系列实验数 据画在 Kir 座标系中， 然后用回归法拟合出最佳 Ki r曲线，再外推至r = 0处，就可得到Ki。即lim KI K

17、Ir016线弹性断裂力学的断裂判据与材料力学的强 度条件有何异同 ?答：线弹性断裂力学的断裂判据为：Ki KiC （i = I、U、皿）其中， Ki 叫 i 型裂纹的应力强度因子。它们反映 了 i 型裂纹尖端应力场的强弱程度。是 与外载性质、 裂纹及裂纹弹性体几何形状 等因素有关的一个量。而 KiC 是 Ki 的临界值，称为材料的断裂韧度，是 材料常数 ， 通过实验测定 。材料力学的强度条件为：s其中，c叫工作应力。它反映了构件某点应力场 的强弱程度。是 与外载大小、方向、作用点及构件几 何形状 等因素有关的一个量。而s是6的临界值，称为材料的屈服极限，是 料常数，通过实验测定 。两者的相同之

18、处是：(1) 形式类似 。都是以某量达到临界值的形式 表述的；且该量都与外载性质及弹性体几何形状有 关。而临界值都是材料常数。(2) 临界值KiC和s都通过实验测定。 两者的差别是： 材料力学的强度条件是在材料为无缺陷的均匀 连续体的前提下得到的， 它没有考虑构件中存在的各 种缺陷，因此，按强度条件设计的构件在许多情况下 并不安全。而 线弹性断裂力学的断裂判据则考虑了构件中 的缺陷造成的应力集中，是从裂纹的平衡、扩展和失 稳规律出发得到的， 因此，按断裂判据设计的构件更 符合实际情况。17. Ki和Kic有何不同？答：Ki叫I型裂纹的应力强度因子。它们反映了 I型裂纹尖端应力场的强弱程度。是与

19、外载性质、裂 纹及裂纹弹性体几何形状等因素有关的一个量。而K I c是Ki的临界值，称为材料的断裂韧度， 是材料常数，通过实验测定。相应的应力强度因子断裂判据为：KI KIc其物理意义是：当裂纹的应力强度因子V材料的断裂韧度时，系统处于静止状态，裂纹不扩展；当裂纹的应力强度因子材料的断裂韧度时，裂 纹失稳扩展，直至断裂；当裂纹的应力强度因子=材料的断裂韧度时，裂 纹处于不稳定平衡状态。18 高强度铝合金厚板，中心具有长度为80mm的穿透裂纹，板的宽度为200mm，在垂直于裂纹方向 受到均匀拉伸作用。当裂纹发生失稳扩展时，施加的 拉伸应力f=100MN /m2，试计算：(1) 材料的断裂韧性值？

20、(2) 当板为“无限大”时，断裂失效应力为多 少？(3) 当板的宽度为120mm时，断裂失效应力又 为多少？【解】(1 )这是一个中心具有贯穿裂纹的有限宽 板条拉伸问题，其应力强度因子为k I、ca式中的a为几何形状因子，经查表得W atgN a W式中的a为裂纹半长度，W为板宽。 令 f，代入Ki的表达式，得Kica、Wtg a a W10002tg40 a 200381mn / m3/2。(2)当板为“无限大”时，断裂失效应力为KicF38.12120mm时，断裂失效应力为:38.12836(MN/m 2)I40012 tg I 1201075(MN/m 2) .314 0.04(3) 当

21、板的宽度为Kica,Wtg aV a W19 .高硅的镍铬钼钢，回火温度与材料的屈服极 限s和断裂韧度KIC的关系如下表。设构件存在表面 半椭圆裂纹，深度 a=2mm，裂纹的深长比旦=0.25，2c构件在垂直于裂纹平面的远方受拉应力 =1100MN/m 2作用，取安全系数n=1.2，试选择回火 温度。【解】从静强度分析:回火温度C275500600屈服极限 sMN/m 2178013901500断裂韧度KICMN /m3/2506496回火温度为275C时的强度储备为:(S)275Cn275C1780 1.6 ,1100回火温度为500C时的强度储备为:(s)500C1390n500C1.26

