(完整版)椭圆经典精讲例题详细答案

1、椭圆经典精讲1、基本概念、基本图形、基本性质题1、题面：集合A (x,y)|x2 y2 4与B ( x, y) | x2 2y21的关系可表述为().A. AI B AB. A B C. B AD.A AB = ?答案：D.变式一题面：设双曲线的左，右焦点为Fi, F2,左，右顶点为 M, N，若 PF1F2的一个顶点P在双曲线上，则 PF1F2的内切圆与边F1F2的切点的位置是()A.在线段MN的内部B .在线段F1M的内部或NF2内部C. 点N或点MD. 以上三种情况都有可能 答案：C.详解：若P在右支上，并设内切圆与 PF1, PF2的切点分别为 A, B,则|NF1|- |NF2|=

2、|PF1| -|PF2|= (|PA|+ |AF 1|)-(|PB|+ |BF2|)= |AF1|-|BF2|.所以N为切点，同理P在左支上时，M为切点.变式二题面：若直线mx + ny= 4和圆O: x2 + y2= 4没有交点，则过点(m, n)的直线与椭圆 彳+£ =1的交点个数为()A .至多1个B . 2个C. 1个D . 0个答案：B.详解：4由题意得,_4一 > 2,即m2+ n2v 4，则点(m, n)在以原点为圆心，以 2为半径的 Pm2+ n2圆内，此圆在椭圆 屯+羊=1的内部.题面：如图，倾斜圆柱形容器，液面的边界近似一个椭圆。若容器底面与桌面成角为 60

3、°，则这个椭圆的离心率是 答案：解题步骤：由图，短轴就是内径 2r，长轴为4r，即：a 2r, b r,c 、.3r，变式一题面：已知椭圆2豊=1(a > b> 0)的两顶点为bA(a,0), B(0, b),且左焦点为F, FAB是10以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率A.3 12C.1+4D.答案：B.详解：1±5 由题意得 a2+ b2 + a2= (a + c)2,即 c2 + ac a2 = 0,即 e2+ e 1 = 0，解得 e=-.又e> 0，故所求的椭圆的离心率为.5 12变式二题面：(2012新课标全国卷)设Fi, F2是椭圆E：

4、壬+寺=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x= §上一点， F2PF1是底角为30 °勺等腰三角形，贝U E的离心率为()1A.22B.3d.4答案：C.详解：33由题意可得 |PF2|= |FiF2|,.2 2a- c = 2c,. 3a = 4c,. e=4题3、2 2题面：椭圆 1 乂 1与圆(X 1)2 y21的公共点个数是 。43答案：1.变式一题面：x2 y2x2 y2已知椭圆C1:話+器=1(a1> b1 >0)和椭圆C2： & +吉=1(a2 >b2 >0)的焦点相同且a1 > a2.给出如下四个结论：椭

5、圆C1和椭圆C2 一定没有公共点； a2 - a2= b1- b2 ；a2 b2-b2.其中，所有正确结论的序号是A .B .C.D .答案：C.详解：由已知条件可得a1 - b1= a2-b§,可得a? -a2= b?- b2,而a1> a2,可知两椭圆无公共点，即正确；又a1- a2= b1- b2,知正确；由a1- b2= a2 - b2,可得a1+ b2= b1+a2,则a1b2, a2b1的大小关系不确定，芋芒不正确，即不正确J a1>b1>0, a2>b2>0，二 a1+ a2> b1 + b2>0,而又由(a1+ a2)(a1-

6、 a2) = (3+ b2)(b1- b2),可得 a1- a2< b-b2,即正确.综上可得，正确的结论序号为变式二题面：11(a>b>0)的离心率e=，右焦点为F(c,O)，方程 ax2 + bxC= 0的两个实根分别为X1和X2,则点P(xi , X2)()A .必在圆x2 + y = 2内B .必在圆X2 + y2 2上c.必在圆x2 +2夕卜D .以上三种情形都有可能答案：A,详解：由已知得2X1X2 =c 1ae= = ;，贝U c=.又 x1 + x2 = a 222c b2 + 2ca b2 + a2 2ab2+=a2+ aa2bc,X1X2= 一,aa.22

7、孑一首2 = 2,因此点P(X1, X2)必在圆x2 + y = 2所以 x1+ ©=(X1 + X2)2内.2、关注几何(甚至就是平面几何)题4、2 2题面：设AB是经过椭圆C：笃 每 1, a b 0中心的弦，F是椭圆的一个焦点, a b则厶ABF的面积最大值为.答案：b a2 b2 .变式一题面：(2012天津高考)设m, n R，若直线I: mx+ ny 1= 0与x轴相交于点 A，与y轴相交于点B，且I与圆x2+ y2= 4相交所得弦的长为 2, O为坐标原点，则 AOB面积的 最小值为.答案：3.详解：由直线与圆相交所得弦长为2,知圆心到直线的距离为3,即1= 3,所以V

