(完整word版)弹塑性力学总复习

1、正应力 和xz若已知一点的应力张量，则过该点任意微分面出：上的应力矢量p就可以由以下公式求Pxxlxy mxz n(1-1'Pyyxymyzn(1-1'Pzzxlzymzn(1-1'v :由式(1-1),还可进一步求出该微分面上的总应力P、正应力 和剪应力弹塑性力学课程期末复习总结第一篇基础理论部分第一章应力状态理论1.1 基本概念1. 应力的概念应力：微分面上内力的分布集度。从数学上看，应力F, P lim s 0 s由于微分面上的应力是一个矢量，因此，它可以分解成微分面法线方向的微分面上的剪应力 。注意弹塑性力学中正应力和剪应力的正负号规定。2. 一点的应力状态(1

2、) 一点的应力状态概念凡提到应力，必须同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面。物体内同 一点各微分面上的应力情况，称为该点的应力状态。(2 )应力张量物体内任一点不同微分面上的应力情况一般是不同的，这就产生了一个如何描绘一点的应力状态的问题。 应力张量概念的提出，就是为了解决这个问题。在直角坐标系里，一 点的应力张量可表示为xyyzzyzx(1-2a)xl2 ym2 zn22 xylm 2 yzmn 2 zxnl(1-2b)(1-2c)（3）主平面、主方向与主应力由一点的应力状态概念可知，通过物体内任一点都可能存在这样的微分面：在该微分 面上，只有正应力，而剪应力为零。这样的微分面即

3、称为主平面，该面的法线方向即称为主方向，相应的正应力称为 主应力。主应力、主方向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题：(1-3)ijKnJ nni式中，j为该点应力张量分量构成的矩阵,n为主应力，ni为主方向矢量。必定存在实数的由于应力张量矩阵是实对称方阵，根据线性代数知识可知，式（1-3）特征值，即主应力n必然存在。求解主应力n的特征方程如下：11212 nI30(1-4a)式中，li、|2和|3分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。并且,l1xyz123xxyyyzzzxxyyyzzzxxyyzzx2 xy2 yzl2(1-4b)(1-4c)zx (122331 )xzxyyxyz(

4、1-4d)zxzy应注意在主应力求出之后，（5）最大剪应力在与主方向成45°角的微分面内，剪应力取极值。若规定 出现在过 2主应力轴而平分 1和3轴的微分面上，并且相应的主方向的求解方法。3，则最大剪应力13max2（6）应力球量与应力偏量sij应力张量的分解ij(1-5)(1-6)0式中,00 和 Sijxyxzyxyz分别称为应力球量和应力偏zxzy量，并且mI1 /3z)/3。对应力偏量，可以类似于应力张量那样,得到其主值及其三个不变量:3Sn2J1 SnJ2 SnJ 30(1-7a)J1SxSySz S1 S2S3(1-7b)(S1S26(SxSySySzSzSxS3S1)6

5、(S2S32)2y)2S： (S1 3)2 z)22syzsixxyS2S2S3S3)/21)2x)26(1-7c)xzJ3yxyzS1 S2 S3zxzy(7)八面体上正应力和剪应力8( xyz)/383 J(J2y)2y z)2(1.2静力平衡方程xyxxzxyzyxyyzxyzzxzyzxyz静力边界条件三类边界:位移边界xlxymxz nXYZX1.32 xy22yzzx)(1-7d)(1-8a)zx)26( ；y2yz:)(1-8b)(1-9a)(1-9b)(1-9c)、应力边界和混合边界。尤其应注意应力边界条件的表示形式:(1-10a)xylym yzn Y(1-10b)zxlzy

6、mzn z(1-10C)第二章应变状态理论2.1 基本概念1. 位移、变形与应变位移：物体内各点位置的变化。 变形：刚体位移+形状的改变。描述物体内微元体形状 改变的物理量，称为应变。应变分为两种不同的定义：正应变和剪应变。正应变用于描述微分平行六面体棱边的相对伸长量，剪应变用于描述棱边间夹角的变化。2. 一点的应变状态(1 )应变张量与一点的应力状态概念类似，为了描绘一点的应变状态，需要引进 在直角坐标系里，应变张量可表示为应变张量的概念。xyxzij yxyzzxzy(2)应变主方向、主应变与应变张量的不变量对物体内任一点，至少都可以找到3个相互垂直的方向，沿这些方向的微分线段在物体 变形

