(完整word版)数值分析上机作业1-1解析

1、数值计算方法上机题目 11、实验 1. 病态问题实验目的 ： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身 的解对数据变化的比较敏感， 反之属于好问题。 希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。数值分析的大部分研究课题中， 如线性代数方程组、 矩阵特征值问题、 非线性方程及方 程组等都存在病态的问题。 病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决， 当然一般要付出 一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。问题提出 ： 考虑一个高次的代数多项式20p(x) (x 1)(x 2).( x 20) (x k)(E1-1)k1显然该多项式的全部根为 1, 2

2、,，20,共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动(E1-2)p(x)x19 0其中 是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1 ）中X19的系数作一个小的扰动。我们希望11E1-1 ）的解对扰动的敏感性。比较（E1-1）和（E1-2 ）根的差别，从而分析方程（实验内容 ：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab函数："roots ”和"poly "，输入函数u=roots（a）其中若变量a存储n 1维的向量，则该函数的输出u为一个n维的向量。设 a的元素依次为 a1,a2,.,an 1 ,则输出 u 的各分量是多项式方程na1X

3、a2Xn1.anX an 1的全部根,而函数b=poly（v）的输出b是一个n+1维变量，它是以n维变量v的各分量为根的多项式的系数。可见“roots”和“ Poly ”是两个互逆的运算函数.ve=zeros（1,21）; ve（2）=ess;roots（poly（1:20）+ve）上述简单的Matlab程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“esS'即是（E1-2）中的 。 实验要求 ：（1）选择充分小的ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项 的系数很小，我们自然感觉（E1-1 ）和（E1-2）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如

4、此的扰动敏感性如何？（2）将方程（E1-2）中的扰动项改成x18或其他形式，实验中又有怎样的现象出现?实验步骤：(1)程序function t_charpt1_1 clcresult=inputdlg(' 请输入扰动项 : 在0 20 之间的整数 :' , 'charpt1_1' ,1, '19' );Numb=str2num(char(result);if (Numb>20)|(Numb<0)errordlg( 数 !' ); return ; end' 请输入正确的扰动项 ：0 20 之间的整result=inpu

5、tdlg(' 请输入 (0 1)之间的扰动常数 :' , 'charpt1_1' ,1,'0.00001');ess=str2num(char(result);ve=zeros(1,21);ve(21-Numb)=ess;root=roots(poly(1:20)+ve);x0=real(root); y0=imag(root);plot(x0',y0',1*1);disp( ' 对扰动项 ' ,num2str(Numb), 为：' );' 加扰动 ' ,num2str(ess),'

6、 得到的全部根disp(num2str(root); 二、实验结果分析ess 分别为 1e-6,1e-8.1e-10,1e-12.对扰动项19加扰动1e-006得到的全部根为：21.3025+1.56717i21.3025-1.56717i18.5028+3.6004i18.5028-3.6004i15.1651+3.76125i15.1651-3.76125i12.4866+2.88278i12.4866-2.88278i10.5225+1.71959i10.5225-1.71959i9.04485+0.594589i9.04485-0.594589i7.9489+0i7.00247+0i对

7、扰动项19加扰动1e-010得到的全部根为：5.99995+0i5+0i4+0i3+0i2+0i1+0i19.9953+0i19.0323+0i17.8696+0i17.2186+0i15.4988+0.0211828i15.4988-0.0211828i13.7707+0i13.1598+0i11.9343+0i11.029+0i9.99073+0i9.00247+0i7.99952+0i7.00007+0i5.99999+0i5+0i4+0i3+0i2+0i1+0iess分别为 1e-6,1e-8.1e-10,1e-12 的图像如下:1,1上函数f(x)11 25x2从实验的图形中可以看出

8、，当ess充分小时，方程E.1.1和方程E.1.2的解相差很小，当ess逐渐增大时，方程的解就出现了病态解，这些解都呈现复共轭性质。(2)将扰动项加到x18上后，ess=1e-009时方程的解都比较准确，没有出现复共轭现象。 ess=1e-008时误差与x19(ess=1e-009)时相当，即扰动加到 x18上比加到x19小一个数量级。对 x8的扰动ess=1000时没有出现复共轭，误差很小；对x的扰动ess=10e10时没有出现复共轭， 误差很小。因此，扰动作用到xn上时，n越小，扰动引起的误差越小。2、实验2。多项式插值的振荡现象，即插值的龙格(Runge)现象问题提出：考虑在一个固定的区

9、间上用插值逼近一个函数。显然，拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高、自然关心插值多项式的次数增加时，Ln (x)是否也更加靠近被逼近的函数。龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间实验内容：考虑区间1,1的一个等距划分，分点为xi 1i ,i 0,1,2,.,nn则拉格朗日插值多项式为Ln(X)i 0125x2 li(x)其中的h(x)，i 0,1,2,., n是n次拉格朗日插值基函数。实验要求：(l)选择不断增大的分点数目n 2,3,.，画出原函数f (x)及插值多项式函数Ln(x)在1,1上的图像，比较并分析实验结果。(2) 选择其他的函数，例如定义在区间-5 ,