8、m2+ n21 11 1 1m2+ n2 =2in|,所以 |mn| 1 又 A, 0 , B 0，-，所以 AOB 的面积为>33 、*11 6m ，n，2|mn| ®最小值为3.变式二题面：已知椭圆方程为2 + x2 = 1斜率为k(kz0的直线I过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P, Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0，m).(1)求m的取值范围;(2)求厶MPQ面积的最大值. 答案：1(1) 0<m<23 .6详解:(1)设直线I的方程为y= kx+1,y = kx+ 1,由 忙+ 2可得(k2 + 2)x2 + 2kx- 1 = 0.2 十 x =

9、，设 P(x1, y1), Q(x2, y2),则X1 + x2 =-2kk2+ 2'1x1x2=- k2+ 2.可得 y1 + y2= k(x1 + X2)+ 2=4k2+ 2.设线段PQ的中点为N，则点N的坐标为-k 2k2+ 2，k2+ 2，由题意有2m-可得kk=- 1,可得k2 + 2m=1k2，又kMQ所以0<m<1设椭圆的焦点为F,则 Sampq = 1 |FM | |x1 x2 |= . 2m 1 - m 3,所以 MPQ 的面积为,'2m 1 - m 3(05<丁). 设 f(m)= m(1 m)3，贝U f 'n(= (1 - m)

10、2(1 4m).1 11可知f(m)在区间0, 1上单调递增，在区间 4, 1上单调递减.1127所以，当m=匸时，f(m)有最大值f -=灵.4 4 256即当m = 4时， MPQ的面积有最大值 器.题5、2F2 ,题面：过椭圆 y21的中心作直线I与椭圆交于P,Q两点，设椭圆的右焦点为4当 PF2Q厂时，求 PF?Q的面积3答案：週.3变式一题面：X2 V2在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: 25+ £ = 1的左、右焦点分别是F2, P为椭圆C上的一点，且PF1丄PF2,则厶PF1F2的面积为.答案：9.详解： PF1 丄 PF2, a |PF1|2+ |PF2|2= IF1

11、F2I2，由椭圆方程知 a = 5, b= 3,=4,2 2 2|PF1|2+ |PF2|2 = 4c2= 64,"|PF1|+ |PF2|= 2a= 10,解得 |PF1|PF2| = 18,1 1 PF1F2 的面积为 2|PF1|PF2| = 2x18= 9.变式二题面：(2012安徽高考)如图，F1, F2分别是椭圆 C： X2+ y2= 1(a>b>0)的左，右焦点, a b是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，/ F1AF2= 60 °(1) 求椭圆C的离心率；(2) 已知 AF1B的面积为40.3，求a, b的值.答案:1(1) e=

12、 2.(2) a = 10, b= 5 ,3.详解：1(1)由题意可知， AF1F2为等边三角形，a = 2c,所以e= 2法一：a2= 4c2, b2 = 3c2,直线AB的方程为y=3(x- c).将其代入椭圆方程3x2+ 4y2= 12c2，得B§c c ,5 5所以 AB|= 一1+ 3* 0 = %由 SAAF1B= *|AF 1| |AB|sin / F1AB=苏詈。于=23a2= 40 3，解得 a= 10, b= 5 3.法二：设 |AB|= t.因为 AF2|= a，所以 |BF2|= t a.由椭圆定义 |BF1|+ |BF2|= 2a 可知，|BF1|= 3a

13、t, 再由余弦定理(3a1)2= a2+ t2 2atcos 60可得，8 丄1832 H3 2t= a.由 SA AF1B=；a：a -=a2= 40 3知，52525a= 10, b= 5債3.题6、x2题面：过椭圆C:82y221上一点P(xo,y°)向圆O： x y4引两条切线PA、PB , (A, B为切点)，若PAPB ，贝U P点的坐标是4答案：(2. 2,0).解题步骤： 连接OA, OB ；(几何思考的意识、辅助线添加习惯) 标注三个垂直符号；(把初中的习惯恢复起来) 看出是矩形； 进一步明确是正方形； |OP| 2.2，且意识到2 2 a ； 椭圆上到中心的距离等于半长轴的点只有长轴端点。变式一题面：2设Fi, F2分别是椭圆；4+y2= 1的左、右焦点，p是第一象限内该椭圆上的一点,且PFi丄PF2，则点P的横坐标为()8B. 3D.C. 2 2答案：D.详解：由题意知，点 P即为圆x2+ y2= 3与椭圆羊+ y2= 1在第一象限的交点，解方程组x2+ y