7、后仍相互保持垂直，具有这种性质的方向称为 应变主方向，把这样方向的微分线段的 正应变，称为主应变。与求解主应力、主方向一样，主应变、应变主方向的求解在数学上也归结为求解一个 特征问题：j ni n ni (2-1)求解主应变n的特征方程如下:(2-2a)I2和I 3分别称为应变张量的第一、第二和第三不变量。并且，Il(2-2b)1xxyyyzzzx2xyyyzzzxx222xyy zz xxyyzzxIxxyxz(1 22 33 1 )(2-2c)yxyz(2-2d)zxzy(4)应变球量与应变偏量应变张量的分解ijeij(2-3)(5 )体积应变(2-4)2.2 几何方程(Cauchy方程)

8、vu vxyvyz zzx(2-5)应注意工程剪应变j与应变张量分量ij之间的区别：ij 2 ij2.3应变协调方程(Sai nt Venant 方程)保证物体连续性的必要条件222xyxyy22 xxy222yzyzz2z2yz222zxzxx22 zzxyz(2-6a)(2-6b)(2-6c)xyzzxxyyzyzxxyyzzxzxyzx)( yxy)22y z x22- x y(2-6d)(2-6e)(2-6f)应变能密度函数可表示为以下的一般形式:U0 ( ij )0 ij d ij(3-2a),应变能密度函数的形式如下：11U 0( ij ) ij ij ( x xy yz z)xy

9、 xyyz yzzx zx223.几种常见的弹性体的基本概念各向异性弹性体具有一个弹性对称面的各向异性弹性体正交各向异性弹性体横贯各向同性弹性体各向同性弹性体对线弹性体(3-2b)(1)(2)(3)(4)(5)第三章本构方程3.1 基本概念1 .线弹性体的广义Hooke定律ij Cijki ij(3-1)2.弹性应变能的概念由于弹性体的变形而储存在物体内部的势能称为弹性应变能。单位体积的弹性应变能称为应变能密度，用u0表示。对弹性体，z 2z(xyz)以上各种弹性体的概念，应注意结合实际工程背景去理解。4.各向同性弹性体的本构方程z)(1 )用应力表示应变的形式x iy Ez)(3-3a)y)

10、yzG，(2 )用应变表示应力的形式xyxyGyzzx-，剪切模量G。z)z)(3-3b)xyxy 5 yzyz， zxzxE(1 )(1 2 )5体变能与畸变能的概念一一弹性应变能的分解体变能7应力球量对应的弹性应变能密度概念。对各向同性弹性体，体变能1E示为Uov 丄if, K 一 为体积模量。18K3(1 2 )畸变能7应力偏量对应的弹性应变能密度概念。对各向同性弹性体，畸变能式中,称为拉梅常数，而且Uov可表Uod可表示为Uod11,322Sjej 2GJ2 4g 86屈服、屈服条件、屈服函数、屈服面与加载条件、加载函数和加载面的概念 屈服：首次由弹性变形状态进入塑性变形状态的界限。屈

11、服概念可以从低碳钢试件的 拉伸试验去理解。屈服条件一般是指物体内任一点首次由弹性变形状态进入塑性变形状态，该点的应力屈服函数在应力后继状态所满足的条件。它是判断材料受力到什么程度才开始出现塑性变形的准则。 若把屈服条件用数学函数形式表示，则相应的函数即称为屈服函数,空间中对应的曲面，称为 屈服曲面。加载条件、加载函数和加载面都是对应于物体发生屈服之后的“屈服”概念 屈服概念。7. 几种常见的弹塑性体模型(1) 理想弹塑性模型(2) 理想刚塑性模型(3) 弹塑性线性强化模型(4) 刚塑性线性强化模型(5) 幕次强化模型8. 塑性理论的基本假设9. Druck公设与加卸载准则(1 )强化模型f(

12、ij)0,弹性状态(3-4a)f( ij)0,fij-d ij0加载(3-4b)f( ij)0,fijd ij0卸载(3-4c)f( ij)0,f-d ij0中性变载(3-4d)j(2 )理想弹塑性模型f( ij)0 ,弹性状态(3-5a)f( ij)0 ,fd ij0ij加载(3-5b)f( ij)0 ,d ij0卸载(3-5c)ij10主应力空间中的屈服面形状11常用的几个屈服条件（1） Tresca屈服条件：一般形式为1max ss。2在主应力大小已知情况下，Tresca屈服条件应用起来最为简便。即若假设则有max丄，此时Tresca屈服条件可改写为13(2)Mises屈服条件：一般形式

