(完整word版)平面向量的线性运算及练习试题

1、范文范例精心整理平面向量的线性运算学习过程知识点一：向量的加法(1)定义已知非零向量a，b,在平面内任取一点A,作AB = a , BC = b，则向量AC叫做a与b的和，记作a b，即a b = AB + BC = AC，即第二个向量要以 的向量即为和向求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三 角形法则.说明：运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接” 第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 量. 两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定. 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.(2) 向量加法的

2、平行四边形法则urn r以点0为起点作向量0A a , 0B b，以OA,OB为uuu邻边作丫 OACB，则以0为起点的对角线所在向量 OC就r r uuu是a，b的和，记作a b =OC。说明：三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点 的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.对于零向量与任一向量a,a 0 0 a a(3)特殊位置关系的两向量的和 当向量a与b不共线时，a + b的方向不同向，且|a+b|<| a|+| b| ； 当a与b同向时，贝y a + b、a、b同向，且| a + b|=

3、| a|+| b| , 当a与b反向时，若| a|>| b|，则a + b的方向与a相同，且| a+b |=| a|-| b| ；若| a|<| b|，则 a+b 的方向与 b相同，且 | a+b|=| b |-| a|.(4)向量加法的运算律 向量加法的交换律: 向量加法的结合律:知识点二：向量的减法a + b =b + a(1) 相反向量：与a长度相同、方向相反的向量记作 a。r rr(2) 向量a和-a互为相反向量，即-(-a). 零向量的相反向量仍是零向量.r r r r r 任一向量与其相反向量的和是零向量，即a + (- a) = (- a) + a = 0如果向量a,

4、 b互为相反向量,那么 a = - b , b = - a , a + b = ° . rrr r(3)向量减法的定义：向量rrra加上的b相反向量，叫做a与b的差.r即: ab= a + (4)向量减法的几何作法b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.UlT在平面内任取一点0,作OAr uui ruitr rr ra，0B b，则ba a b .即a b可以表示为从向量rrb的终点指向向量 a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.说明：AB表示a b .强调：差向量“箭头”指向被减数用“相反向量”定义法作差向量，a b= a + ( b),显然，此法作图较繁，但最后作图可统一 知识

5、点三：向量数乘的定义r(1) 定义：一般地，我们规定实数 与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，r记作 a，它的长度与方向规定如下：rrI入引T入II即rrrrrrr当0时，入a的方向与a的方向相同；当°时，入a的方向与a的方向相反.r r当 °时，入a = °(2) 向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：设、为实数，那么1rr入(卩a)=(入卩)a ；rr(2)(入 + 卩)a =入 a +r卩a ；入(a + b )=入a +r入b .知识点四：向量共线的条件r r r rrr向量a( a °)与b共线，当且仅

6、当有唯一一个实数，使b = a .学习结论(1) 两个向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法则和平行四边形法则 确定，这两种法则本质上是一致的.共线向量加法的几何意义， 为共线向量首尾相连接， 第一个向量的起点与第二个向量的 终点连接所得到的有向线段所表示的向量.r rrr(2) a b可以表示为从向量 b的终点指向向量a的终点的向量(3) 实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量数乘的几何意义就是几个 相等向量相加.r rr rr r(4) 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b= a。练习r ruir r r urn r r uuu r r例1.已知任意两个

7、非零向量a，b，作°A a b，OB a 2b,OC a 3，试判断 A B、C三点之间的位置关系.ULW- 解：AB = °B 一 OA = a+2b (a+b) = b,uuu .-且 AC = °C °A = a+3b- (a+b) = 2 b ,uuu uuuAC =2 AB .所以，A、B、C三点共线.例2.如图，平行四边形 ABCD勺两条对角线相交于uuu r uuu rr r点uuu uui且uAB =uu， AD = b，试用 a， b 表示向量 MA,MB,MC,MDuuiu uuu i r ruuu1 rruuiuuuu2uuuuu1

8、 r r uuiu1 rrMA-(ab),DMMBMAAB(a b)所以 MD- (ba)2 2 2例3. 一艘船从长江南岸 A点出发以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江解析：AM Mc = (a b)，所以水的流速为向东 2 km/h .试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)；求船实际航行速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到度).分析：速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示， 速度的合成也就是向 量的加法.word完美格式解析：如图，设AB作邻边作平行四边形AD表示船向垂直于对岸行驶的速度， ABCD则AC就是船实际航行的速