22、， 1100回火温度为600C时的强度储备为:(s)600C 1500n600C -1.36 1100三种回火温度均满足强度要求，但 275 C时的强 度储备高于其它两种温度。从断裂力学的观点分析：所给的问题可以理想化 为半“无限大”体具有表面半椭圆形裂纹受均匀拉伸 应力作用的情况，其应力强度因子可写为K| 口式中的a为几何形状因子，查表可得1.12丄,考E(k)虑到裂尖处由于高度的应力集中引起的小塑性区， 可修正为式中 Q E(k)20.212()2, kS二类完整椭圆积分。可查表得到。2，则1.21111(a)22 , E(k)为第 c.Q275，C取 d= M=1100MN/ m12E(

23、k)Q500CE(k)E(k)0.212( )2(S)275C0.212()2(S)500C0.212()2(S)600C1.21111.21111100 20.212()217801100 20.212()213900.212(-)2 1500、1.386 ；1.334 ；、1.353 ；1.12 十1.12. a1.121100 0.002:Q275C1.3861.12. a1.121100、0.002Q500C、1.3341.12 、a1.121100 0.002: Q6ooc1.353(Ki)275C(K|)5O0C(K|)6O0C3383.0MN /m2(Kic)275C 50MN

24、/m2,3384.6MN /m2(KIC)5OOC 64MN /mJ3384.0MN /m2 n2和n3分别是x轴、y轴和z轴与z轴夹角 的余弦。I1cos（9035 ） cos55 , l2 cos（18035 ）cos35 , l30,叶cos35 , m2 cos（9035 ） cos55 ,m30,0, n2 0, n31,代入上式后得：2 2xcos 35 , ycos 55，x ycos35cos55 ,xzl cos35 , yzl cos55Ki只与y有关，心只与xy有关，K川只与yz有关，所以有:v、fa 640 cos2 553.14 175 10 3 34.9MN/m32

25、 ；y；2一/i7533a 640 cos35 cos55 3.14 10 349.9MN/m 2 ; 2 17.5332KiKn xy K皿 yz . a 360 cos55 3.14 10 334.3MN/m 226 “无限大”平板内的贯穿裂纹表面上，作用 着一对力P,其方向如图，试求其应力强度因子 Ki的 表达式。【解】对图示裂纹问题，取解析函数的表达式为:ZnP a2 b2(z b) 一 z2a2(1)可以验证，该解析函数满足这个裂纹问题的下述边界条件: 在 ZIX 处，x 0, y 0, xy 0 ； 在|x a,除x b外的裂纹面上,y 0, xy 0 ； 如果切出x轴上面的薄平板

26、，在 x轴所在的a截面上，内力的总和应该满足t xydX t xydX=P （其a中，t是薄平板的厚度）。将坐标原点移到裂纹右尖端后，新坐标为z a,于是有：代入（1）式得:ZnpJa2 b2(a b).(2a)P a2 b22 2P a2 b2Zn(2)ZnP a2 b2a b)(2a)Kn lim 20（ a b） （2a）将x轴翻转180则力P作用点的横坐标是一b, 于是应力函数为z b） z2 a2将坐标原点移到裂纹左尖端，新坐标为 代入（1）式得:于是有:Knlim0 2Pa2 b2 a b)(2a)27根受扭矩Mn作用的圆管，平均半径为 R,壁厚为t，在圆管上有长为20的斜裂纹，且与管轴线（纵向线）的夹角为B ,试确定其裂尖应力强度因子-cos2()2 2xyxxyy 2Xyxy-cos2()2sin 2()2xyKixy a直角坐标系xoy ,则MnWnxy sin 2(2xySin2(Mn2 R2t、Mn)TSI n2 ,2 R2t)si n2 ,2 R2tcos2 o2 R2t a sin2 ,2 RtMn可 a cos 22 R2t川、Mcos