13、为J21 :或J2:Coulomb Mohr屈服条件3（3）12. Mises的塑性位势理论13. 简单加载定理3.2弹塑性本构方程1增量形式1deijdsij d Sijj2G j j2.全量形式3 i2-sij3 i(3-6)pij(3-7a)eij(3-7b)第四章弹塑性力学问题的提法和基本解法4.1 弹塑性力学问题所满足的三个基本关系1平衡关系参见式（1.9）2几何关系 参见式（2.5）和式（2.6）3 本构（物理）关系参见式（3.3）、式（3-6）和式（3.7）任何一个弹塑性力学问题都要同时满足以上三个基本关系，这三个基本关系和边界条 件构成了弹塑性力学问题的严格完整的提法。从弹塑性

14、力学问题对应的数学问题看，这是 一组偏微分方程组+ 边值条件的数学问题。因此，一个弹塑性力学问题的求解，就归结为求 解一组偏微分方程组的边值问题。4.2 弹塑性力学问题的基本解法通常求解一个弹性力学问题，是要确定15个基本的未知量，它们分别为：6个应力分量和6个应变分量，以及3个位移分量。求解塑性力学问题，通常也要确定这15个基本的未知量，但由于材料进入塑性状态后的非线性性，加上所服从的加载和卸载规律不一样，所以 求解过程远较弹性力学问题复杂，往往需要采用数值解法。以下仅介绍一般的求解策略。1. 位移解法(1 )基本思想3个位移分量后，由几何方程确以3个位移分量作为基本未知量，并首先求出；在求

15、出 定6个应变分量，再利用本构方程确定 6个应力分量。(2) 定解方程及边界条件(L-N方程)，边界条件应表述为位位移解法的定解方程为以位移分量表示的平衡方程 移分量表示的形式。2. 应力解法 (1 )基本思想6个应力分量后，由本构方程确以6个应力分量作为基本未知量，并首先求出；在求出 定6个应变分量，再利用几何方程确定 3个位移分量。(3) 定解方程及边界条件应力解法的定解方程为 静力平衡方程+以应力分量表示的协调方程(B-M方程)，边界条件应表述为应力分量表示的形式。3. 混合解法以部分位移分量和部分应力分量作为基本未知量，并首先求出；然后利用几何方程和 本构方程确定其它未知量的方法。4.

16、 逆解法和半逆解法第二篇应用部分第五章简单弹塑性平面问题5.1 两类平面问题1. 平面应力问题和平面应变问题的概念2. 平面问题的基本方程5.2 平面问题的应力函数解法无体力或常体力情况下，平面问题采用应力解法时，其定解方程为(1)平衡方程:yxyxx+(2) B-M 方程： 2(y)222若设Airy应力函数满足:，则平衡方程自x y动恒满足，协调方程（B-M方程）化为 2可见，平面问题采用应力函数解法时,仅有一个基本未知量，相应的定解方程为5.35.45.5梁的弹塑性平面弯曲问题的解厚壁圆桶问题的解一一轴对称问题的位移解法半无限平面问题及圆孔应力集中问题的解一一在极坐标系里求解第六章柱体扭

17、转问题6.1柱体扭转问题的基本假设柱体扭转问题的应力函数解法解决柱体扭转问题的比拟方法1.薄膜比拟法一一仅适用于柱体的弹性扭转问题，尤其注意它在薄壁杆件扭转问题中的应用。2沙堆比拟法一一仅适用于受扭柱体整个截面都进入塑性的情况。3薄膜一玻璃屋顶比拟法一一适用于柱体的弹塑性扭转问题。6.26.3第七章薄板小挠度弯曲问题7.17.27.3基本概念与基本假设薄板小挠度弯曲问题的位移解法薄板小挠度弯曲问题的经典解法级数解法第三篇能量原理及其应用第八章 基本的能量原理8.1 真实状态与可能状态8.2 弹性体的应变能与应变余能1.总应变能的表达式线弹性体的应变能密度函数Uo的表达式:Uo( ij)2ij ij 2(z z)xy xyyz yzzx zx总应变能U)xy xyyz yzzx zx dVU拉伸Zgdx0 EA1 EA2 02d