10、5上的函数Xh(x) 4,g(x)arcta nx1 x重复上述的实验看其结果如何。(3) 区间a,b上切比雪夫点的定义为Xkb a 心cosLJL ,k2(2(n 1)1,2,.,n 1以X1 ,X2，Xn 1为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式,比较其结果。实验步骤：(1)试验程序：fun cti on y=Lagra nge(xO, yO, x);% Lagra nge插值n= len gth(x0); m=le ngth(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1: np=1.0;for j=1: nif (j = k)p = p*(z - x0(j)/(

11、x0(k) - x0(j);ends = s + p*y0(k);endy(i) = s;endfun cti ont_charpt2promps = '请选择实验函数，若选 f(x),请输入f,若选 h(x),请输入h,若选g(x),请输入 g:' ;titles ='charpt_2'result = in putdlg(promps,'charpt 2',1,'f' );Nb_f = char(result);if (Nb_f ='f'& Nb_f ='h'& Nb_f =&#

12、39;g' )errordlg('实验函数选择错误！');return;endresult = inputdlg('请输入插值结点数N:' ,'charpt_2',1, '10');Nd = str2 num(char(result);endif (Nd <1)errordlg(结点输入错误！)； return ; endswitch Nb_f case 'f' f=i nline( case 'h' f=i nline( case 'g' f=i nline('

13、;1./(1+25*x.A2)'); a = -1;b = 1;'x./(1+x.A4)'); a = -5; b = 5;'ata n( x)'); a = -5; b= 5;end x0 = linspace(a, b, Nd+1); yO = feval(f, x0);x = a:0.1:b; y = Lagra nge(xO, yO, x);fplot(f, a b,'co');hold on;plot(x, y,'b-'););xlabel( 'x'); ylabel( 'y = f(x)

14、 o and y = Ln (x)-'增大分点n=2 , 3，时，拉格朗日插值函数曲线如图所示。439 rCfefi.13 D g >.406n=7n=8从图中可以看出，随着 n的增大，拉格朗日插值函数在x=0附近较好地逼近了原来的函数f(x)，但是却在两端 x= -1和x=1处出现了很大的振荡现象。通过分析图形，可以看出， 当n为奇数时，虽然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为偶数时，其振荡幅度变得很大。(2)将原来的f(x)换为其他函数如h(x)、g(x)，结果如图所示。其中h(x), g(x)均定义在-5，5区间上，h(x)=x/(1+x 4), g(x)=arctan x

15、。 Az:wlli£«_.=“ a 1h(x), n=84? 5 1 s 口 打*合|匸5|3 宜!_戊 ai5o4Jg(x), n=13g(x), n=12分析两个函数的插值图形，可以看出：随着n的增大，拉格朗日插值函数在x=0附近较好地逼近了原来的函数f(x)，但是却在两端x= -5和x=5处出现了很大的振荡现象。通过图形可以看出，当n为偶数时，虽然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为奇数时，其振荡幅度变得很大。原因和上面f(x)的插值类似，h(x)、g(x)本身是奇函数，如果 n为偶数，那么Lagrange插值函数Ln(x)的最高次项xn-1 是奇次幕，比较符合h(x)

16、、g(x)本身是奇函数的性质；如果 n为奇数，那么Lagrange插值函数Ln(x)的最高次项xn-1是偶次幕，与h(x)、g(x)本身是奇函数的性质相反，因此振荡可能更 剧烈。3、实验3。样条插值的收敛性问题提出般的多项式插值不能保证收敛性，即插值的节点多，效果不一定就好。对样条函数插也超出了本课程的内容。通过本并不断增加插值节点的个数。考Matab的函数“ spine "作此函数的值又如何呢？理论上证明样条插值的收敛性是比较困难的， 实验可以验证这一理论结果。实验内容：请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点,虑实验2中的函数或选择其它你有兴趣的函数，可以用三次样条插值。在

17、较新版本的Matlab中，还提供有spline工具箱，你可以找到极丰富的样条工具，包括B-样条。实验要求：(1)随节点个数增加，比较被逼近函数和样条插值函数误差变化情况。分析所得结果 并与拉格朗目多项式插值比较。(2)样条插值的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考虑如下问题：某 汽车制造商用三次样条插值设计车门的曲线，其中一段的数据如下：Xk012345678910yk0.00.791.532.192.713.033.272.893.063.193.29y'k0.80.2实验步骤：(1)程序：fun cti ont_charpt2promps = '请选择实验函数，若

18、选f(x), 请输入f,若选h(x), 请输入h,若选g(x), 请输入 g:' ;titles = 'charpt_2' ;result = in putdlg(promps,'charpt 2',1,'f');Nb_f = char(result);if (Nb_f ='f'& Nb_f ='h'& Nb_f ='g' )errordlg( '实验函数选择错误！');return ; end,1, '10' );result = input

19、dlg('请输入插值结点数N:' , 'charpt_2'Nd = str2 num(char(result);if (Nd <1)errordlg('结点输入错误！' ); return ; endswitch Nb_f case 'f' f=i nline( case 'h' f=i nline('1./(1+25*x.A2)');a = -1;b = 1;'x./(1+x.A4)'); a = -5; b = 5;case 'g' f=i nline('ata n( x)'); a = -5; b= 5