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文档简介

1、张量积的教与学张量积是代数学中的一个重要概念， 是学习平坦模， 平坦维 数的基础 . 但许多初学者很难正确理解它，给后面的学习带来困 难. 张量积常见的有两种定义方法， 一种是构造法， 如1, 还有 一种是用泛性质定义，如 2,3.首先谈一下构造法.设R是有单位元的环，A, B分别为右， 左R-模，是以集合AXB为基的自由Abel群.考虑F的下面的 子集设S是由这个子集生成的子群，称商群F/S为AR与RB的张 量积，记为记x(a,b)所在类为.当R=Z时，记为.在1中，F中元和AXB都用(a,b)表示，初学者容易引 起混淆.而用上述方法则更清楚明了， 学生也更容易理解和接受 .其次谈一下用泛性

2、质定义张量积 . 设 T 是一个 Abel 群，t :A X B-T是一个R-平衡映射(定义见 )，若对任意的Abel 群C及R-平衡映射B :A X 4C,都存在唯一的群同态 f, T-C, 使得 f t =B (见3).对上述两种定义下,有 Abel 群同构 , 且在同构的意义下 T 是唯一的 . 有标准映射对张量积,应注意以下几点 .1. 是x(a,b)所在的类，它于代表元的选取有关，所以证明 与张量积相关的命题常用到R-平衡映射(见例2).而直接定义 某个从 到Abel群C的群同态，而不验证其合理性（与代表元的 选取无关 ） ，是初学者常犯的错误 .2. t是一个R-平衡映射，但不是一

3、个群同态，也不是R-线性的，因为3. 虽然 是 的生成元集， 但一般来说， t 不是一个满态 （注 意 t 不是一个群同态） .4. 是 的生成元集，而 ，一般来说 （见例 1）.5. 若R是交换环，则 有一个自然的R-模结构：对任意的 下面给出了一个 的例子 .例1设R=K是域，则证明 设 . 令a1,a2,b1,b2 K 则有 a1b1=1,a1b2=a2b1=0,a2b2=1 无解， 所以本文最后给出一个计算张量积的例子 .例2设m,n为大于1的自然数，Zm=Z/mZ计算.解设（m,n） = I是m,n的最大公约数，则有整数 x,y，使 得i =mx+ny令标准映射为 t :.定义B : ZnK ZnZ i，对 任意的整数.由i是m,n的最大公约数知，B的定义是合理 的，与代表元的选取无关.易验证，B是一个Z-平衡映射，由 张量积的泛性质知， 存在唯一 Abel 群同态 ，使得对任意的整数 s,t ，有 . 下面证明 f 是一个同构 .对任意的整数 s,t ，由 知， 中元有形式 . 设 ，则 ，故有 自然数

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