9、度.AB表示水流的速度，以 AD在Rt ABC中，| AB| =2,| BC | = 5,| AC | = Juuu2 ABuuu BC2 722 52.295.45/ tan / CAB= _CAB 682答：船实际航行速度的大小约为 5.4 km/h，方向与水的流速间的夹角为约为 68° .1.( 2006上海理)如图，在平行四边形 ABCD中，下列结论中错误的是()(A) AB = DC ；(B)AD + AB = AC ；2.(C) AB AD = BD ； (2007湖南文)若 OE、 uuu A . EFUUJC. EFuuuOF uuur OFuuu OE uuu OE

10、AD + CB = 0 .(D)F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 UUJB. EFUUJD. EFC( )3.(2003辽宁)已知四边形ABCD是菱形,A.(ABAD),(0,1)C.(ABAD),(0,1)uuur uuu OF OE uuur uuu OF OE点P在对角线B.D.4.( 2008辽宁理)已知O, A B是平面上的三个点 uuur则OC (uuuA. 2OA)uuuOBuuu UUJB. OA 2OB5.(2003江苏;动点P满足天津文、理)uuuOPuuuOA6.AC上(不包括端点 A C),则AP(AB(ABBC),BC),直线AB上有一点(0,£(

11、0,乎)2uuurC,满足2ACUUUCB 0,C.2 umOA31 uuuD.-OA3O是平面上一定点,uuu内心uuurAC、 uuur ),AC1 ujuOB3B C是平面上不共线的三个点,2 uuuOB30,则P的轨迹一定通过 VABC的()(A)外心(2005全国卷uuu(B)n理、文)已知点A( . 3,1),UJUCE ,(D)垂心与BC相交于E，那么有BC1(A)2( B) (C)32设a, b是两个不共线的非零向量，若向量(C)重心B(0,0) , C( .3,0).设 BAC 的平分线 AE其中 等于()7.k=8. ( 2007江西理).如图，在 ABC中，点(D)-3k

12、a 2b与8a kb的方向相反，贝UO是BC的中点，过点 O的直线分别交直线 ABOA = OB = 1，B的值AC于不同的两点 M N,若AB = m AM , AC = n AN，则m+ n的值为9. ( 2005全国卷I理) ABC的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为H,OH m(OA OB OC)，则实数10. (2007陕西文、理)如图，平面内有三个向量 OA、OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且OCOB、OC，其中OA与=2 2 .若 OC = OA OB( ,R),则复习2:向量的减法已知向量a和向量b,作向量a- b.复习3：向量的数乘已

13、知向量a,作向量3a和-3a.复习4:平面向量共线定理例 1. B. 例 2.A. 例 3. B.(三) 基础训练：1. C;2. B. 3.A.4.A.5. B 6.C;7._ 4_; 8._. 9.J_10. 26(四) 拓展与探究：1 311、D.;12.( ,0)，(,). 2 2平面向量的线性运算(复习课)复习目标：?1、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义?2、掌握向量数乘运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义? 3、了解向量的线性运算性质及其几何意义.重点:向量加、减、数乘运算及其几何意义.难点：应用向量线性运算的定义、性质灵活解决相应的问题 一、学案导学自主建构复习

14、1:向量的加法已知向量a和向量b,作向量a+b.二、合作共享交流提升鑒自测回抑曽uun uuu LLLr AB CB DCuuu uur uuu uur(3)AB AC BD CD亠uuu urn1、填空：(1)AD CA uuur uurAB AD 贝U BADuuur UULT在平行四边形 ABCD中，若 AB AD2、判断题：（1 ）相反向量就是方向相反的向量 uuu mu r（2）AB BA 0uur uuu uuu（3）AB OA OBuuu uuur uuu r(4)在厶ABC中，必有AB BC CA 0uiuruuurumr（5）若 AbBCCA 0,贝U A、B、C三点必是一个

15、三角形的三个顶点。uuuuuuuuur3、若 OA3OB2OC,则代B,C三点是否共线三、案例剖析总结规律例1:根据条件判断下列四边形的形状uuur(1)ADuuiuBCuuir 1 uju(2) AD - BC3uuur(3) ADuuuBC,且uuu ABuuur ADuuuOAuuur OCuuu uuurOB OD;（O是四边形所在平面内一点）uuur(5)ACuuu ABuuur ADuur uuur ujir uuu四边形ABCD的对角线 AC与BD相交于点 O,并且 AO OC,DO OB例2、如图，在 OAB中，延长BA到C,使AC=BA在0B上取点D,使BD=OB.DC与 0A交于E,uuu ur uuu r r ruuur uuur设OA a,OB b,请用a,b表示向量OC,DC例3、设？ ABCD一边AB的四等分点中最靠近 B的一点为E,对角线BD的五等分点中靠近 B的一点为F,求证：